Ï^TT
On trouvera donc, en employant les mêmes considérations que pour cosâT,
sm
Ainsi sin^t; se trouve décomposé en une infinité de facteurs du premier degré en x^ dont le premier est x^ et les autres sont renfermés dans la formule générale
Tiff
n désignant un nombre entier quelconque. En* les égalant à zéro, on trouve toutes les racines de l'équation sina? = o, qui sont représentées par la formule =b /ztt, /z désignant un nombre entier quelconque qui peut être zéro.
Cfl/c. i/i/. ^. — !• Sx
KOTE SUR LES FONCTIONS DUNE YARIABLB IHAGINAIRE;
Par' M. J. BERTRAND,
Membre de l'Institut.
Définition d'une fonction imaginaire,
1. Lorsqu'une fonction ^(z) est donnée pour toutes les valeurs réelles de la variable z dont elle dépend, elle n'acquiert pour cela aucun sens lorsqu'on y remplace z par une expression imaginaire
x-hj/^: l'expression <ï>(^-i-/v^— i) ne peut donc s'introduire dans les calculs ou dans les raisonnements, sans une définition précise qui, pour toutes les valeurs réelles de x et de jr, en fasse connaître la partie réelle et la partie imaginaire, en permettant d'écrire
(jO-i-jr^—l) — p|-Qy/i
P et Q étant deux fonctions réelles connues de a: et de x-
Il ne faut pas croire cependant que les deux fonctions P et Q puissent être choisies arbitrairement; toute expression de la forme
où P et Q sont des fonctions de x et de /, n'est pas une fonction de
X -i- f \/~ i ; pour la considérer .comme telle, on exige une condition sans laquelle disparaîtrait toute analogie entre les fonctions imaginaires
et les fonctions réelles ; pour que la somme P h- Q v^— i soit considérée
comme une fonction de a; -f- j y/— i , il ne suffit pas que cette expression soit déterminée lorsqu'on se donne x et /, il faut encore qu'elle
lîOTE SUR LES FOIÏGTIOI^S d'uIÏE VARIABLE IMÀGII^ÀIRE. 483
ait une dérivée déterminée et que le rapport de son accroissement infiniment petit à raccroissement correspondant dx-h djr v/^ de la
dr variable soit indépendant du rapport arbitraire ^* Si Ton voulait
s'affranchir de cette condition, la théorie des fonctions imaginaires serait simplement celle des fonctions de deux variables et leur étude spéciale n'offrirait aucun intérêt.
Lorsqu'on attribué à x et à j les accroissements infiniment petits dx
et djTj l'accroissement de P -h Q y^^ est
Pour que le rapport de cet accroissement h dx -^df yj—i soit indépendant de ^9 on doit avoir
dV r— dQ
dv ^ ,^-[^Q^/^ ^y ^
dx ^ dx v/~~i
et l'on voit, après avoir chassé le dénominateur, que cette équation équivaut à deux autres
rfP^rfg ^^^.
dx" dy dy ~~ dx
Ces deux équations sont nécessaires et suffisantes, d'après notre définition, pour que P h- Q \f^ soit une fonction de x h-^v^— i; lorsqu'elles sont satisfaites, on a
^.(P + Qv/=7)^^P , ,/— ^Q^^<J sn"^^' d[x-^y^^) ^ dx dy ^ dy''
on en conclut que, ^ (z) désignant une fonction quelconque delà variable imaginaire z égale à x-k-y\f^^ et <jp' (z) étant la dérivée de f (2), on a
Ces équations pourraient être écrites a priori comme conséquences de la règle de différentiation des fonctions de fonctions, s'il était permis d'invoquer cette règle avant d'avoir constaté Texistence d'une dérivée déterminée et indépendante du rapport des accroissements infiniment petits attribués à ^ et à j^.
2. Les équations du paragraphe précédent, qui lient l'une à l'autre les fonctions P et Q, permettent d'éliminer l'unç d'elles et fournissent une équation importante à laquelle l'autre, considérée isolément, doit satisfaire. En ajoutant ces équations après avoir différentié la première par rapport à :r et la seconde par rapport à j, on trouve en effet
dx^ dy^ ~~
et, en les retranchant après avoir différentié la première par rapport à 7 et la seconde par rapport à x, on a
î^-HÎî^ = o.
