On a d’ailleurs les 2 équations d’échange

Db.a — Da.bPa.b, Db.c = Dc.b /V.b,

de (B) contre (A) et (G).

On a les deux équations d’échange :

De.a = Da.eîVo, üe.b = Db.ePb.e,

de (G) contre (A) et (B).

On a enlin les 2 équations d’échange :

Drt.b = Db.aPb.a, Han = De.aPc.a,

de (A) contre (B) et (G).

Soit, en définitive, 12 équations entre 12 inconnues qui sont les 6 prix des 3 marchandises l’une en l’autre, et les 6 quantités totales des 3 marchandises échangées l’une contre l’autre.

108. Soient, à présent, m marchandises (A), (B), (G), (D)... sur un marché ; on comprend qu’en vertu de raisonnements exactement pareils à ceux qui ont été faits pour le cas de deux marchandises et pour le cas de trois marchandises, et qu il est inutile de répéter encore, nous pouvons poser d’abord les m — 1 équations de demande effective de (B), (G), (D)... en (A) .

Dl),a - — Fb,a (pb,ai Pd,a. • « jj

De, a — tc,a(/^b.aj pc^ay ptl,a*..)j D(i.a = td.a(pb,a, /V,aj Pd,a..*),

les m — 1 équations de demande effective de (A), (C), (D)... en (B) :

Da.b = Fi\,b{pn,hy Pc,hy Pd.b---)?

De.b = Fi\bi pa,hy Pc,by i\i,b-**)?

lXl,b Fcl,b(pa,bj Pc,by /*d,b.-*)?

lesm — l équations de demande effective de (A), (B), (D)... en (C) ;

Da,c Fa.c(/^a,c, Pb,Cy y^d.c- • Oj Bij,c = f I).c( /^a,(*5 /^b,cj 7^d,c- • • )y Dd,o Fd,c(/^a.cj Pb,Cy •)?

les m — 1 équations de demande effective de (A), (B), (G)... en (D) :

Da.d Fa.d ( /^a,dj PbMy J^c,d - • O?

Db,d = Fb,d(/#a,d, />b.d, /V.d-.),

Ft\d(/>a.dj /^b,d, pCjd.*.)*»

et ainsi de suite ; soit, en tout, nt (m — 1) équations.

109. D’autre part, nous pouvons évidemment poser aussi, sans de nouvelles explications, \es7u — 1 équations d’échange de (A) contre (B), (G), (D)...

Da,b = Dl),aPb,a, Da.e Di>,a /^c,a5 Da,d Dd.a /M.a- • •

— iU —

\q^ „j 1 équations d’échange de (B) contre (A), (C), (D)...

Db.a = Da.l, /»a,lH Dl,,.' = D.-.b Ub.d = D.i.b^b.lv • ■

Ijiÿ I équations d’échange de ((’.) contre (A), (B), (D)...

D,.,;, = Da.c/'ii..-, l),,b= Bli.c/'b.i-, Ural — B,|,r/M.c...

les ïH— l équations d’échange de (D) contre (A), (B), (C)...

D,|.a= Ba.il /bull Ul.b — Bli.d/'b.il, Di|.c= . •

et ainsi de suite ; soit encore, en tout, m (m — 1 ) équations.

Ces m{m — 1) équations d’échange, jointes au.\ )n (m — 1) équations de demande elîective, tonneid un total de2vn (/// — 1) équations. Or nous avons précisément 2 m (m — 1) inconnues; en elTet, pour m marchandises échangées deux à deux, il y a mon — 1 ) [)rix et m (m — 1 ) quantités totales échangées.

