x)' = a" + na'^'x H ^ — - a"-^x

Écrire, a représentant -,

sons a très petit; n^ligeons-en les puisse uxième ; la dernière équation se peut alors

11 1 N — a' elle donne- — ^ pour valeur approchée >

cette expression dans la parenthèse du d^ mbre ; il vient une équation qui peut s'écrir

i = a + ic ^ a (l + a), ce qui par la dernière valeur de «

(n — -1) N-f (n + lK ■ i la formule de Hutton. Voici comment Collins, au N" 7 du ; ses Geomelt'icai Miscellanies *, en détermine le degré ide.

■ns e la racine cherchée, c'est-à-dire posons N = e", et soit y ; on a y = — x. Mettant pour N et a ces valeurs dans la le Hutton, le premier membre devient e, et le second

;n haut par ô" +', en bas par e", multipliant par e, et reprépar £, cette expression prend la forme

(n+l)(l4-^) + [n-l)(l+0--+ n -H-[n + !)(! + e)" int et négligeant les puissances de c supérieures à la troiobtient

tiaut et bas par l'ensemble des trois premiers termes, qui ime de part et d'autre. Puisque nous négligeons les puis- £ plus élevées que la troisième il suffira de diviser les quaermes par le premier terme du diviseur, savoir par 2rt, et il

es de la Sociefé des sciences phy^ques et natuTtlles de Bordeaux, pret. IX.

Or si p et y sont deux nombres très petits, on a, en négligeant leur» produits et leurs puissances,

et alors, à cause de

(n + 1) (n — 4)2— (n + l)(n — 1) (?i — 2) = (n + 1) (n — 1) = n^ — 4, la dernière expression devient

et Terreur de la formule est à peu près égale à

-^— - ee^ ou a -— -.

42 42 or

Soit fe + 4 le nombre des chiffres connus de la racine cherchée ; supposons, comme on est ici en droit de le faire, que la virgule vienne à la suite du premier ; on aura x < 40""*, et Ton trouvera dans chaque cas le nombre de nouveaux bons chiffres que donne la méthode. Si par exemple n = 7 et a > 2, Terreur est moindre que 40"^*, et la méthode pourra donner 2k nouveaux bons cjiiffres. Si le premier de ces chiffres est faible, x est très inférieur à 40"*, et Ton pourra obtenir un ou deux bons chiffres de plus.

Il va sans dire qu'on ne calculera pas ces nouvelles figures au moyen de la formule (B), qui avant de les livrer ferait repasser par celles qu'on a déjà, mais qu'on mettra en œuvre la formule (A) après y

avoir remis — pour a, par quoi elle devient

-sS^""