DAS TON
Cr
Ex :
devront être trouvées d’ après l'équation de la-surface dont l'aire partielle est demandée.
; Puisque les limites sont trouvées en projetant ne demandée sur un des plans de coordonnées, on doit se souvenir que : | Pour trouver la projection de l'aire cherchée sur le plan XOY, È on élimine z entre les équations des surfaces dont les intersections ” forment la limite de l'aire.
j De même, on élimine y pour trouver la projection sur le plan : = XOZ, et x pour la trouver sur le plan YOZ. à - Cette aire d’une surface donne une illustration nouvelle de l’énté- gration d'une fonction dans l'étendue d'une aire donnée. Ainsi, dans @), p. #82, nous intégrons la fonction
D ee
| dans l'étendue de la projection sur le plan XOY de la surface curwihgne cherchée.
Exempse 1. — Trouver l’aire de la surface de la sphère L + y? +2? = r? par double intégration.
| - Solution. Supposons que ABC dans la figure 264 représente e huitième de la : surface de Ta sphère. Ici,
DEA MENTON ES. -Ù ES RAR n SU es pins C1 E dT 2° 07 Z , * 2 dz \ 2 ME CR 2 a 242 r?
ÿ dr .\dY z Z° ñ T2 — x? — y?
- La ie de l'aire cherchée sur le plan XOY est AOB, région limitée par æ = 0, (OB); y — 0, (OA); x? ect (BA).
En intégrant d’abord par rapport à y, nous additionnons tous les éléments d’une bande (telle que DEFG) qui est projetée sur le plan
zéro et MF(—4ÿ7r? — x?). Alors, en intégrant pàr rapport à +, nous additionnons toutes les bandes composant la surface ABC, c’est-à-dire que les limites de æ sont zéro et OA (— 7»). En substituant dans (B), nous obtenons
sf. a rr Vrai 2
ou A 4rr?. Réponse.
EXEMPLE IL. — Le centred’une sphère. de rayon r est sur la surface d’un cylindre
XOY suivant une bande également (telle que MNFG), c’est-à-dire que les limites de y sont
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484 ù CALCUL INTÉGRAL
droit dont le rayon de Dire est + Trouver la surface du cylindre interceptée par la sphère (fig. 265). | je
Solution. En prenant l’origine comme centre de la sphère, une génératrice du :
cylindre pour l’axe des x et un diamètre d’üne section us du cylindre pour. l'axe des x, l'équation de la sphère est
CE 9 RD a Al DV Er Et?,
et celle du cylindre, LV =TE:
ODAPB est évidemment un quart de la surface cylindrique cherchée. Puisque É
conséquence, nous projetterons notre aire sur le plan XOZ, par exemple. Alors, la région $,
d’abord par rapport à z, nous additionnons tous les éléments contenus dans une bande verticale (telle que PD), les limites de z étant zéro et
ÿr?— rx. En intégrant ensuite par rapport à.
nous additionnons toutes ces bandes, les limites de x étant zéro et r. Puisque .
la surface demandée se trouve sur le cylindre, les dérivées partielles cherchées pour la formule (OC), P: 482, doivent être trouvées d’après l'équation du
cylindre.
Par suite, 7 En substituant dans (OC), p. 489, il vient
 Per AV/r2 Pr 2 16 P=S D%\ D) ; Re | MERS dzdzx. É 4 D E | La 2y ) | oh
En substituant la valeur de y en fonction de x d'après l éqastion du cylindre,
nous avons .
Vrè=rr dæ æ PR Ar [| fe Dhs = [VB ur = 2] \ — dx = Ar?, rx — x? ne TT — 2? 0 He».
EXEMPLES
4. Dans l'exemple précédent trouver la surface de la sphère interceptée par le
cylindre. UE À Rép. 4r A À cr Gos — — 9x — 9)r?.
dans l'étendue de laquelle rious intégrons, est. OACB laquelle est limilée par z—0, (OA); æ —0,(OB); 2° + rx =r?, (ACB), la dernière# équation étant obtenue en éliminant y entre les’ équations des deux surfaces. En intégrant
cette surface se projette suivant l’arc semi-. circulaire ODA sur le plan XOY, il n’y a aucune région S dont nous puissions nous servir. pour déterminer nos limites dans ce plan; en
2. Les axes de deux cylindres circulaires droits égaux, de rayon de base r, se . coupent à angles droits. Trouver la surface de l’un de ces cylindres interceptée . par l’autre.
> Nore. — Prendre °+2?= r? et a° + y? — r? comme équations des cylindres.
