LIVRE
sommes d'infiniment petits qui sont dans le rapport de 2 ; i , seront elles-mêmes dans ce rapport. Donc ACB est les deux tiers du triangle DBC, ou du parallélogramme construit sur AB et BC ; ce qui ramène aux résultats précédemment obtenus.
-iâ. Généralisation du problème. — Au lieu de l'équation particulière j^ = !ipx^ prenons Téquation plus générale j^" =;7j;'", netm étant des nombres entiers quelconques, positifs ou de signes contraires; Les courbes qu'elle représente seront paraboliques dans le premier cas ; dans le second, elles seront des hyperboles ayant les axes de coordonnées pour les asymptotes.
1° La courbe représentée par l'équation ^^ = px"*, m et n étant positifs, passe par l'origine, et nous nous proposons de mesurer l'aire comprise entre un arc AM {Jig* 8) et les coordonnées MB, AB de son extrémité M.
Pour cela, nous chercherons le rapport des deux aires AMB, AMC, et, à cet effet, nous comparerons deux parallélogrammes correspondants NP', NN', éléments infiniment petits des sommes dont les limites sont AMB, AMC. En désignant par x^j" les coordonnées de N, par /i, k leurs accroissements en passant de N en N', le rapport des deux
parallélogrammes sera — ? et sa limite sera- lîm-r» Pour
obtenir la limite de -> il faut exprimer que les deux points sont sur la courbe, ce qui donne
Développant les puissances, et supprimant les premiers termes des deux membres, qui se détruisent, il vient
^(«r"-' -+- P) = h{mpaf"~' -1- a),
DES qvkTXTVrts CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 55
jS représentant une somme de termes qui renferment k depuis la première puissance jusqu'à la (n — 1)»*"»«^ et a une somme de termes renfermant h depuis la première puissance jusqu'à la {m — i)*'"»*. On tire de cette équation
et, par conséquent,
ny""' -+- p
mp.x^"^ -h OL
lim
k mpaf^ '
La limite du rapport des deux parallélogrammes est
donc
ou —
mpjc^ m
Donc aussi le rapport des deux aires AMB, AMC est — ;
l'aire cherchée AMB est donc au parallélogramme ABMC
11 n 1 nab sinA. . ^ -^ ,
dans le rapport ; et sa valeur est 9 si 1 on de-
signe par a, b les coordonnées de M, et par A l'angle des
axes. Si l'aire, au lieu d'être prise à partir de l'origine,
l'était entre deux ordonnées correspondant aux abscisses
a, a\ elle aurait évidemment pour expression
(a' 6' — ab) sinA.
2^ Si les deux exposants sont des signes contraires, on peut mettre l'équation sous la forme
en supposant metn positifs.
Les deux parallélogrammes MP', MQ' {Jîg» 9), éléments correspondants des sommes qui ont pour limites les aires
56 livue I.
rh NN'BB', NN'CC, ont pour rapport — ~^» a et A: étant de
signes contraires et satisfaisant à l'équation
ou
|3 représentanjt un ensemble de termes renfermant A à la première puissance ou à des puissances supérieures, et a un ensemble de termes renfermant A à un degré égal ou supérieur à Funité.
Effectuant le produit et supprimant les termes j^ 0:^ et p qui se détruisent, il vient
-h (/2J"~' -4- P)(/w.2:"-' + aL)hh = O.
Divisant par k et prenant les limites, on trouve
d'où
h njn-t ^ | rnaf^-^y^ lira - := o ;
,. h nx
lim - =
k my
Le rapport des deux rectangles MP', MQ' a donc pour limite — ^ et, par conséquent, le rapport des aires NN'BB',
NN'CC est -.
Il est facile d'avoir une seconde relation entre ces deux aires.
En effet, la première, ajoutée au parallélogramme AN, forme la même figure que la seconde ajoutée au parallélogramme AN'; donc la différence de ces aires est égale à la différence de ces deux parallélogrammes, ou
DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 5y
à {a'b' — ab) sinÂ, si Ton désigne par «, b et a', i' les coordonnées des extrémités N, N'. On trouvera ainsi
NN'BB'^r — ^l—[a'b'— ab)smA.. n — m^
43. Exemple d'une loi particulière pour les bases des parallélogrammes élémentaires. — Comme les bases infiniment petites des parallélogrammes ne sont assujetties à aucune loi nécessaire, on choisit celle qui semble devoir donner les calculs les plus simples.
Dans un des exemples précédents, nous avons supposé ces bases égaies \ dans d'autres, nous n'avons eu besoin de supposer aucune dépendance entre elles. Nous allons donner des exemples où la sommation devient très-facile quand on suppose que les abscisses des points de division sont en progression géométrique et que, par suite, leurs diflférences, ou les bases des parallélogrammes, forment une progression ayant la même raison. Ce procédé est dû à Fermât.
Soit l'équation
dans laquelle nous supposerons m quelconque, positif ou négatif ] ce qui renferme les paraboles et hyperboles que nous venons de considérer. Cherchons l'aire comprise entre un arc quelconque MM' {Jig- lo) de la courbe, les deux ordonnées extrêmes MP, M'P' et l'axe des x ^ et, pour plus de simplicité, supposons les axes rectangulaires. Soient a, b les coordonnées de M 5 a', b^ celles de M'. Partageons PP' enn parties tendant vers zcro, et telles que les abscisses de tous les points de division forment une progression géométrique
on aura
de sorte que, n étant déterminé, q s'ensuivra ; et q tendra vers l'unité lorsque n croîtra indéfiniment, de sorte que la distance de deux points consécutifs tendra vers zéro. L'expression générale de cette distance sera
CLq^-^^ — aq^ ou a[q — \)q^*
Ellles formeront donc une progression géométrique ayant pour premier terme a[q — i) et pour raison q.
