DES GRANDEURS CONSIDÉRÉES' COMME UMITES DE SOMMES

DTOFINIMENT PETITS.

33. Une des conceptions les plus importantes dans la mesure des grandeurs est celle par laquelle on les considère comme limites de sommes de quantités d'espèce plus simple, qui tendent indéfiniment vers zéro, en même temps que leur nombre augmente indéfiniment. Ces variables, qui' ont zéro pour limite et que nous désignerons sous le nom ^infiniment petits, sont susceptibles d'une grande indétermination -, elles ne sont assujetties qu'à la condition que la différence de leur somme à la quantité proposée ait pour limite zéro. Il reste donc beaucoup de latitude dans le choix de ces éléments, et Ton peut en profiter pour simplifier considérablement les calculs.

Le principe fondamental sur lequel se fondent ces simplifications est le suivant :

Théorème. — La limite de la somme de quantités positii^es infiniment petites n'est pas changée, lorsqu'on rem^ place ces quantités par d'autres dont les rapports a^ec elles ont respectivement pour limite l'unité.

Soient, en effet, les infiniment petits

dont la somme tend vers une limite à mesure que leur nombre augmente indéfiniment. Soient d'autres infiniment petits

Pi> pa» Pu • • • 9 P«>

tels, que les rapports

aient tous pour limite Tunité

Or, on sait que si Ton a une suite de fractions dont les dénominateurs sont positifs, la somme des numérateurs divisée par la somme des dénominateurs est intermédiaire entre la plus petite et la plus grande.

La fraction

a, -f- a, -f- . . . -4- afl,

sera donc comprise entre la plus grande et la plus petite des précédentes, et tendra nécessairement aussi vers Tunité : d'où il résulte que son dénominateur tendra vers une limite égale à celle du numérateur*, la somme Pi+Pt-hPs-l-. • • -^^m a donc la même limite que «i-i-aiH-. ..-ha,,», ce qu'il fallait démontrer.

Si Tune de ces deux sommes était invariable, la limite de l'autre serait égale à la valeur constante de la première, puisque la limite de leur rapport est l'unité.

Remarque. — Si le rapport de deux éléments correspondants quelconques des deux sommes, au lieu de tendre vers l'unité, tendait vers une même limite /, le rapport des deux sommes serait compris entre deux rapports ayant / pour limite, et aurait, par conséquent, cette même limite. Donc les limites des deux sommes ont précisément / pour rapport.

34. On voit, par ce qui précède, que la recherche des limites de sommes d'infiniment petits peut conduire à celle des limites des rapports, que nous aurons bientôt à considérer directement. Cette dernière recherche est facilitée par un théorème analogue au précédent, et qu'il est bon d'établir dès à présent.

DES QUANTITÉS CONSIDÉIléES COMME LIMITES. 4'

35. Deuxième théorème. — La limite du rapport de deux quantités infiniment petites n'est pas changée quand on remplace ces quantités par d'autres, qui ne leur sont pas égales^ mais dont les rapports auec elles ont respectif f^ement pour limites l'unité.

Soient, en effet, a et /3 deux quantités infiniment petites ;

a' et j3' d'autres quantités telles, que les limites de -7 et de

^ soient égales à Funité, et que, par suite, les limites des

rapports inverses — ; ^ soient aussi égales à l'unité \ on

aura identiquement

Les limites de quantités égales étant égales, et la limite d'un produit étant le produit des limites, on tirera de cette identité, en désignant les limites par l'abréviation lim et en

observant que lim ^ = i et lim -7 = 1,

lim ~ = um r-7 • P P'

Ce qu'il fallait démontrer.

36. On peut énoncer ces deux mêmes théorèmes d'une autre manière, au moyen de la proposition suivante :

Lorsque la limite du rapport de deux quantités est l'unité, leur différence est infiniment petite pau rapport A l'une quelconque des deux 5 c'est-à-dire que le rapport de cette différence à l'une quelconque de ces quantités a pour limite zéro.

Et réciproquement : Si la différence de deux quantités est infiniment petite par rapport à l'une d'elles, la limite de leur rapport est l'unité.

Soient, en eiSet^ a et a' deux quantités quelconques et S leur différence^ on aura

a' = a-f-^, d'où i = -^-4--7-

Donc, si la limite de —, est l'unité , celle de -7 est zéro* et

réciproquement.

Si Ton avait divisé par a au lieu de a', on aurait prouvé

que - a pour limite zéro ; et d'ailleurs il est évident que i

étant la différence de a et a' est contenue dans le plus grand

une fois de plus que dans Tautre, et que, par conséquent,

S S les rapports -5 -7 sont en même temps infiniment petits.

On pourra donc énoncer les deux théorèmes de cette

autre manière :

Les limites de rapports ou de sommes d'infiniment petits ne sont pas changées, quand on remplace ces infiniment petits par d'autres qui en dijfferent respectii^ement de quantités infiniment petites par rapport à eux.

Le grand avantage que Ton retire de ces théorèmes consiste en ce qu'ils permettent souvent de négliger, dans les quantités infiniment petites, la partie qui en rend la comparaison et le calcul diflSiciles. U suflSit toujours que cette partie soit infiniment petite relativement à la quantité ellemême, et il n'en résulte aucune erreur dans les résultats où Ton n'a en vue que les limites des rapports ou des sommes de ces quantités infiniment petites.

Divers ordres d'infiniment petits,

37. Si l'on considère plusieurs infiniment petits dépendant les uns des autres, de telle sorte que, l'un étant déter-

DES QUANTITÉS CONSIDéiléES COMME LIMITES. 4^

miné) tous les autres le scHent^ et que Vùa eu prenne un en particulier pour y rapporter tous les autres^ on appellera infiniment petits du premier ordre ceux dont les rapports avec celui-là auront des limites finies ] infiniment petits du second ordre ceux dont les rapports avec le même infiniment petit principal serqnt des infiniment petits du premier ordre ^ et etx général infiniment petits de Tordre n ceux dont les rapports avec T infiniment petit principal seront des infiniment petits de Tordre n — i .

Lorsque Ton veut exprimer seulement que le rapport d^uBi Infiniment petit à un autre a pour limite zéro, on dit que le premier est infiniment petit par rapport au second.

Cela posé, il est très-facile d'exprimer au moyen de Tinfiniment petit principal ceux de tous les ordres difierents. En effet, désignons le premier par a, et par /3 un infiniment petit du premier ordre dont la limite du rapport avec a soit K ; on aura

ê = K-f-w, d'où Bnra(K-f-w), a

ci> tendant vers zéro en même temps que a.

L'expression de tout infiniment petit du premier ordre sera donc de la forme

0) étant infiniment petit, et K fini.

Soit maintenant y un infiniment petit du second ordre,

le rapport - devant être du premier ordre ] on aura

et, par conséquent, la forme de tout infiniment petit du second ordre sera

En continuant ainsi, il est facile de voir que la forme générale des infiniment petits de Tordre n est

K étant fini et (à infiniment petit.

Mais il y a souvent lieu de considérer des infiniment petits dont le rapport avec une puissance fractionnaire de « a une limite finie; et Ton est convenu d'appeler infiniment

petit de l'ordre - celui dont le rapport avec a^ a une limite

finie : la formule qui représentera les quantités de cet ordre sera donc