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Formule générale de solutio}i mathématique du problème de Véchange de plusieu rs marchandises entre elles Loi d^ établissement des pri,c des marchandises.

SOMMATUK : — 1 17. Cas général de porteurs de i)lusieurs marchandises. — 1 18. Equation d e<|uivalence des quantités écliangées. E((uations de satisfaction inaxima. Equations de demande ou d’olïre paidielle. — 119,120, 121, 122. Condition de roflVe égale a la quantité possédée. Conséquences. 123. Système des m — 1 équations d’égalité de la demande et de l oUre totales.

I2i. De l’échange de plusieurs tnarchandises entre elles sur le marché. — I2Ô. Prix à ci’ier; prix en numéraire impliquant réquilihrt* général. Détermination sans calcul des ilemandes ou olïres partielles conformément à la condition de satisfaction maxima. — 120, 127. Inégalité de la demande et de Toflre totales. — 128. Variations de la demande et de roH're totales suivant la variation des jirix entre zéro et rinlini. — 129, 130. Il faut augmenter les prix quand la demamie est supérieure à l'olFre et les diminuer quand l’olfre est su|)éi‘ieure à la demande.

117. Dans le cas de l’échange d’un nombre quelconque de marchandises comme dans le cas de l’échange de deux marchandises entre elles, les équations de demande effective partielle sont mathématiquement déterminées par la condition de satisfaction maxima des besoins. Quelle est d’ailleui'S cette condition? C’est toujours que le l'apport des rai'etés de deux marchandises quelconques soit égal au prix de l’une en l’autre, faute de quoi il y a un échange avantageux à faire entre elles (SO). Si les échangeurs ne sont porteurs que d’une seule marchandise, et si, en vue de laisser les arbitrages se faire, on crie m(m — 1) prix des ui marchandises deux à deux, non assujettis à la condition d’équilibre général, la satisfaction maxima aura lieu, pour chaque échangeur, quand les rapports des raretés des marchandises à demander à la rareté de la maichandise dont il est porteur seront égaux, non pas aux prix criés, mais aux vrais prix à obtenir par ai'bitrages. Mais si les échangeurs sont porteurs de plusieurs marchandises, et si, pour empêcher, au contraire, qu’il y ait lieu à arbitrages, on crie m — 1 prix de m — 1 d’entre les marchandises en la

— Did —

|)i'ise pour numéraire, étant entendu que le prix de deux marchandises quelconques l’une en l’autre sera égal au rapport lies prix de l’une et l’auti-e en le numéraire, il est évident que la satisfaction maxima aura lieu pour chaipie échangeur quand les rapports des raretés des marchandises autres que la marchandise numéraire à la rareté de cette marchandise numéraire seront égaux aux prix criés.

1 18. Soit donc l’échangeur ( 1) porteur de lya.i de (A), de ryi,,i de (H), de i/c,i de (G), de i/a.i de (D)... Soient r = Ça,i(7), r = ç\i,i{q), r — Çc.iijy), = les équations d’utilité ou

de besoin des marchandises (A), (H), (G), (D)... ])Our cet échangeur pendant un ceidain temps. Soient pb, pc, les prix respectifs des marchandises (B), (G), (D)... eu (A). Et soient ■'1, yi, u’i... les quantités i-espectives de (A), (B), (G), (D)... que l’échangeur (1) ajoutera aux quantités i/a,i, qb.\, qcj, gd.i... dont il est porteur aux prix pb, Pc, p<\..- Ges quantités peuvent èli-e positives et représentent alors des quantités demandées; elles peuvent être négatives et rei)résentent alors des quantités olfei-tes. El, comme notre échangeur n’aura pu demander de certaines marchandises qu’à la condition d’offrir de certaines autres en quantité équivalente, il est certain que si parmi les quantités .r-i, tji, n, u’i... les unes sont positives, les autres seront négatives, et que, d’une façon générale, on aura entre elles toutes l’équation

•'’i "t~ t/ipi) ~ipc. -j- tci pi\ -|- ... = 0.

