Mesure de la pyramide triangulaire

La décomposition faite par Euclide Ta conduit à trouver le rapport de deux pyramides *, mais elle aurait pu lui donner la mesure même de la pyramide s'il avait connu la formule d'Archimède pour la somme des termes de la progression géométrique dont la raison est j •

En effet, en désignant par b la base et par h la hauteur de la pyramide, les deux prismes du premier ordre auront cha-

bh j bh

cun pour mesure -^^ et leur somme sera -y-»

Or les prismes d*un ordre quelconque sont en nombre

double de ceux de Tordre précédent; mais, leurs dimensions

étant deux fois moindres, leurs volumes sont huit fois

moindres : leur somme sera donc le quart de la précédente.

Les termes de la série dont la limite est le volume de la

pyramide seront donc

bh bh bh ^* <3onc on désigne par V„ le volume de la somme des

prismes jusqu'à un ordre quelconque n, on aura

Prenant les Hmîtes des deux membres, et observant que la progression est précisément celle d'Archimède, moins le terme i , on aura :

Le volume de la pyramide est égal à -rry ou au tiers

du produit de la base par sa hauteur,

32. Nous allons passer maintenant au second point de vue sous lequel les anciens ont considéré les grandeurs comme limites. C'est à Arcliimède seul que revient Thonneur de cette féconde conception.

DES QVÀlfTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 3g-