DES PRODUITS DE FÂCTEU1LS EN NOMBRE INFINI
d'où résulte
sm* —
sin'
£ff flt^îT»
Considérons maintenant les produits de facteurs en nombre infini dont ces deux dernières e^ressions seraient les formes générales, c'est-à-dire
<') ('-^) (-11) (-fé)-
et
Ces produits tendent vers des limites déterminées à mesure que le nombre des facteurs augmente indéfiniment, parce que les séries des seconds termes de ces facteurs, pris avec le même signe, sont convergentes. Il résulte de là que Ton peut prendre un assez grand nombre de facteurs à partir du premier, dans les expressions (7) et (8), pour que la limite du produit des suivants soit aussi peu différente de l'unité qu'on le voudra. Et si, au lieu de prendre la limite du produit de ces derniers, on ne prenait que le produit d'un nombre limité d'entre eux, on aurait une quantité encore plus voisine de l'unité, puisque chacun de ces facteurs est plus petit que l'unité.
Ces remarques très-simples nous conduisent immédiatement à la solution de notre question.
En effet, il en résulte d'abord qu'on peut prœidre n assez grand pour que les valeurs des expressions (6) et (7) aient une différence aussi petite que l'on voudra. Il en est donc de même du produit des facteurs correspondant à (6) dans les expressions (5], lorsque l'on suppose que m croit indéfiniment.
Quant aux facteurs qui suivent ceux-ci dans les formules (5) et dont le produit par les premiers est toujours cosx, ils sont respectivement compris entre les deux facteurs de môme rang dans les expressions (7) et (8). Leur produit total est donc compris entre les produits correspondants de ces dernières, dont nous venons de démontrer que les valeurs pouvaient différer de l'unité d'une quantité moindre que toute quantité donnée. Ce produit total peut donc lui-même différer aussi peu qu'on voudra de l'unité.
48o NOTE IV.
On voit donc que coso; peut être considéré comme composé de deux facteurs variables, dont l'un tend indéfiniment vers l'expression (7), et l'autre vers l'unité. Donc, enfin, cosx est égal à la valeur représentée par cette expression (7), quel que soit' or.
D'où résulte la formule suivante :
cos
"=(-1?) (-fê) (-fâ)"'['-(îjë)v]
au moyen de laquelle cos^ se trouve décomposé en une infinité de facteurs algébriques du premier ou du second degré, dont la formule générale est
/ désignant un nombre entier quelconque, et qui, égalé à zéro, donne toutes les racines de cos x = o.
Développement de einx en un nombre infini de facteurs.
Les formules (4) deviennent, en remplaçant x par — j
sm' — \ / sm*— XI f» \ I m sma: = 7wsm— I i- Il i
m \ . , TT / \ . ,27r
sm* — / \ sin*
L Va 2 //i / J
pour m impair, et
pour m pair,
X XI "i \ I m
sm a; = /72 sm — cos — | i M i
m m\ , TT / \ . - 27r
sm' — m
