II

avec— de (G), on a — x4 = l de (B), au prix de — de (B) en 4 4; 4

(G), sur le marché (B, G).

Il en résulte enfin que le vrai prix de (A) en (G) n’est pas-^,

6xT33~‘8 ’ ^‘8 ^^“"2

de (B), au prix de-— de (B) en (G), sur le marché (B, G) ; et que,

avec de (B), on a-^x2 = l de (A), au prix de-^ de (A) en

Ji Jà Jà

(B), sur le marché (A, B).

114. Le.s porteurs de (A), de (B), de (G) n’hésiteront pas évidemment à substituer ainsi : les uns, l’échange indirect de (A) contre (C) et de (C) contre (B) à l’échange dii’ect de (A) contre (B) ; les autres, l’échange indirect de (B) conti’e (A) et de (A) contre (C) à l’échange dii-ect de (B) contre (G) ; les autres, l’échange indii-ect de (G) contre (B) et de (B) contre (A) à l’échange direct de (G) contre (A). Get échange indirect s’appelle un arbitrage. Quant à l’économie qu’ils i-éaliseront ainsi, ils la répartirotd à leur guise sur leurs besoins, en se donnant un supplément de telle ou telle marchandise de façon à se procurer la plus grande somme possible de satisfaction. Nous pourrions indiquer la condition de ce maximum qui serait que les rapports des intensités des derniers besoins satisfaits fussent égaux aux prix réels résultant des arbitrages. Mais, sans entrer dans cette considération, il nous suffira de remarquer que cette demande supplémentaire se fera, comme la demande principale : par les porteurs de (A), en échangeant

(A) contre (G) et (G) contre (B), mais jamais (A) contre (B) ; par les porteurs de (B), en échangeant (Bj contre (A) et (A) contre (G), mais jamais (B) contre (G) ; par les porteurs de (G), en échangeant (G) contre (B) et (B) contre (A), mais jamais (G) contre (A). Ainsi, sur le marché (A, B), il y aura toujours une demande de (A) et une olfre de (B), mais pas de demande de

(B) et d’offre de (A) ; d’où baisse de pb.a- Sur le marché (A, G), il y aura toujours une demande de (G) et une offre de (A), mais pas de demande de (A) et d’offre de (G) ; d’où hausse de Sur le marché (B, G), il y aura toujours une demande de (B) et une offre de (G), mais pas de demande de (G) et d’offre de (B) ; d’où baisse de p,.b.

1 15. On voit par là que, dans le cas oii }\-,h est l’équi-

Pb,a

libre du marché n’est pas définitif ou général, et qu’il s’y fait des arbitrages dont le résultat est une baisse depc,b, une hausse depc.aet une baisse de^îb.a. On voit en même temps que, dans

le cas où pc.b serait il se ferait, sui‘ le marché, des

Ph,d

arbitrages dont le résultat serait une hausse de p<-.b, une baisse de pc.d et une hausse de pb.a- En etïet, l’on aurait alors

soit

«Pb,cpa,bp.'.a = 1,

(C étant •< I ; d’où il résulterait que le vrai prix de (B) en iG) serait «PGc, à la condition d’échanger (G) contre (A) et (A) contre (B), que le vrai prix de (A) en ( B) serait «pa.b, à la condition d’échanger (B) contre (G) et (G) contre (A), et que le vrai prix de (G) en (A) serait apc.d, à la condition d’échanger (A) contre (B) et (B) contre (G). D’ailleurs il est assez clair que ce qui a été dit des prix de (A), (B) et (G) peut se dire aussi des prix de trois marchandises quelconques. Si donc on voulait que les arbitrages n’eussent pas lieu, et que l’équilibre des marchandises deux à deux sur le marché fût général, il faudrait introduire la condition que le prix de deux marchandises quelconques l’une en l’auti-e fût égal au rapport des prix de l’une et l’autre en une troisième quelconque, c’est-à-dire qu’il faudi'ait poser les équations suivantes :

pc.n

PiUx

pc,h —

Pli, b —

Ph.<i

~ Pc, a ’

pc/d

Pil,0

Pcdx

ph.a

Pi\li

pd.a

PcM —

pfUa

et ainsi de suite, soit, en tout, {m — 1 ){m — 1 ) équations d’équilibre général contenant implicitement — —équations de

réciprocité des pi'ix. La marchandise en laquelle on énonce ainsi les prix de toutes les autres est le numéraire.

