Considérons en second lieu la fonction
772. (MsâgiBanit un nombre quelconque positif ou négatif. Lorsque x et j sont donnés, cette fonction admet des valeurs distinctes qui deviennent toutes égales à zéro ou à l'infîni, suivant le signe de m^ lorsque Ton suppose x = —I, ^ = o. Adoptons donc, pour des valeurs données de X et de J'y une valeur déterminée pour u ; supposons par exemple que pour X =;o, y — o, on prenne a = i, et que l'on fasse ensuite varier x et / dîune manière continue pour leur faire acquérir les valeurs x^^x^^ j^ = jj^ Les valeurs successives de u seront déterminées, et il en sera le même de la valeur extrême qui restera invariable si la courbe qui regr^eMe les valeurs successives de x et de r se déforme en conservant l€âi mêmes extrémités sans traverser le point correspondant à X = — i^, j = 0. Cette condition sera nécessairement remplie si Ton assB|ettit le module de zà rester moindre que l'unité; les points correspondants resteront dans l'intériour du cercle de rayon unité décrit d&l!û]dgjine comme centrCi et les courbes qu'ils décriront ne franchi-
NOTE SUR LES FONCTIONS d'uNB VARIABLE IMAGINAIRE. ^99
ront jamais le point critique qui est situé sur le contour de ce cercle. Si donc on adopte cette convention, à chaque point de Tintérieur du cercle correspondra une valeur déterminée de u, qu'il est facile de calculer.
Fi{j. I.
Soient 0 (Jîg. i) Forigine des coordonnées correspondant à « = o; A le point critique correspondant à z = — i, et M un point quelconque
situé dans l'intérieur du cercle et correspondant kz = x -4-7/— i; on suppose que le point mobile parte de 0 pour arriver en M sans sortir du cercle de rayon unité, et Ton demande celle des valeurs de u qui correspond au point extrême M, en se rattachant par une série continue de valeurs intermédiaires à la valeur initiale 1^=1 que l'on adopte pour le point 0.
Posons
iH- j: -hjr^^ = p' (cosw H- \/^sinw);
p' et ft> sont les coordonnées polaires du point M, lorsque Ion prend pour pôle le point A, et OX pour axe, l'angle &> pouvant, bien entendu, être augmenté ou diminué d'un multiple de nv. On aura ,
u = p""(co8M H- v^— isina»)"* = p"" (cos/7i6> -+- v^— I sin/ww;,
et il faut décider quelle valeur, dans cette expression, doit recevoir l'angle m. Or, en supposant « = o, on a, par convention, u — i. On. doit prendre, par conséquent, p'= i, « = o ; z changeant d'une manière continue, p' et o doivent varier aussi d'une manière continue, et il est évident que, le point M ne sortant pas du cercle de rayon
unité décrit du point G comme centre, «> reste compris entre
TT
et -+- - j ce qui dissipe toute ambiguïté.
5oo
Appendice.
Si le point auquel correspond la valeur de z pouvait se mouvoir librement sur le plan, la valeur correspondante de a>, variant d'une
manière continue, pourrait n*ôtre plus comprise entre et -*- -
et, tout en assignant ku\d, valeur + 1 comme correspondant à la va leur initiale z = o, on devrait, pour chaque valeur de z, y compris même z = o considéré comme valeur finale, regarder u comme indéterminé. Il est clair, en effet, que, dans Texpression
(i-4-z)'"= p'"*(cos/7i«-4-\/^sin/7i«),
« = o correspondant, par convention, à la valeur initiale z = o, si le point du plan auquel correspond la valeur de z tourne autour du point A, « qui est l'angle formé par le rayon vecteur AM avec Taxe AO recevra, à chaque révolution, un accroissement égal à 27r. Si, par exemple, le chemin suivi pour aller de 0 en M est celui que représente
Fig. a.
la continuité exige que Ton prenne w égal à Tangle MAO augmenté de 4îr, et Ton aura, dans cette hypothèse, en posant MAO = a,
a= (i-f- z)'"= p""[cos(/na+ ^mi:) ■+- v/^sin(/7ïa-H 4/727r)].
Si le point mobile revient en 0 après avoir fait une révolution autour de A, on aura
u = cosawTT ■+• ^—1 sin2/7î7r.