Rép. 8» f7 [Tee dyde gp, Vr2— DE
3. Trouver par intégration l'aire de la portion de surface de la sphère 2? + y? + 2? — 100
qui se trouve comprise entre les plans parallèles x = —8 et x — 6.
LA Des de 2
4. Trouver la surface du cylindre æ? + y? — r? comprise entre le plan z: — mx et le plan XOY. | Rép. 4r?m.
5. Trouver la surface du cylindre 2? + (x cos « + ysin RUE — 7? qui est située dans le compartiment positif des axes de coordonnées.
NoTE. — L’axe de ce cylindre est la ligne z —0, x cos « + y sin « — 0 et le rayon de base est r. | 2 > Rép. Ms PR PC SIN &« COS & 6. Trouver l’aire de la partie du plan = Se . A — — 1 qui est interceptée par
les plans de coordonnées.
Rép. LD Ge.
7. Trouver l’aire de la surface du paraboloïde y? + 3? — 4ax interceptée par
le cylindre parabolique y? — ax et le plan x — 34. Rép. 36,» % K OT 8. Dans l’exemple précédent, trouver l'aire de la surface du cylindre interceptée par le paraboloïde et le plan. Rép. (13V13— 1). | 3
9. Trouver l'aire de la portion de la surface du cylindre y? + 25 — 4? limitée
par une courbe dont la projection sur le plan XY est æ +y3 — 4.
10. Trouver l'aire de la portion de la sphère x? y coupée par une nappe du cône æ&°? + 2? — 7°. : Rép. 9ra?. 227. Volumes trouvés par triple intégration. — Dans beaucoup de cas, le volume d’un solide limité par des surfaces dont les équations sont données peut être calculé au moyen de trois intégrations successives, la méthode étant simplement une extension des méthodes employées dans les paragraphes précédents de ce chapitre. Supposons que le solide en question soit divisé par des plans menés parallèlement aux plans de coordonnées en parallélépipèdes rectangles ayant les dimensions Az, Ay, Aæ. Le volume d’un de ces parallé-
lépipèdes est As: Ay:Aæ et nous le choisissons comme élément de : volume. Additionnons maintenant tous les éléments compris dans la : région R limitée, par les surfaces données en additionnant d’abord tous les éléments contenus dans une colonne parallèle à l’un des axes de coordonnées. Additionnons ensuite toutes les colonnes contenues dans une tranche parallèle à l’un des plans de coordonnées contenant cet axe, et, finalement, additionnons toutes les tranches comprises dans la région en question. Le volume V du solide sera alors la limite | de cette D somme quand Az, Ay et Ax tendent. vers zéro, : c'est-à-dire que ee
limite
les sommations étant étendues à toute la région R limitée par les surfaces données, ou, ce qui revient au même,
| V=— IE dzdydx,
les limites d'intégration dépendant des équations des surfaces de
démarcation. Ainsi, par extension du principe du $ 218, p. 464, nous dirons que le volume est le résultat de l'intégration de la to f(æ, y, 5) —1 dans toute l'étendue d'une région donnée.
Plus généralement, beaucoup de problèmes demandent l'intégration d’une fonction variable de æ, de y et de z dans toute ee d'une région donnée, ce qu'on exprime par la notation | .
LA. HE, nd Jo TR
qui est, bien entendu, la limite d’une triple somme analogue aux doubles sommes que nous avons déjà diseutées. La méthode pour
évaluer cette Intégrale triple est précisément analogue à celle déjà expliquée pour les intégrales doubles au $ 218, p. 464.
EXEMPLE [. — Trouver le volume de la nee de l’ellipsoïde :
y? SA b?
qui se trouve dans le premier octant (fig. 266).
| Solution. Soit 0 — ABC la portion de l’ellipsoïde dont on demande le volume, les équations des surfaces qui le limitent étant
(1) D + £=1, (ABC), (2) Pre = V, (OAB), UNS re ee SU OR)
PQ est un élément, puisque c’est un des
parallélépipèdes rectangles de dimensions Az,
Ay, Az suivant lesquels des plans parallèles
aux plans de coordonnées divisent [a région.
s - En intégrant d’abord par rapport à z, nous
additionnons tous les éléments contenus dans une colonne (telle que RS), les limites de z
étant zéro [d’après (2)]| et TR = Ex, \ 2 — ee [d’après (L), en résolv ant par rapport à z]. a", sb
| En intégrant ensuite par rapport à y, nous additionnons toutes les colonnes D tentes dans une tranche ee que DEMNGF), les limites de y étant zéro
d os (3)] et MG — n/1=£ — — [d'après l'équation de la courbe AGB, savoir + L = 1, en résolvant par Re à y].