1 16. 11 est certain que cette introduction de (>n — 1) (m — 1; équations de condition exige que notre système précédent d’équations de demande et d’échange soit diminué d’un nombre égal d’équations. C’est ce qui se fait précisément, dans le cas de la substitution aux marchés spéciaux d’un marché général, par la substitution aux équations d’échange indiquant l’égalité de la demande et de l’offre de chaque marchandise en et contre chacune des autres séparément des équations d’échange suivantes indiquant l’égalité de la demande et de l’offre de chaque marchandise en et contre toutes les autres ensemble :

Da,b -j- Da,c "1“ Da,d 4" ••• — ^ Ihj.aJUj.a “h Dc.aPc.a -|- Dj.aPil.a 4“ • • ■

Db.a 4“ flb.c 4“ Db.d 4~ ••• Da.bpa.b -f" Oc.b/^c.b -)- Dil,bp,i,i) -}-...

Dc.a 4” Dc,b 4- De, cl -)-...= Da,e/>a,c. 4“ Db,cPl),c 4“ Dd,eP(i,c 4~

Del, a “H Dd.b 4~ Dd,e -f- ... = Da,d/Ja,d 4“ Db.djDb.d 4" Dc.d/Jp.d -|- . . .

et ainsi de suite, soit m équations. Mais ces ni équations se réduisent km — 1. En effet, en y introduisant les valeurs des prix tirées des équations d’équilibre général, et désignant plus simplement parpb, pc, pa... les prix de (B), (G), (D)... en (A), elles deviennent

Ba,b 4“ Da.c 4“ Da.d 4” ••• — Db.aPb -f- Bc.aPc 4“ Dd.aPd 4“

Db.a 4“ Db.c 4“ Db,d “)“••• — Ba.b 4- Dp, b

Pc. , p. Pd

Dc,a + De, b + De.(i + ... — Da,e. + Db.e h Dd,c ““ +

jfc Pc Pc

' t ij

Dd.a 4“ Bd, b 4~ Bd.r 4" — Ba.d “ h Db,d ~ h Dc,d 777 h

Pd

Pd

pà

Et si, alors, on additionne ensemble les m — 1 dernières, après avoir multiplié les deux membres de la première parpb, de la

seconde par pc, de la troisième parpd... et qn’on retranche de part et d’antre les termes identiques, on retombe sur la première équation du système. Cette première peut donc être négligée et le système réduit aux m — 1 suivantes. Celles-ci demeurent alors comme m — 1 équations d’échange qui, jointes aux ni (ni — 1) équations de demande et aux (m — 1 ) (m — 1 ) équations d’équilibre général, forment un total de2m(m — 1) équations dont les racines sont les m (m — 1) prix desu? marchandises les unes en les autres et les ni(m — 1) quantités totales de ces m marchandises échangées les unes contre les autres. Voilà comment, les équations de demande étant données, les prix en résultent mathématiquement. Reste seulement à montrer, et c’est là le point essentiel, que ce même problème de l’échange dont nous venons de fournir la solution théorique est aussi celui qui se résout pratiquement sur le marché par le mécanisme de la libre concurrence. Et toutefois, avant rl’eflfectuer cette démonstration, nous allons nous placer dans le cas où les échangeurs sont porteurs de plusieurs marchandises qui est le cas général que le théorème de la satisfaction maxima permet toujours de traiter d’une manière simple et facile.