dx^ dy
Ces conditions imposées aux fonctions P et Q expliquent comment une fonction imaginaire possède, ainsi que nous le verrons, un grand nombre de propriétés très-précises et indépendantes de sa définition ; il ne faut pas en effet, on le comprend dès à présent, attacher à une fonction imaginaire quelconque l'idée d'une indétermination aussi complète que celle d'une fonction réelle quelconque. Pour chaque valeur de la variable, une fonction réelle peut être choisie arbitrairement, et les seules restrictions auxquelles sont soumises ses variations sont celles qui résultent de la loi de continuité ; la partie réelle et le coefficient de y/— ï dans une fonction imaginaire sont assujettis, au contraire, à des conditions très-précises exprimées par les équations que nous venons d'obtenir et d'après lesquelles chacune d'elles représente l'ordonnée d'une surface qui, loin d'être arbitraire, appartient à une classe toute particulière dont on conçoit fort bien que l'on puisse étudier les propriétés sans avoir besoin de rien préciser davantage.
3. Il sera utile d'exprimer les conditions nécessaires pour que la
somme
P + Q/TÎ,
où P et Q désignent les fonctions des variables p et w, soit une fonction de
p(cosw -h yj— I sinw)«
HOTE SUE L£S FOSCTIOSS D^irSTE TllTI»T.F. Df AGISTARE. 4$^
Si r<m change f CD f H- d^, et •• en w -:- <&, FaocnùsseiiMiit de P -^ Q % — 1 est
raecroÎ9BenieDt oorrespoBdanft de k ^imUe est
ifc (oQSift -+■ v^— I sînti} -4- &A» [— sin» -*- |i^— i oc»»).
Ptmr que le npport de ces deux accroisaaDcats soit indépenduit de ^9 fl Cuit et il suffit que Ton ait
dP . — dQ d? , — </Q
d^ dp du d%è ^
eosu-^y — isînw p'^—sinu-t-^—ioosu)
en multipliant par p^^ les deux termes du premier membre, les dénamnatears deviomait ^anx, et Ton a, ai égalant les parties
réeDes des npmérateors et les coefficients de V~î>
dl^dQ
^ dp " dm^
^</5 "" du'
Telles sont, d'après nos conventions, les condîtÂ)ns nécessaires et suffisantes pour que la somme P -r- Q \^^ soit une fonction de
p (cosw -H i/^sin»).
4. Les conditions précédentes sont les seules qui soient impc^ées aux fonctions imaginaires et, pourvu qu'elles soient remplies, la définition reste entièrement arbitraire. On conçoit cependant qu'une fonction imaginaire ne s'introduira avantageusement dans les calculs que lorsqu'dle sera réellement la généralisation de la fonction réelle de même nom, à laquelle elle se réduit quand on suppose ^ = o, et qu'elle partagera
' ses propriétés caractéristiques. Cette analogie, regardée a priori comme une condition essentielle , est la base des définitions que nous allons donner de quelques-unes des fonctions les plus simjdes.
5. Les propriétés générales des fonctions réelles doivent aussi s'appliquer aux fonctions imaginaires; les définitions doivent être telles
que cela ait lieu, et si cette condition impliquait contradiction, la théorie des fonctions imaginaires devrait être abandonnée comme inutile. C'est pour cela, par exemple, qu'une expression, déterminée
lorsque j:-h//— i est donné, ne reçoit pas cependant le nom de
ïonction de ^-hjv^^, si elle n'a pas, par rapport à cette variable, une dérivée déterminée. Rien ne s'opposerait certainement à ce qu'on lui accordât ce nom ; mais cela aurait l'inconvénient d'éveiller par analogie des idées inexactes.
Parmi les théorèmes applicables également aux fonctions imaginaires et réelles, nous nous bornerons à citer le suivant :
Deux fonctions imaginaires qui ont même dénvée ont une àiffé» rence constante.
Soient
les deux fonctions considérées. D'après les résultats obtenus (1), les dérivées de u et de u^ étant égales, on a
dx dx dx dx
^^£P, d^^d^ dy"" dy dy^' dy
et ces équations prouvent que les dérivées des différences P — P, et Q — Qi» par rapport à a? et par rapport à 7, sont égales à zéro; ces différences sont donc indépendantes de x et de /, et par conséquent constantes.
Définition de quelques fonctions simples.
6. Définition de z"* lorsque m est entier. — On est conduit, dès les
éléments, à remplacer, dans la fonction z*", la variable 2 par x h- ^yZ—ï; on a, en appliquant la formule du binôme qui, dans le cas de l'exposant entier, résulte des règles de la multiplication,
-\^ ^{^'-'^)^-7 1 ^rn[m-i)[m-i)[m-^) ^ , 1
/ r ml mim — i^im — i] „. , , 1
-H v/— I mx'^-^y i '-^ -' a?"*-*/' -h . . . J-
NOTE SUR LES FONCTIONS d'tJNE VARIABLE IMAGINAIRE. 4^7
Il est aisé de voir que cette expression remplit la condition précédemment exprimée, et que la dérivée de z"* par rapport à z est /wz"^', précisément comme dans le cas où z est réel. La démonstration repose en effet uniquement sur le développement de (z -h A)*", qui s*applique sans modifications au cas où z et A sont imaginaires.