; Ée en intégrant par rapport à æ nous additionnons Loutes les tranches con- tenues dans la région entière O — ABC, les limites de x étant zéro |d’ CRES @] HELOA— 0
Par suite LE n : ë HORS VER neue 2 A V — 14 se a Vi ER ilyar 0 «/0 0 | RÉ PET ET A 1 a a Ne x? y : at ALES = — = dydx | hote:
È : CT O0 Ne EtA AS l © © rabc 2e | nil (a DIF der FE
4rabc
-Par conséquent, le volume de l’ellipsoïde entier est
ExempLe IL — Trouver le volume du solide compris entre
me paraboloïde de révolution æx?+y?— az, /
Je cylindre cm +y— ar,
Ë Le le plan À PAIE
6 Solution. Les liraites de z (fig. 267) sont zéro et NP =, trouvé en
x résolvant l’é équation du paraboloïde par rapport à 2). Les limites de y sont zéro et MN(= V2ax — x?, trouvé en résolvant l’équation du cylindre par rapport à y). |
Les limites de + sont zéro et OA(— 2a).
Les limites ci-dessus s'appliquent au solide ONAB,
qui est la moitié du solide dont on cherche le volume.
Par suite,
ee FE dadyde =.
EXEMPLES
4° Trouver, par triple intégration, le volume de la sphère x? + y? + 2? — LE
2. Trouver le volume de l’un des deux coins enlevés du cylindre &? + y? — r?
; r Vr2 — x? mz Drm
par les plans z — 0 et z— mx. Rép. 2 fs Je fe dzdydx — EN o /0 0 ES
3. Trouver le volume d’un cylindre elliptique droit dont l’axe coïncide avec l'axe des x et dont la hauteur est 24, l'équation de la ni étant ps + b?2? — b?c?.
Rép. DNS * éipte = ae
4. Trouver le volume entier faite par la surface É : } et les plans de coordonnées. É
ab Rép. T° : #90 Hepier ee 5. Trouver le volume entier limité par la surface “] su +2— a. .— AT ë Rép. —.
sv P: T5
"6. Trouver le volume découpé dans une sphère de rayon a par un cylindre circulaire droit de rayon de base b et dont l’axe passe par le Fe de la spuères
Rép. — 4e Los a Ce ht :].
7. Trouver par triple intégration le volts du solide limité par les plans æ— 4, y—b,z— mr et lés plans de coordonnées XOY et XOZ. Rép. :mba?.
8. Le centre d’une sphère de rayon r 4 sur la surface d'un cylindre circu-
laire droit dont le rayon de Ia base est —. Trouver le volume de la portion du nos interceptée par la sphère. Rép 3 — 13
9. Trouver le he limité par le paraboloïde hyperbolique «1 — «y, le plan
© XOY et les plans # — 4, 2= dy ÿ = bi, Y = D Rép, (= 0) — 0) AC 10. Trouver le volume commun aux deux cylindres x? +7? —7r? et L? + 72 — 2, | À À Rép 1673 P | “: 3 41. Trouver le volume du tétraèdre limité par les plans de coordonnées et le Hd EST | Rép. + abc.
42. Trouver le volume limité par le paraboloïde +? + y? — ;—1etle plan XY. es | FAR Rép Fr : = À 3 F > 4% ; 2 | 43. Trouver le volume commun au paraboloïde y? + 3? = 4ax et au cylindre
2 par. 16
ne 14: Trouver le Sole compris entre le paraboloïde y? + 7 — — 4ax, le cylindre | parabolique y? — ax et le plan x — 3a. (6 hs 94/3 )a2. LS gs £ MER
1 15. Trouver le volume entier à l'intérieur de la surface x? + y? +72 2 — a?
46. Calculer le volume d’une colonne cylindrique reposant sur la surface com- __ mune aux deux paraboles x — y?, y = x? comme base et découpée par la surface - 2x —=192+y— x.
47. Trouver le volume limité par les surfaces p=z+i, y—— x +, z——9, 2=T +4.
18. Trouver le volume limité para? ne M2, + y —1 HA les plans de coordonnées.
49. Étant donné un re circulaire droit de hauteur «a et de rayon de base », par un diamètre de la base supérieure. passent deux plans qui touchent la base. inférieure sur les côtés opposés. Trouver le volume du cylindre compris
entre ces deux plans. j Rép (- ne < Je PU sS
Rép. Da + at.