«l l'hypothèse d'une valeur unique, « = -m, correspondant à z = o,
'kOTE sur les fonctions d'tTNE YARIÀBLE IMÀGINAlllE..50I
est incompatible, par conséquent, avec la continuité de la fonction qui. est essentiellement ambiguë si Ton ne limite pas, comme nous Tavions fait d'abord, les valeurs que peut prendre z.
iS. Considérons enfin la fonction
qui, pour chaque valeur de z, a, par définition, une infinité de valeurs^ distinctes qui deviennent toutes infinies quand on suppose z = — i. Pour z = G, on a
« = 1 1 = aA-TT y/—!.
Prenons X- = o et supposons, par conséquent, que, pour z = o, u se réduise à zéro.
Si z, partant de la valeur zéro, change d'une manière continue, et que la courbe dont les points représentent ses valeurs successives ne passe pas par le point qui correspond à z = — i , les valeurs successives de l(i + z) seront déterminées, et si Ton veut que z devienne-
égal à X, -f-^, V^--ï> la valeur correspondante de u dépendra de la courbe par laquelle on aura réuni Torigine au point dont les coordonnées sont oTj, Jr^ ; mais elle restera invariable si cette courbe se déforme sans traverser le point correspondant à z = — i , pour lequel toutes les valeurs de 1 (i + z) sont infinies. Cette condition sera évidemment remplie si Ton assujettit, comme dans le cas précédent, le module de z à rester inférieur à Tunité. En adoptant cette convention, à chaque point intérieur au cercle de rayon unité décrit de l'origine comme centre correspondra une valeur déterminée de u que nous allons calculer.
On a (12) 1 (i -4- ^^-rv'^) = jl [(i -^^l'-^-r'] + V^^arc tang ^ j^^ ^
et il s'agit seulement de décider parmi les arcs dont la tangente est •^ quel est celui que Ton doit adopter. Or, par hypothèse, pour
JC "+- I
j: = o,^ = o, on a
5o2 Appendice,
par conséquent, arc tang— ^— doit être pris égal à zéro. Cela posé,
•^ ne pouvant pas devenir infini lorsque le point dont les coordon-
nées sont xçXy reste dans l'intérieur du cercle, arc tang —^ — reste
compris entre et -+- -> ce qui fait disparaître toute ambiguïté.
Si, par exemple, on pose
x-^X^—i = cosy-H v^^sîny, on trouve aisément
1 (i 4- cosy -h \/— I sinç) = il zfc (acosiyj I ±y^^arctangftangi(j»h
le signe ±, qui précède cos - y dans le premier terme, étant tel que le logarithme porte sur un nombre positif, et le coeflBcient de vZ—T étant compris entre et -h^« La valeur la plus générale de
arc tang ( tang - y j est
et la valeur du nombre entier /-, pour laquelle cette expression est comprise entre et j est évidemment unique.
Si Ton n'apportait aucune restriction aux valeurs intermédiaires que X et 7 peuvent prendre en passant des valeurs initiales ;r = o, ^ = o à celles que Ton veut considérer, les conclusions précédentes ne seraient
plus applicables ; Tangle dont la tangente est -^ — est Tangle formé avec
Taxe des X par le rayon vecteur qui réunit le point mobile au point fixe A, dont les coordonnées sont j r= o, a: = — i ; si le rayon, vecteur fait plusieurs révolutions autour de son origine fixe, l'angle augmentera d'un nombre égal de fois stt. Si, par exemple, on suppose que les râleurs successivement attribuées à a: et à j soient les coordonnées
NOTE SUR LES FONCTIONS d'uNE YAUIÀBLE IMAGINAIRE. 5o3
des points de la courbe fermée indiquée sur la^. 3, qui part du point 0 et qui s*y termine,
TiQ. 3.
la valeur initiale de l(i -f-z), correspondant à « = o, étant toujours supposée nulle, lorsque z reprendra la valeur zéro après avoir reçu les valeurs intermédiaires qui correspondent aux points de la courbe
OMM'M'O, on devra prendre arc tang •^ = 47r, et Ton aura
l(l-f-z)=:l(l)=47rv/=7.
La fonction 1 (i-h z), si Ton veut qu'elle soit continue, est donc essentiellement indéterminée, de même que (i -h z)*", lorsque Ton n'impose aucune restriction aux valeurs que peut recevoir z.