La même conclusion s'applique évidemment à une fonction entière quelconque de la variable z, et toute expression de la forme
(i) Az^-h AjZ"*-'-hA3z"*-*-t-...H-A^,z-+- A„,
où A,, A,,. • ., A^ représentent des constantes réelles ou imaginaires, ^t une fonction de z qui a pour dérivée
mkz"^-' -h (/w — i) A, z*"-* -f- . . . -hA^,.
Si le polynôme (i) est remplacé par une série indéfinie, on sait que, pour les valeurs de la variable qui rendent la série convergente, la série des dérivées est elle-même convergente et représente la dérivée de la série. Nous pouvons, par conséquent, étendre nos conclusions aux séries convergentes ordonnées suivant les puissances de la variable. C'est là une remarque très-importante, et qui, lorsqu'une fonction réelle est développable en série convergente, permet, comme nous allons en donner des exemples , d'en étendre la définition au cas où la variable est imaginaire
7. Définition de e*. — La fonction ^*, lorsque z est réel, est représentée par la série toujours convergente
(l) e*=l-hZ-i 1 r-H...-H
i.a.3.../z En remplaçant z par x -h 7 y"^ , on forme l'expression
l-{-(x-hY\/^}-i-' '^-^ --h ' ^-^4 ^4-..., •
que nous prendrons comme définition de ^+^^. Il est facile de sommer cette série et d'en trouver la partie réelle et la partie imaginaire. En
développant en effet les puissances de (^ -h/ /^) qui figurent dans les différents termes de la série, et réunissant, dans ces divers déve-
loppements, les coefficients de « ? on trouve
r l-hX]/—ï-^^'^-^ ^ -+-... H- ^^^-^^ L -+-...
488 Appendice.
La partie réelle est
( I— £ H î^-r-T — . . . ) = 5 cosj,
et la partie imaginaire
le terme en o^ est donc
(cos^-Hv^^sin/),
et la série (i) se réduit à
(cosr-t-v^^sinr) ( i-t- j:h h... H = h... J
= e* (cos7 -H ^^sinjr) ;
on a donc enfin
( 2 ) e'-^r^= e* (cosj -h v^^ sîn j).
On peut remarquer que, dans la démonstration précédente, les termes de la série considérée ont été intervertis ; mais, leurs modules formant une série convergente, cela n*a aucun inconvénient.
8. La fonction e* étant, d*après la définition môme, représentée par une seule et môme série pour les valeurs réelles ou imaginaires de z, une seule et môme série représentera aussi les dérivées dans les deux cas, et il en résulte que Téquation
s'applique aux valeurs imaginaires comme aux valeurs réelles de z. Il est d'ailleurs bien facile de vérifier directement que l'expression
e'(cos^-t- /— I sin/)
satisfait aux conditions données (1) et qu'elle est égale à sa dérivée. On peut aussi vérifier la formule
KOTE SUR LES FONCTIONS d'uNE VARIABLE IMAGINAIRE. 4^9
qui a lieu pour toutes les valeurs des exposants z et u. Le succès de cette vérification ne doit d'ailleurs causer aucune surprise. ^ et «* étant en effet représentés par des séries telles, que Féquation (2) soit iden-* tique quand les variables sont réelles, il est tout simple que cette équation reste vraie quand on leur substitue des expressions imaginaires quelconques.