Etant supposé d’ailleurs l’état de satisfaction maxima, on a évidemment, entre les mêmes quantités, le système d’équations

+ J/l)=phÇa,l(^fa,1 + Æl ),

Çc,i(qcA -|- "l) =^yJcÇa.l f^ya.l -f- a’i),

ç'(i.i(fyiu + m)=pdÇ.iA{qaA -f xi),

soit m — 1 équations formant avec la précédente un système de m équations entre lesquelles on peut supposer successive-

ment éliminées m — 1 des inconnues y\, z\, w\... de sorte qu’il ne reste plus qu’une équation donnant la en fonction des prix. On aurait ainsi les équations suivantes de demande ou d’offre de (B), (C), (D)... par l’échangeur (1) ;

'/l=/’b.l(Pb, Pc, î>d...)

?1 =fc,\{ph, Pc Pd...) liH = fd.i(ph, Pc, Pd-.-)

la demande ou l’offre de (A) par le même échangeur étant fournie par l’équation

Xi = — {ijiph -)- Zipc -f w-ipa-..).

On aurait de la même manière les équations suivantes de demande ou d’offre de {Bt,(C),{D)... parles échangeurs (2), (3)...

ll-i — fb-i(pb, Pc Pd-..)

Z2 = fcMPh, Pc Pd-..) lV-2 = fdMPh, Pc, Pd-..)

//3 = /'b,3(pb, Pc Pd--.) ■3 = /c,3(i>b, Pc Pd-..) U'd = fdMpb, Pc, Pd-..)

et ainsi de suite, la demande ou l’offre de (A) par les mêmes échangeurs étant fournie par les équations

x-2 = — (y-i ph z-zpc d- w-zpd ...)

-JCd = — (UdPb d- Z3Pc d- ît’3Pd...)

C’est ainsi que les dispositions à l’enchère de tous les échangeurs se déduiraient de l’utilité des diverses marchandises

pour chacun d’eux et de la quantité de ces marchandises possédée par chacun d’eux. Toutefois, et avant de passer outre, il faut ici faire une observation très importante.

119. Il se peut que, pour certains prixjSb, pc, pd... ;/i soit négatif: c’est le cas où l’échangeur (1) offre de la marchandise (B) au lieu d’en demander. Il se peut même que j/i soit égal à — f]b,i ■ c’est le cas où cet échangeur ne garde pas de marchandise (B). En introduisant cette valeur de iji dans le système des m — 1 équations de satisfaction maxima elles deviennent

Ç^b.l (0) = pi,Ç''a.l ( 'pi.l -f- •'"l)»

Çc,l (cjcA d- Z]) = PcÇ'a.l (qaA -|- Xi),

ÇdA(<ldA +H’l)=pdÇag('(]fa.l + Xi),

Et, en éliminant pi„ pc, pd--- entre ces équations et l’équation

Xi + zipc + u’ip.i -t- ... = qbAPb,

on obtient l’équation

■''lÇ’a.-l(^a,l+d7i)+Zlg^,.,g^o.l + Zl)-|-U’-lÇ'd,'|(^7,l,l+ U'i) + . . .= (jfb.lÇîb.iffl).

Cette équation est une équation de condition qui peut être traduite en ces termes : — Pour que l’offre d'une dentre les marchandises puisse être égale à la quantité possédée de cette marchandise, il faut qu’on puisse inscrire, dans la portion d’aire des courbes de besoin des marchandises à demander supérieure à la portion représentant les besoins satisfaits par la quantité possédée, des rectangles dont la somme soit égale en surface au rectangle fait sur la quantité possédée de la marchandise à offrir pour hauteur et sur V intensité du besoin ma.cimum de cette marchandise pour base.

Cette condition sera ou ne sera pas remplie. Si elle l’est, l’offre de (B) par l’échangeur (1) pourra, dans certains cas, être égale à la quantité (p),i dont il est porteur. D’ailleurs, elle ne pourra jamais être supérieure cà cette quantité. Il est donc essentiel de remarquer que, pour toutes les valeurs depi„ p,>

qui rendraient ?/i négatif pins grand que qu.x, dans l’équation de demande ou d’otTre de (B), cette équation devrait être

remplacée par l’équalion //i =