APPLICATION DES PRINCIPES PRÉCÉDENTS A QUELQUES

EXEMPLES

H. Aire du segment parabolique. — Cette question nous offrira des exemples de procédés très-divers qu'on peut employer dans la recherche des quadratures, et donnera une idée de la variété des ressources que présente la méthode infinitésimale.

Première solution. — En rapportant la parabole au diamètre AB (fig* 6) de la base CD du segment oblique donné, et à la tangente AY parallèle à cette base, les carrés des ordonnées sont proportionnels aux abscisses, et l'équation de la courbe est de la forme

y^ z= npa:.

Coupons la surface par des parallèles à AY*, Taire ADC pourra être considérée comme limite de la somme des parallélogrammes intérieurs, qui seront divisés en deux parties égales par le diamètre AB •, de sorte que les deux aires ABC, ABD, étant limites de sommes égales, 'sont équivalentes. H suffit donc de calculer la moitié ABC.

On connaîtra Taire ABC si Ton connaît son rapport au complément AEC de cette aire au parallélogramme ABCE ; et pour cela, nous comparerons deux parallélogrammes correspondants PMHP', QMKQ' des sommes qui ont pour limites ces deux aires. En désignant par x^ y les coordon-

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 5l

nées du point quelconque M, et par h et k les accroissements qu'elles subissent quand on passe de M à M', on aura

PMHF j^ Q]MKQ'""xA*

et l'on a, par Téquation de la courbe,

7* = npx, (y + X)» z= ip[x -+- h)^

d'où