Développement en série des fonctions imaginaires,
19. Certaines fonctions imaginaires sont définies par les séries qui les représentent : telles sont les fonctionsV, sinz, cosz; celles-là sont développables pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z, en séries ordonnées suivant les puissances de la variable z dont elles sont des fonctions continues, toujours finies et déterminées. Une définition analogue est impossible pour des fonctions telles que l(i + z) et (i -4- z)'", dont les développements ne sont convergents que pour certaines valeurs de la variable ; elle conduirait à admettre que, pour toutes les autres valeurs, la fonction cesse d'exister.
Si l'on posait, par exemple, comme définition,
5o4 APPENDICE.
il faudrait regarder 1 (i -+- z) comme infini, et, par conséquent, la fonction comme cessant d'exister , pour toute valeur de z dont le module surpasse Tunité. H y aurait le même inconvénient à prendre comme définition de la fonction (ih-z)"* la série connue qui la représente lorsque z est réel et moindre que Tunité.
On peut d'ailleurs reconnaître a priori que les résultats auxquels nous a conduit l'étude des fonctions 1 (i + z), (i + z]"* sont incompatibles avec l'existence d'une série ordonnée suivant les puissances de z ^t représentant pour toute valeur de variable Tune ou l'autre de ces fonctions. La série, en efiet, ne pourrait, pour chaque valeur de z, fournir qu'une seule valeur de la fonction, tandis que (17, 18) les définitions en indiquent plusieurs qui sont inséparables les unes des autres.
On ne résoudrait pas la difficulté en supposant l'existence de plusieurs séries distinctes en nombre égal à celui des valeurs de la fonction; car, chacune d'elles représentant une fonction continue et déterminée, leur ensemble ne pourrait pas partager cette propriété singulière reconnue à la fonction, de ne pouvoir être continue qu'à la condition d'échanger entre elles ses diverses valeurs, lorsque, après des variations convenables, la variable reprend sa valeur primitive.
20. Lorsqu'une fonction est définie pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable, on peut assigner des limites hors desquelles son développement en série est impossible. Il faut, pour qu'une fonction soit développable en série, qu'elle soit continue, finie et bien déterminée pour les valeurs de la variable dont le module est moindre que le rayon du cercle de convergence de la série. On démontre que la série ne peut devenir infinie pour une valeur de la variable sans l'être également pour celles de. module plus grand. Une fonction, qui devient infinie pour une valeur particulière de la variable ayant un module R, ne peut donc être développable que pour des valeurs de module inférieur à R. Cette remarque s'applique à la dérivée de la fonction ; car la dérivée d'une série convergente, ordonnée suivant les puissances de la variable, est toujours convergente : ainsi, par exemple, arc tangz
ayant pour dérivée j) qui devient infinie pour z = y/— i, ne peut
être développable en série ordonnée suivant les puissances de z, que pour des valeurs de z dont le module ne surpasse pas l'unité.
21. Pour qu'une fonction soit développable en série ordonnée suivant les puissances de la variable, il faut enfin qu'elle soit bien déterminée.
NOTE SUU LES FONCTIONS d'uKE VARIABLE IMAGINAIRE. 5o5
c*est-à-dire qu*à chaque valeur de la variable puisse correspondre une valeur unique de la fonction. Il semble, au premier abord , qu'il soit toujours possible de faire disparaître Tambiguïté , en faisant un choix entre les valeurs de la fonction, de manière à n*en laisser subsister qu'une seule pour chaque valeur de la variable ; mais on a vu qu'une pareille convention est quelquefois incompatible avec la continuité de la fonction , qui est une condition non moins nécessaire de l'existence d'un développement. Pour cette raison, la fonction (i-h^)"*, ne peut pas, d'après ce qui a été dit (17), être développée en série convergente pour des valeurs de z dont le module surpasse l'unité. Si l'on impose, au contraire, à z la condition de ne recevoir que des valeurs dont le module soit moindre que l'unité, aucune des conditions énoncées ne s'oppose à la possibilité d'un développement, qui, dès lors, comme Cauchy Ta démontré, est possible et déterminé.
Développement cfe 1 (n- z).
22. Nous pouvons dès à présent démontrer la légitimité du développement de 1 (i + z) pour les valeurs réelles ou imaginaires de z dont le module est moindre que l'unité. On a , en effet, identiquement et quelle que soit la valeur^ réelle ou imaginaire de z,