En supposant a? = o, on a
^*^ r= CO87 "*- v/--î sinj^, et, en changeant 7 en — j,
tf^^*^ = cos/ — ^^ sin/ ; on déduit de ces formules
cos/= '
sm/ = -==
9. Définitions de sinz et de cosz. — Les fonctions sinz et cosz sont représentées, lorsque z est réel, par les séries toujours convergentes
sin2 = z r-H o / g~^"-*M
cosa =1 h
En remplaçant z par x -^ y^f—^^ on aura deux séries, toujours convergentes aussi, que nous adopterons comme définitions de
8in(ar-H7v^'^) et de cos(4: -H/v^^). H résulte immédiatement, des définitions de ^, sinz et cosz, que l'on a, pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z,
tf»^r= cosz -H y/— ïsinz, ^»v^__ cQg2 ydYsinz,
et par conséquent
COSZ = »
Smz = r=: — •
Ces formules permettent de calculer, sans recourir aux séries, la partie réelle et la partie imaginaire d*un sinus ou d'un cosinus quelconque. On a
COS \x -\- yyj — I j =
= cosa? ht/ — I sinx î
sm(:c-+-7/— i) = — =
m = »/ I COS X • i-.-h sin X •
Si Ton suppose ;r = o, ces formules deviennent cos^ V — I = »
sm 7 V^ — I = — p=- = — ; — V - I ; av' — I *
on en conclut
cos (a? H- J V^— i) = COS X cos^v^ — I — sina?sin^v^ — i,
sin [x '{-x\/ — i) = sinjîcos^/— i H-cosj:sinjv/"~ '•
Ces deux formules sont d'ailleurs des cas particuliers des formules plus
générales
COS (u-{-i>) = cos M cos p — sin u sin p,
' sm (a -H p) = sm u cos p 4- sm c cos m,
qui ont lieu pour des valeurs réelles ou imaginaires de u et de p. On peut vérifier aussi la formule
(5) sin* z -h cos' z = I ,
qui résulte des équations (i) et qui, combinée avec les équations (4), permet d'étendre au cas des variables imaginaires les formules principales de la Trigonométrie.
La forme des séries qui représentent sin z et cos z montre enfin que Ton a, pour les valeurs imaginaires comme pour les valeurs réelles
de z,
dè\Ti z
— J — = cos z, az '
flfcos^
— -, — = ~smz.
clz
NOTE SUR LES FONCTIONS d'uNE VAlIlABLE IMAGINAIRE. 49 ^
10. Définition de tangz. — La fonction langz, n'étant pas dôvelop-
pable en série pour toute valeur réelle de z, ne peut pas, lorsque z est
imaginaire, être définie par la série qui la représente. Nous poserons,
comme définition,
sin z tang z = »
^ cosz
et par conséquent
tangz =-— —.y/-, = v/-i I-
nous poserons de même
ï COSZ ^v^-h^-*^ , , ,
cotz = - — =-. — = — — =:./irT=i/irT I-H
tangz sin z ^/=i g-»^-iV * — v *^ ^2*^rî__j
Les formules
</tangz I
rfz ~'cos''z' r/cotz I
c^z sin*z
sont applicables à des valeurs quelconques de z, car la règle de ditfé-
rentiation des fractions, appliquée à et à -: — ) donne les mômes
' ^'^ ^ cos z sm z
résultats, et les réductions ultérieures sont les mêmes lorsque Ton
suppose z réel où imaginaire.
11. Définition delz.-— Lorsque z et ii sont liés par Téquation (0 « = ^,
on dit que u est le logarithme népérien de z, et Ton écrit (2) f^=lz,
z étant une fonction de u^ u est une fonction de z. La condition pour qu'il en soit ainsi est en effet, d'après notre définition, que le rapport
-r- soit déterminé, et c'est ce qui a lieu nécessairement, puisque ^
l'est lui-même.
Si l'on suppose z = X'hx V^-^i ^^ partie réelle et la partie imaginaire
de Iz 86 déduisent aisément de la définition précédente. Soit
Iz = ;? -H ^/—i, on doit avoir
(.3) X -i- y ^^ = e'^^^ = e''{cosq -h \/^ srag)f
et cette équation équivaut aux deux suivantes :
;p = c''cos^,
On en déduit
(5) e^=x'*-hx^, idîagq = -j et par conséquent
{7) 7 = arctang--
1 (x'-i-j^)est,bienentendu,le logarithme népérien ordinaire du nombre
réel et positif a:* h- j^; arc tang ~ représente une infinité d'arcs. Soit a
le plus petit d'entre eux; il faut remarquer que, y étant défini par son sinus et par son cosinus , on peut ajouter à a un multiple de 2ir, mais non pas un multiple quelconque de tt , comme cela aurait lieu si Ton n'avait égard qu'à l'équation (7) ; on a donc enfin
a étant le plus petit des arcs dont le sinus et le cosinus sont donnés par les équations (4) et ^ un nombre entier arbitraire. L'équation
^2it/r7__ cos27r H-y^— I sin27r = i
montre d'ailleurs, a priori, que l'on peut ajouter à l'exposant de e un
multiple quelconque de 2 TT y/^^ sans changer la valeur de l'exponentielle, et qu'il est permis par conséquent aussi d'ajouter à un logarithme
un multiple quelconque de 27rv/— T.
