yk -\- P = 2,ph

On tire de là A, au moyen de A:, et le rapport cherché"^ devient

-^ ^ "^ ' ou 2 -f-

Hpx 7.pX

Ce rapport tend donc vers la limite 2 lorsque h tend vers zéro. Les deux aires ACB, AEC sont donc les limites de sommes d'infiniment petits tels, que le rapport de deux correspondants quelconques tend vers la même limite 2 : donc, d'après les principes démontrés (n° 36), le rapport des aires ABC, AEC est précisément 2.

Ainsi l'aire ACB est les deux tiers du parallélogramme AECB -, et l'aire proposée ACD est les trois quarts de ce même parallélogramme, ou du triangle rectiligne ACD, comme Archimède l'a démontré le premier.

Deuxième solution. — H est facile de calculer directement l'aire AEC, qui est la limite de la somme des parallélogrammes QMKQ' ou QHM'Q', dont l'expression générale est xk sin A, A désignant l'angle YAX. h désignant l'accroissement successif de j^, il est nécessaire d'exprimer X au moyen de j^ 5 ce qui donnera pour expression d'un

y^ k sm ^

quelconque des parallélogrammes ^- • Or si l'on sup-

Sa LIVRE I.

pose dans ce cas-ci que les hauteurs des parallélogrammes soient toutes égales, ce qui était inutile dans la solution précédente, les valeurs successives de y seront

ri ^ 2 A*5 O K <f • • < ) Tin ^

et Ton aura

wX'=:AE, ou (/2 -4- i)X^ = AE,

suivant qu'on prendra les parallélogrammes QM' ou QK, ce qui est indifierent.

H s'agit donc de trouver la limite de la somme

/^sinA, , o. ox

lorsque n croit indéfiniment, et que h décroit en même temps de telle sorte que Ton ait toujours vk = AE.

Or Archimède a donné pour la sommation des carrés des nombres naturels une formule qui, écrite avec les signes employés par les modernes, donne

H faut donc trouver la limite de l'expression suivante

^'sinA «(/î -+- i) (2/2 -h i) ■ • — ^— ^-^— ^— ^^-^^^— ^.i— ^— ^—

ou

AE(AE-4- ^)(2AE-+-X')sinA

lorsque h tend vers zéro. Cette limite est évidemment

AE.sinA AB.AEsinA

AE en observant que — = AB.

L'aire AEC est donc le tiers du parallélogramme ABCE ^ et Taire ABC en est les deux tiers, comme nous Tavions trouvé par le premier procédé.

Troisième solution. — Cette solution aura l'avantage de donner un exemple d'un mode de décomposition trèsdifférent des précédents. Nous y considérerons une aîre comme limite d'une somme d'aires infiniment petites déterminées par des droites tangentes à une même courbe.

Soient ACC [fig- 7) le segment parabolique : AB le diamètre, CD la tangente en C, d'où résulte AD = AB \ nous allons comparer les deux aires ACB, DAC.

Nous considérerons ACB comme limite d'une somme de trapèzes inscrits PMM'P', dont les côtés PP' situés sur AB tendent tous d'une manière quelconque vers zéro.

Quant à l'aire DAC, nous mènerons en M et M' les deux tangentes MT, M'T', d'où résultera AT=AP, AT' = AP', TT' = PP'. Si par le point de rencontre R de ces tangentes on mène une parallèle à AB, on aura le diamètre des cordes MM', qui passera par conséquent par le milieu de MM'^ de sorte que l'aire du triangle TRT' sera la moitié de celle du trapèze PP'MM'. Or il est facile de reconnaître que l'aire DAC est la limite de la somme des triangles T'TR. En effet, cette aire est exactement là somme des aires comprises entre chacun des arcs MM', la tangente M'T', la base T'T et la tangente TM, terminée en M. Mais chacune de ces aires diffère du triangle correspondant T'TR d'une quantité infiniment petite par rapport à lui, lorsque PP' tend vers zéro^ car cette différence est moindre que le triangle rectiligne MRM' dont le rappoi^t au triangle T'RT est celui des rectangles des côtés qui comprennent leurs angles en R, qui sont supplémentaires^ rapport qui est évidemment infiniment petit. Donc l'aire DAC est là limite de la somme des triangles T'RT.

Cela posé, les deux aires ACB, DAC, étant limites de