PRÉFACE
L'objet de ce petit travail est de montrer comment on détermine l'approximation à laquelle il faut calculer chacun des nombres qui figurent dans une expression qu'on doit évaluer avec un degré donné d'exactitude, et, en outre, de faire connaître les procédés les plus avantageux de calcul abrégé.
C'est en vue seulement des étudiants en sciences mathématiques qu'a été rédigé ce petit livre, on n'a nullement voulu écrire pour les praticiens, pour les personnes que leur profession appelle à calculer. Les praticiens, je crois, se passent aisément des traités de calcul approché, car ils ont à leur service les tables de tout genre et les calculateurs mécaniques, et ces tables ainsi que ces instruments sont établis de manière à pouvoir faire face à toutes les nécessités de la pratique, à donner rapidement une approximation presque toujours supérieure à celle dont on a besoin, à suffire amplement aux exigences des diverses classes de personnes qui par état ont fréquemment à recourir au calcul. Mais cette approximation n'est jamais que limitée, et l'apprenti mathématicien tient à se sentir en possession de méthodes régulières qui permettent d'obtenir un résultat avec un degré quelconque d'exactitude*
tés de calcul approché sont-Us Ina d it c'est à eux. que s'adresse ce petit erfectioQQé, tant sous le rapport de ] li de la précision, plusieurs des règle nés par les auteurs, et le lecteur a solntioD complète et déânitive de ci 3 nombre minimum de cbitTres qu'il donné pour eu pouvoir extraire la racine n"™ avec :acts. Ayant eu la satisfaction de l'esprit en vue e l'application, on ne s'est pas, dans les diverses iipé surtout des cas qui se présentent le plas frélais on a préféré embrasser toujours l'ensemble blés, et l'on s'est attaché à donner des règles qui ivariablement deux limites de différence moindre admise et entre lesquelles soit certainement comire à évaluer. On s'est en un mot borné à établir impies, générales et infaillibles, laissant au calan écarter quelque peu lorsqu'il jugera pouvoir r du temps sans que sa confiance dans le résultat ration en doive être sensiblement amoindrie.' on contient, de plus que les précédentes, la forton, et l'évaluation des radicaux de degrés quelloyen de la méthode de résolution des équation^ le Hôrner.
DE
ARTICLE PREMIER Préliminaires.
1. Gonéevons que d'une grandeur R on possède une valeur approchée A : on nomme erreur absolue de A sa difTérence à R, c'est-àdire A — R, ou R — A, suivant que A est plus grand que R ou plus petit. L'erreur absolue est une certaine fraction de R, et cette fraction constitue ce qu'on appelle V erreur relative de A. L'erreur relative de
A a donc pour expression — ^ — ou — - — • La connaissance d'un
maximum de Terreur relative est particulièrement propre à donner
une idée du degré d'exactitude auquel est connue la grandeur que
l'on considère. Du reste quand on possède une valeur approchée
d'un nombre et un maximum de l'erreur absolue dont cette valeur
est affectée, on peut calculer le maximum correspondant de l'erreur
relative, et réciproquement.
2. Soient, en effet, A la valeur approchée, et a le maximum de
son erreur absolue; la valeur exacte est comprise entre A — a et
A •+- a, et, par conséquent, l'erreur relative ne saurait surpasser la
fraction
Supposons qu'on possède au contraire un maximum t de l'erreur
relative. Pour déterminer le maximum de Terreur absolue désignons
par X le nombre qui représenterait cette erreur si l'err ;isément égale à t. Suivant que Aestplus petitoi leur exacte, ou, pour employer l'expression usui t approché par défaut pu par excès, on a
1 + t - est la valeur maxim )lue.
ns le calcul approximatif on fait usage presque uniquement res décimaux, à cause de l'avantage qu'on trouve, au point e la rapidité, à ne pas en introduire d'autres dans les opéras erreurs, tant absolues ([ue relatives, sont ordinairement en nombre décimaux.
