à Rép. (a) a, —6t— 2; (b) 10 mètres par (éco

UE - 43. Lorsqu'un point se meut sur une trajectoire fixe de telle sorte que s —ÿ#.

montrer que l'accélération est négalive et proportionnelle au cube de la vitesse. 14. Si l’espace.parcouru est donné par

+ S ; s—aet + beTt,

montrer que l'accélération est toujours égale en grandeur à l'espace parcouru. 45. Si un point rapporté à des coordonnées r eclangulaires se meut de façon ques 1 æ—acos t+b et y—asint+ 0, montrer que sa vilesse est constante. = 1 16. Si la trajectoire d’un point mobile est la courbe : SR x= at,” | « 0 HD SGEN OS tee | L

montrer : (a) que la composante v, de la vitesse est constante ; (b) que l sccéléra tion du point à un instant quelconque.est BPABRE lionnelle à sa distance à l'axe des æ.. | | “2 : ÿ 4 47. Étant données les équations suivantes du mouvement curviligne, trouver à

l'instant donné 5, 0,, 0; à, 4, a; la position du point (coordonnées): la direc- … tion du mouvement. Trouver également l’équation de la trajectoire en coordon- *

F nées rectangulaires. ; 4 FE US Ga)r=r,y=t;t—)2. (9) r—9siné, Vos tr ‘4 CIRE Riu RTE LS » 20

1) 0 = SIN y EICO0S 2P3 t— 7 ÉD RE ES HA EE De (h) 4 a

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| € à CHAPITRE VII | /-DIFFÉRENTIATION SUCCESSIVE

ma Définition des dérivées successives. — Nous avons vu V0 que la dérivée d’une fonction de æ est en général une fonction de à: * Cette nouvelle fonction peut également être différentiée ; dans ce cas à dérivée de la dérivée première est appelée dérivée seconde de la # fonction primitive : De même, la dérivée de la dérivée seconde est appe-: 2 | lée Gras Ho tune et ainsi de suite jusqu’ à la dérivée ie RUES Si vs

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PR ie bons. Notation. 2 “les symboles des dérivées. successives sont R “ha bituellement abrégés ainsi qu’il suit: |

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LATTES d La y __ d'y FR ET + 2 de\drr h dx à. ur se

ëS = 10) les dérivées successives Sont également Jon par HARAS ‘ 4 (a Mo : F@, f(x) AC f"(@). RE fx) : | e “à p RTS k <

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M 110 © GALGUL DIFFÉRENTIEL à: w 2 # Pinus 16, Dérivée #°. — Pour certaines fonctions une expression gen ee rale en fonction de n peut être trouvée pour la dérivée n°. La méthode

Re habituelle consiste à trouver un certain nombre de dérivées successives, …

k d'écrire ensuite, par LHAUCHONS la dérivée °. FA que, d'y | ai & ExePLe IL — - Étant donné y —e thauver Re Ru | TA EC” sie Solution. PE LE + 11 RP ; ER.

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‘FAN 77. Formule de Leibnitz pour la dérivée n° d’un produit. — Rs. Cette PAR an la dérivée n° du produit de deux Niro et ëi

| 17” PLAT: JA a nt k ee RAS 2 Lait Fa ». ù à " TT IRES en be EU EN TES NEC | Re APRES | ET ARE . à h As 2 À ! + 4 + ES | DIFFÉRENTIATION SUCGESSIVE dir RIT sont des fonctions de a nous avons, d'après V,. “4 SE % LÉ. de 1 È 1 1 A DE RE URU | TUE : Fe \ / + da É $ | ; érentions de nouveau par rapport à «: c Re dde de du, aude dr PS.

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2 de dé dx dx” dx dax dx?” dx dx? AL. w ‘ 1 à gt du dv nd | LES Œ' RANCE RU RUE dx” 4e % ire futnériques suivent la même loi que ceux du hs À AL e du binome et que les indices des dérivées correspondent aux Ka )osants du théorème du binome(*). Dans ces conditions, en rai- 55 40 nnant par ‘induction de la dérivée m° à la dérivée (me + 1)° du 10 CPR \ 1016 Le: nous pouvons démontrer la formule de Leibnits. ro SN d'u d'-ludv , n(n—1l)dudv ‘6 2 ee D ee de ( ) Fe “à He OURS x à AS NOT D € dx’ “hr de : du di "y d' . \ dx dxeT! dx F ENT d " ” RS EMPLE LÉ Étant donné yet log 7, NAT © par la formule de Leibnitz. Nav 4 | FE utio: Soit u = ” et v—logz; x KE Een rh dpe 4 ? RTC D M ï dx dir 3 du AE] OR = = — —) dre dv "A du — ee? dv D; 2. k.

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En substituant dans (17), nous -obtenons | 2

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