ARTICLE DEUXIÈME

SommatioD.

le cet article est de montrer comment, étant donné un t la valeur doit être connue avec m chiffres exacts, oti gré d'approximation auquel il faut, pour cela, calculer rmesqui le composent,

temple 87,51 une valeur approchée du nombfe R, le aeasde l'appio- »nnu ; si R = 87,61, l'erreur relative est plus petite que -rjûTi' ^^ it paa une valeur de R avec trois cbilTres exacts.

On commencera par déterminer l'ordre des unités qu'exprime le premier chiffre de la valeur du polynôme, ce qui se fera par la considération des premiers chiffres de ses divers termes. Par exemple, dans la quantité

• comme on a

le premier chiffre est celui des dizaines. On connaîtra par. là l'ordre des unités que représente le ni*^*»* chiffre, et le problème sera ramené à trouver une valeur du polynôme qui soit exacte à une unité près d'un ordre déterminé, et dont le dernier chiffre soit celui des unités de ce môme ordre. Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, si la quantité doit être obtenue avec cinq chiffres exacts, puisque le premier chiffre est celui des dizaines, le cinquième est celui des millièmes, et tout revient à former une valeur de la quantité qui soit vraie à un millième près, et dont le dernier chiffre soit celui des millièmes.

On devra dans chaque cas diriger le calcul de manière à pouvoir déduire du résultat deux limites qui comprennent entre elles; la valeur exacte du polynôme proposé, et qui soient assez resserrées pour qu'on en puisse tirer une valeur de ce polynôme qui ne contienne que m chiffres, tout en étant vraie à une unité près de l'ordre de son dernier chiffre. Nous allons parcourir les divers cas qui peuvent se présenter, et pour simplifier nous désignerons par u l'unité de l'ordre du m^^ chiffre de la valeur du polynôme.

7. S'il s'agit d'nn simple binôme, il suffira d'en évaluer les deux termes à u près, pourvu toutefois qu'on détermine pour chacun d'eux le sens de l'approximation.

Soit par exemple à calculer i/500 + — avec cinq chiffres exacts,

c'est-à-dire, comme on le reconnaît immédiatement, à 0,001 près. Prenons les deux termes par défaut, chacun à 0,001 près ; on trouve

|/500 = 22,360 et — = 0,461 .

ces résultats, il vient 22,821 , d'où l'on concl deux par défaut, que |/500 + js est compris

22,821 et 22,823, te qu'il est, à 0,001 près, égal à 22,822.

alculer t/17— ^2à0,0001 près. Prenant les t, on trouve

1/Ï7 = 4,1231 et ^2 = 1,2599.

mt ces nombres l'un de l'autre, il vient 2,8632, et ce résultat rand ou trop petit suivant que l'erreur de j/l? est inférieure : (/2 ou que c'est le contraire qui a lieu ; par conséquent ^2 est compris entre

2,8631 et 2,8633, ite, est égal à 2,8632 à 0,0001 près.

!que le polynôme ne contient que deux termes on obtient,

lulant a u près, deux limites du nombre cherché qui ne

|ue de 2w, et, comme nous venons de le voir, cela suffit à

'on a en vue. Mais lorsque le polynôme a plus de deux

s deux limites qu'on obtiendrait en les calculant à u près

nt de plus de 2u, et ne seraient par conséquent pas assez

. Il faudra donc les calculer avec une approximation plus

t nous allons montrer comment on pourra, dans chaque

niner cette approximation.

couvrir la règle à suivre à cet effet, proposons- nous un

3oit à calculer avec six chiffres exacts la valeur du polynôme

(0 ^/ 5 + ^7500 + lOff - -jg- — 1/2 + 1/4800.

m premier lieu connaître l'ordre des plus hautes unités ;

it d'abord les termes additifs, on trouve

= 21,...; i/75ÔÔ = 86,...;10ff. = 31,...; /48ÔÔ=69,....

i soustractifs donnent ensuite

Or on a

21+86 + 31+69 = 207, d'où il suit, puisqu'il y a quatre termes additifs, que leur somme comprise entre 207 et 211. On a de plus

2 + 82 + 1=85, par où l'on voit que la somme des termes soustractifs est entre 8E 88. Dès lors la valeur du polynôme est entre les deux différences

207 — 88 et 211—85, c'est-à-dire entre 119 et 126, et par conséquent son sixième chi est celui des millièmes. On a donc ici w = 0,001 . Nous calculer

défaut, on trouve

^^ÏÔÔÔÔ = 21,5443 ; (/ 7500= 86,6025 ; 10;r = 31,4159

t^mXi = 69,2820 ; y 5 = 2,2360 ; -j^- = 82,3076; /2 = 1,25

La somme des termes additifs et celle des termes soustractifs so respectivement,

208,8447 et 85,8035

La dilférence de ces deux sommes est 123,0412. Pour obtenir di limites entre lesquelles soit nécessairement comprise la quan cherchée, il faut, puisqu'il y a quatre termes additifs et trois terr soustractifs, ajoutera ce résultat quatre unités du quatrième or décimal et eu retrancher trois. On trouve ainsi

123,0409 et 123,0416, et il résulte de ces limites que 123,041 est la valeur de la quani considérée avec six chiffres exacts.

