LIVRE IV

Remarque. On prouverait de môme qu’un nombre décimal, terminé par un 5, n’est pas un carré, lorsque son avantdernier chiffre n’est pas un 2.

PROBLÈME III

Reconnaître qu’un nombre entier est ou n’est pas un carré, au moyen du nombre de ses diviseurs.

1“ Lorsqu’un nombre entier 3600 est le carré d’un nom- • bre 60 , à chaque diviseur 12 de 3600 , plus petit que 60 , correspond un diviseur ou 300>60 ; donc le nombre des diviseurs de 3600 , plus petits ou plus grands que sa racine carrée , est un nombre pair ; donc , en y comprenant la racine 60, le nombre total des diviseurs de 3600 est impair; ce qui résulte aussi de ce que les exposants des facteurs premiers de 3600 étant des nombres pairs (pr. 9) , le produit des sommes qu’on obtient, en augmentant l’exposant de chaque facteur premier d’une unité, est un nombre impair (liv. 2, pr. 35, rem.),

2” Lorsqu’un nombre entier 48 n’est pas un carré, à chaque diviseur 6 de ce nombre, égal ou inférieur à sa racine carrée à moins d’une unité, correspond un diviseur ^ o'i 8 plus grand que cette racine ; donc le nombre des diviseurs de 48 est pair; ce qui résulte aussi de ce que l’un au moins ^ des exposants des facteurs premiers de 48 étant impair (pr. 22, cor.), le produit des sommes qu’on obtient, en augmentant l’exposant de chaque facteur premier d’une unité , est un nombre pair.

On conclut de ce qui précède qu’w» nombre entier est ou n'est pas un earré, suivant que le nombre de ses diviseurs est impair ou pair.

PROBLÈME IV

Étant donnée la différence 25 des carrés de deux nombres entiers consécutifs, trouver ces deux nombres.

>170 ' ABITHMÉTIQUE.

La difTérence 25 des carrés des deux nombres demandés est éga\e au double du plus petit nombre , plus une unité (pr. 6, cor. 2) ; donc en diminuant 25 d’une unité et en divisant le reste 24 par 2, le quotient 12 sera le plus petit nombre; donc le plus grand est (12+1) ou 13.

PROBLÈME V

• Étant donnée la différence 469 des cubes de deux nombres entiers consécutifs, trouver ces deux nombres.

La différence 469 des cubes des deux nombres demandés se compose du triple carré du plus petit nombre , du triple du plus petit nombre, et d’une unité ( pr. 7, cor. 2 ) ; donc, en diminuant 469 d’une unité et en divisant le reste 468 par 3 , on obtiendra un quotient 156 égal au carré du plus petit nombre, plus le plus petit nombre ; donc, en extrayant la racine carrée de 156 à moins d’une unité, on aura le plus petit nombre 12 et un reste égal à ce même nombre (pr. 17, cor.); le plus grand nombre est (12+1) ou 13.

PROBLÈME VI

"if Extraire la racine cairée du nombre 856728, à moins cT une centaine.

Divisons 856728 par le carré de 100 ; extrayons la racine ' carrée 9 du quotient 85,6728, à moins d’une unité (pr. 23) , et multiplions 100 par cette racine ; le produit 900 est la racine demandée (pr. 24).

PROBLÈME Vil.

Extraire la racine carrée du nombre 8,5 à moins d’une fraction -y.

UVHE IV.

Divisant 8,5 par le carré de 4» ce qui revient à multiplier 8,5 par le carré de 7 et à diviser le produit V16,5 par 16, on trouve que la partie entière du quotient est égale à 26 ; extrayant la racine carrée 5 de 26 à moins d'une unité, et multipliant | par cette racine , on obtient le produit ~ qui est la racine demandée (pr.23 et 24).

PROBLÈME VIII

Extraire la racine cubique du nombre 8G49 17842 à moins d’une centaine.

Divisons le nombre proposé par le cube de 100 ; extrayons la racine cubique 9 du quotient, à moins d’une unité (pr. 23, rem.) , et multiplions 100 par cette racine; le produit 900 est la racine demandée (pr. 25).

PROBLÈME IX

Extraire la racine cubique du nombre 8,5 à moins d’une fraction y.

Divisant 8,5 par le cube de ce qui revient à multiplier 8,5 par le cube de 7 et à diviser le produit 2915,5 par 64, on trouve que la partie entière du quotient est égale à 45 ; extrayant la racine cubique 3 de 45 à moins d’une unité, et multipliant y par cette racine, on obtient le produit -y qui est la racine demandée (pr.23 et 25).

PROBLÈME X

^ Extraire la racine douzième du nombre entier 531441.

Le degré 12 de la racine demandée étant égal à 2x2x3,

■172 AttlTHMÉTIQUE.

extrayons successivement la racine carrée 729 de (pr. 15) , la racine carrée 27 de 729 , et la racine cubique 3 de 27. Ce nombre 3 est la racine douzième du nombre proposé.

En effet, 3 étant la racine cubique de 27, on a 3’ =27 ; élevant ces deux nombres au carré, on a (pr.8,rem.3) 3® =27® = 729, puisque 27 est la racine carrée de 729 ; élevant ces deux nombres au carré, on a 3'®=729®=531441, puisque 729 est la racine carrée de 5314il ; donc 3 est la racine demandée (déf. 3).

Rem<vrqde. On peut extraire, d’une manière analogue, la racine quatrième, la racine neuvième et, en général, la racine m«“c d’un nombre entier, lorsque le degré m ne contient que les facteurs premiers 2 et 3.

PROBLÈME XI

Extraire la racine sixième du nombre 2136,5 à moins d’une unité.

Le degré 6 étant égal à 2x3, extrayons successivement la racine carrée 46 de 2136 à moins d’une unité (pr. 15] et la racine cubique 3 de 46 à moins d’une unité. Ce nombre 3 est la racine demandée.

En effet, 3 étant la racine cubique de 46 à moins d’une unité, 3® est contenu dans 46, et 4® excède 46; donc 3®x3® ou 3® est contenu dans 46®, tandis que 4® x 4® ou 4® excède 46® et, par conséquent, est au moins égal à 47®; or, 46 étant la racine carrée de 2136 à moins d’une unité , 46® est contenu dans 2136, tandis que 47® excède 2136; donc 3® est contenu dans 2136 et 4® excède 2136 ; donc 3 est la racine sixième de 2136 et de 2136,5 à moins d’une unité (déf. 7 et pr.23, rem.).