I. -H /-TT = sinç -f

le nombre entier k étant tel que le premier membre de la seconde équation soit compris entre — ^ et -+- - • Si ^ est compris lui-même

NOTE SUR LES FONCTIONS d'uNE VARIABLE IMAGINAIRE. Soj

entre — tt et h- tt, on doit prendre A* = o, et Ton a ,^, ? . sinaç sin3o . sin/i(p

On voit que, si f augmente d'une manière continue, la série qui forme le second membre change brusquement au moment où Ton a ^ = tt, et

la somme passe d'une valeur infiniment peu différente de - à une va-

leur infiniment peu supérieure à • On peut en conclure que les

dérivées des termes de la série doivent, pour cette valeur de y, avoir une somme infinie ; c'est ce que l'on vérifie aisément, car, pour <? = ??, chacune de ces dérivées prend la valeur — i . Si, dans les formules (4 )> on suppose p = — i , elles se réduisent à

arc

I , , . jl / C0S2<p cos3«) \

-l4sm'-? = -(^cosy + -^+-3---h...j,

/ . I \ / . sin2<p sin3<p \

lang [-' cot- <pj = - (^sin<ï> -+- — ^ -h — j-l -f-. . . j ;

Tare, dont la tangente est —cot -7, est- hAît, A étant un

nombre entier déterminé, puisque Ton sait que Tare est compris entre

et -h - • Si <î> est compris entre o et air, il faut prendre k = o,

et l'on a par conséquent, pour de telles valeurs de 7,

(8) - = sin^ H--sin2f H-^sin3p

24. Les formules (6) et (8) étant vraies toutes deux lorsque ^ est compris entre o et tt, on peut les ajouter, et l'on en déduit la formule remarquable

, , ir / . sin3q) sinS? \

qui a lieu pour les valeurs de 7 comprises entre o et tt. Si Ton change f en — f , le second membre change évidemment do

signe sans changer de valeur et devient égal à — ) et comme il ne

5o8 Appendice. — kote sur les fohctioks, etc.

change pas lorsque y augmente de air, il en résulte que, pour toute

valeur de <p, la série

sinStp sin59 smy H ^ H ^ — . . .

est égale à ± - 7 le signe -+• correspondant au cas où sin <p est positif

et le signe — au cas où il est négatif. Lorsque ç est un multiple de ir, tous les termes deviennent nuls et la formule est en défaut. Si Ton

suppose ç= -) on a

,, TTi/â/lIIlII \

(10) 7 = '^lï-+-ô— r i ^ Q^--")'

^ ' 4 2\3579iii3 /

formule connue de Newton.

FIN DU PIIE3IIER VOLUME.

rcrls.— impriniorle de CALllilEll-VlLLAIlS, quai des Augusllns, 55.

ToMf / .