d'une valeur approchée qu'elle a tous ses chiffres exacts le est fautive de moins d'une unité de l'ordre de celles qu'exn dernier chiffre. Ainsi, que l'on calcule la valeur de (/ 2 en t au cinquième chiffre, on trouve 1,4142; ce nombre est
valeur de ^^ 2 avec cinq chiffres exacts, et il en est de même 3. Si 599 sont les trois premiers chiffres d'un nombre qui en
avant la virgule, 5990 et 6000 sont deux valeurs de ce 'une et l'autre avec trois chiffres exacts, le le maximum de l'erreur qui affecte dne valeur approchée mé par une fraction décimale dont le numérateur est l'unité,
connaît le sens de l'approximation, on peut toujours de tur en déduire une autre dont tous les chiffres soient exacts, menter le maximum de l'erreur absolue. Ainsi, sachant que Bst une valeur d'un nombre approchée par défaut et à moins , on en déduit que 6,342 est une valeur de ce nombre à
0,001, et par suite ayant tous ses chiffres exacts ; seulement inait plus le sens de l'approximation , car rien n'apprend si
approché par déiaut ou par excès. Dans l'intérêt de la ra-
pidité du calcul on préfère se servir de valeurs approchées ayant tous leurs chiffres exacts.
4. Avant de quitter ces préliminaires il nous reste à établir la relation qui existe entre le nombre de chiffres exacts d'une valeur approchée et son erreur relative. Appelons R le nombre considéré mis sous la forme décimale , et r le nombre qu'on obtient en déplaçant dans R la virgule pour l'écrire immédiatement après le premier chiffre significatif. La relation qu'il s'agit d'établir est fondée sur la proposition que voici : Si l'erreur absolue est inférieure à une unité de l'ordre de celles qu'exprime le m**"® chiffre de R, V erreur re-
lative est moindre que — rr: — r.
En effet, soient u l'unité de l'ordre du m^^^ chiffre du nombre R, et a l'erreur absolue dont est affectée la valeur approchée que l'on connaît de ce nombre ; nous avons par hypothèse
L'unité de l'ordre du premier chiffre de R vaut u. 40"*-^, et l'on a
R = ru. 10"»-*, puis on obtient, en divisant membre à membre,
R ^ r.lO"»-*' ce qu'on voulait démontrer.
Par exemple, comme la valeur de j/1000 est 31 ,622..., le nombre 31,7 est une valeur de j/1000 fautive de moins de 0,1, de moins d'une unité donc de celles que représente le troisième chiffre, et, par
suite, son erreur relative est inférieure à — .
Si R a été calculé avec m chiffres exacts, l'erreur absolue est évidemment moindre qu'une unité de l'ordre du m^^ chiffre ; donc :
Si un nombre est calculé avec m chiffres exacts, l'erreur relative
est inférieure à la fraction — j-r — r.
Le nombre r n'étant pas connu d'avance, il faudra dans les applications numériques de cette formule le remplacer par un nombre plus petit, par exemple par son premier chiffre, si ce chiffre est d'une détermination aisée. Et comme r ne saurait être moindre que l'unité.
i tous les cas compter sur une erreur relati' ilculant R avec m chilTres exacts.
la réciproque de la dernière proposition l'erreur relative de la valeur approchée qi
! inférieure à — 777 — ;: il n'en résulte pas r.lO"-'
71 prenaiers chiffres de cette valeur sont e: moins conclure qu'elle n'est pas fautive d'i ;s qu'exprime son m"" chiffre. On a en eff
R r.lO"-!' ; i-u.lO*-*, on en tire a < w, ce qu'il fallai e, nous le verrons plus loin, est d'un em| |uand on en veut faire usage il faut substi in nombre plus grand, par exemple le pre té d'une unité, lorsque ce chiffre peut s'obtenir sans ■ me )' est plus petit que 10 il suffira toujours, pour être valeur approchée de R n'est pas fautive d'une unité de es de son ■mf*'" chiffre, de s'arranger de façon que l'er-
iH inférieure à -rrr—.