Il a suffi dans cet exemple de calculer chaque terme à — près. (

tait facile à prévoir, car, n désignant te nombre des termes du ] lynôme, si OU les calcule tous au même degré d'approximation, différence des deux limites est évidemment ég3.le à n fois l'ern maximum d'un terme. Dans notre exemple elle devait donc é

r, quantité plus petite que u. Or quai

s ne dépasse pas u, le nombre des u i litre, dilTérer de plus d'une unité, et al liafement déduire des deux limites u e à « près et dont le dernier chiffre so ^la it suffira de calculer chaque ter n ne surpassera pas 10. Il est aisé à ion est encore suffisante si l'on a A = i, le seul cas où le nombre des u pt

e limite à l'autre est celui où le chîl ite inférieure être un 9. Les deux de îs jr^ étant par exemple 59 dans cel

limite supérieure. Mais alors, le chi

i limite supérieure, on voit qu'en augi

es u dans la limite inférieure et suppr

re dont le dernier chilTre est celui des

s de u d'aucune des deux limites, rep

>olyndme.

^nôme se composait de douze termes il

fire de la limite inférieure se trouvait

mt par exemple 59, dans la limite su]

, soit qu'on prenne 6, soit qu'on pn

1 valeur approchée du polynôme, on i

in de l'avoir w près. Il faudra donc évaluer les termes avec

imation plus grande. On reconnaît qu'il suffit de les cal-

près tant que leur nombre ne dépasse pas -100, et même

le dépasse pas lOJ ; qu'il suffit de les calculer à tjj^ près ur nombre ne dépasse pas iOOl, et ainsi de suite.

9. Pour qu'il soit possible de tirer des valeurs approchées des

termes deux limites d'où Ton puisse déduire une valeur du polynôme

exacte à u près et dont le dernier chiffre soit celui des w, il n'est

ordinairement pas indispensable de connaître, pour chaque terme,

le sens de l'approximation. Supposons par exemple que le poly-

u nôme soit composé de sept termes, tous additifs, et calculés à — près ;

qu'on sache que les valeurs approchées des cinq premiers sont

par défaut, et qu'on ignore pour les deux derniers le sens de

l'approximation : il est clair qu'on obtiendra deux limites de la valeur

u du polynôme en ajoutant 7 — à la somme des valeurs approchées des

u termes, et en en retranchant 2 — . Alors les deux limites différeront

u de 9 TTT seulement, et, partant, on en pourra déduire une valeur du

polynôme satisfaisant aux conditions. On voit que chaque terme dont le sens de l'approximation est inconnu agit, pour écarter les limites, autant que deux des autres. Dès lors, dans le cas où le nombre des termes ne dépasse pas 44, s'il est égal à 14 — h, on peut sans inconvénient ignorer pour h termes le sens de l'approximation. Il en est de même quand le nombre des termes est 101 — h, 1001 — ^, etc.

La remarque précédente est utile, parce que quand on doit connaître le sens de l'approximation d'un terme, le calcul de sa valeur est d'ordinaire plus long que quand ce n'est pas nécessaire.

10. Si l'on veut avoir une valeur du polynôme avec m chiffres, à une demi-unité près de l'ordre de celles qu'exprime le dernier, on dirigera le calcul comme pour obtenir non pas m, mais m + i chiffres exacts. On ôtera le (m -|- i)ième^ et suivant qu'il sera plus petit ou plus grand que 5 on laissera le précédent tel quel ou on l'augmentera d'une unité. Il y a doute quand c'est un 5. Pour trancher la question il suffirait dans ce cas de savoir si le nombre de m -|- 1 chiffres qu'on a obtenu est approché par défaut ou par excès, et l'on arrive quelquefois à découvrir ce qu'il en est à cet égard en revoyant les calculs et tenant compte des quantités négligées. Lorsqu'on ne parvient pas de la sorte à savoir si le résultat est approché par défaut

faut se procurer le (m + 2)'*™ chiffre, d :ra le point, pourvu seulement que ce ne

aient d'ailleurs les opérations que nécessi g;randeur, si l'on veut avoir à une demi-u

er chiffre conservé le nombre qui l'exprii ;omme pour connaître un chiffre de plus us aurons donc seulement, dans tout ce q loyens de former les résultats à une uniti 1 avec un nombre assigné de chiffres exa