110. Dans le cas particulier de l’échange de deux marchandises entre elles, et dans le cas particulier de l’échange de trois marchandises entre elles, le problème est susceptible d’être résolu soit géométriquement, soit algébriquement, parce que, dans ces deux cas, les fonctions de demande sont elles-mêmes susceptibles d’uiu' représentation géométrique. Dans le premier cas, ces fonctions sont des fondions d’nne variable (lui peuvent être représentées }jai’ deux courbes. Dans le second cas, elles sont des fonctions de deux variables qui peuventêtre représentées par six surfaces. Une simple inscription de rectangles dans les courbes, dans le premier cas, une inscription de rectangles dans les courbes à obtenir au moyen de l’inteisection des surfaces par des plans, dans le second cas, fournit donc la solution géométrique du problème.

Dans le cas général, au contraire, les fonctions de demande sont des fonctions de ni — l variables (jui ne sont pas susceptibles d’nne représentation dans l’espace. C’est pourquoi, dans ce cas, le problème lui -même semble susceptible d’être posé et résolu algébriquement, mais non géométriquement h Bap-

' On truuveni [jourtant cette suliition géométrique à l’apiieinlice I de ce volume : Throrir la (lélerï)iinatio}i des pri.r.

pelons-nous, d’ailleurs, qu’il s’agit toujours ici, non pas de poseï- et de résoudre en réalité le problème en question, dans aucun cas donné, mais uniquement de concevoir scientifiquement la nature du problème qui se pose et se résout empiri- <piement sur le marché. Or, à ce point de vue, non seulement la solution algébrique vaut la solution géométrique, mais on peut même dire qu’en adoptant la forme de l’analyse, nous adoptons la forme générale et scientifique par excellence.

111. Le problème de l’échange de plusieurs marchandises entre elles paraît résolu. 11 ne l’est en réalité qu’à moitié. Dans les conditions ci-dessus définies, il y aurait bien, sur le marché, un certain équilibre des prix des marchandises deux à deux ;

■ mais ce ne serait là qu’un équilibre imparfait. L’équilibre par-

% fait ou général du marché n’a lieu que si le prix de deux mar-

■ cliandises quclconqacs l’une en Vautre est égal au rapport des

prix de Vune et Vautre en une troisième quelconque. C’est ce qu’il faut démontrer. Pour cela, prenons trois marchandises entre toutes (A), (B)et(C), par exemple; supposons que le prix /b-.hsoit plus grand ou plus petit que le rapport des prix jk-.a,

; et voyons ce qui ai-rivera.

Nous imaginerons, pour bien fixer les idées, que le lieu qui sert de marché j)our l’échange de toutes les marchandises (A), (B), (C), (D)... entre elles ait été divisé en autant de parties (pi’il se fait d’échanges de marchandises deux à deux, soit en m On — \ )

^ marchés spéciaux désignés par des écriteaux sur

lesquels on aurait indiqué les noms des marchandises qui s’échangent et les prix d’échange déterminés mathématiquement en vertu du système d’équations ci-dessus. Ainsi: — « Echange de (A) conti-e (B) et de (B) contre (A) aux prix réciproques pa.b, /ni.u ; » — c( Echange de (A) contre (C) et de (C) contre (A) aux prix réciproques />a,c, Pc,a ; » — « Echange de (B) contre (C) et de (C) contre (B) aux prix réciproques pb.<-, /'c.b. » — Cela posé, si chaque porteur de (A) qui veut du (B) cl du (C) se bornait à échanger son (A) contre ce (B) et ce(C)

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— Ilü —

sur les deux premiers marchés spéciaux, si chaque portent de (B) qui veut de l’(A) et du (C) se bornait à échanger son (B) contre cet (A) et ce (G) sur les premier et troisième, si chaque porteur de (C) qui veut de l’(A) et du (B) se bornait à échanger son (C) contre cet { A) et ce (B) sur les deux derniers, 1 équilibre se maintiendrait tel quel. Mais il est tacile de faite voit que ni les porteurs de (A), ni ceux de (B), ni ceux de (G) n adopteront ce mode d’échange ; ils procéderont tous d’une autre manière qui leur sera plus avantageuse.