Or ces distances doivent être multipliées par les ordonnées successives qui seront aussi en progression géométrique, puisqu'elles ont pour expression générale poc^^ et que les valeurs de x que l'on considère sont en progression géométrique. Les rectangles élémentaires auront donc pour mesure le produit des termes correspondants de deux progressions, et formeront, par conséquent, une nouvelle progression. On pourra donc avoir l'expression de la somme de ces rectangles, et il ne s'agira plus que de calculer la limite de cette expression.
La base du rectangle dont la première abscisse est aq"" sera a[q — i)q^i sa hauteur pa"^ q""^ et sa surface pa""^^ [q — i)^<'"+*J''. La somme de ces rectangles sera
ou, en sommant cette progression géométrique dont la raison est y"'"^%
pa'"-^' {q — ly ^ '
OU, à cause de aq"^ = a\
qm+i ,
il ne reste donc plus qu'à trouver la limite du rapport
qm-hl
-5 lorsque q tend vers l'unité-, ce qui n'offre aucune
DES QUAKTITÉS CONSIDÉRÉES GOMME LIMITES. Sy
difficulté. Nous distinguerons deux cas, suivant que m 4- i sera positif ou négatif.
1° Soit d'abord m -hi positif et représenté par le rap-
port de deux entiers quelconques -> il s'agit de trouver
la limite de ~ p quand y tend vers i ^ ou, en posant
7*= f, celle de » quand t tend lui-même vers l'unité.
Si Ton supprime le facteur t — i , commun aux deux termes, et qu'on fasse ensuite t = i , on trouvera la limite de la fraction, qui sera
- ou •
Donc Paire cherchée sera
p [a''"+^ — «'«+') a' b' — ab -LJ L ou
2° Soit maintenant m 4- i = > il faudra trouver la
limite de ■ ^ ~" — ou de — q^ ■ ~ ' •
Or q' a pour limite i , et, d'après le calcul précédent, le
second facteur a pour limite - ou •
La limite de la fraction en question est donc et
1 Mrc aura encore pour expression
p ( a'"»+' — ««+' ) a'b' —ab ou •
TO-HI I» -f- I
6o LIVKB I.
Remàkqtje. — L'aire dont nous venons de trouver l'expression étant la limite de la somme des rectangles ayant pour mesure yh ou px^Ji^ h désignant la différence infiniment petite de deux valeurs successives de x, suivant une loi arbitraire, il s'ensuit que la limite de la somme 2x*A, lorsque x passe de la valeur a à la valeur a' par degrés infiniment petits quelconques A, a pour valeur, quel que soit m^
Si l'on fait a = o et que jtH- i soit positif, cette expression se réduit à
44. Cette formule s'applique à toutes les valeurs positives ou négatives de m, excepté la valeur particulière — i,
qui lui donnerait la forme - • Mais il est facile de trouver
la formule qui correspond à ce cas, en cherchant la limite
vers laquelle tend l'expression > lorsque l'on fait
tendre m vers — i .
Divisant par a*""*"*, dont la limite est l'unité, et remplaçant m-\-i par u, il s'agit de trouver la limite de l'expression
quand u tend vers zéro.
Posons ( — I =1-1- a, a tendra vers zéro, et l'expression précédente devient -> dont on éliminera m, au moyen de l'équation qu'on vient de poser en introduisant la nou-
DES QUANTITÉS GOITSIDÉRÉES COMME LIMITES. 6l
velle variable a. On en tire, en prenant les logarithmes,
«log— z=log(i-f-a), doù u = -^ — -,
€1 -Cl
et il reste à trouver la limite de , — ; r ou celle de
log(H-a)
qui peut se mettre sous la forme
log{l -f- a)
ou
-.log(i-ha) log(n-a)«
Mais on a vu dans V Algèbre [voir Note P®) que lorsque a
tend vers zéro, suivant une loi quelconque (n-a)* tend
vers une limite déterminée, que Ton désigne ordinairement par la lettre e, et qui n'est autre chose que la base du système dont la valeur incommensurable est
ez=: 2,71828182. . ..
La limite de -^ — est donc -= ? et Texpression
u loge *
V a pour limite
loge
Telle est l'expression de l'aire comprise entre deux ordonnées de la courbe dont l'équation est
et qui n'est autre que l'hyperbole du second degré rapportée à ses asymptotes.
62 LtVRE I.
Elle est équilatère, puisque nous avons supposé les axes rectangulaires^ mais il aurait suffi d'introduire le facteur sinA pour avoir le cas général.
45. Aire de la cycloïde, — On appelle cycloïde la courbe engendrée par un point d'un cercle qui roule sur une droite donnée. Soient TMU (fig» 1 1) une position quelconque du cercle qui roule sur la droite AB •, M le point qui décrit la courbe •, A la position où le point M est sur la droite fixe : Parc MT sera égal à AT, d'après le sens qu'on attache au mot roulement. Si B est la position où M revient sur la droite fixe, on aura AB = 27ra, a étant le rayon du cercle décrivant, et quand le point de contact T vient au milieu C de AB, le point M se trouve à l'extrémité D du diamètre CD perpendiculaire à AB. Ce point D est le sommet de la cycloïde, et CD en est l'axe.
Cela posé, on demande la mesure de Taire ABD comprise entre la courbe entière et sa base.
Cette question sera résolue si l'on détermine le complément de cette aire au rectangle ABA'B' qui est égal à 4îf «*? ou à quatre fois l'aire du cercle générateur. C'est ce complément que nous allons chercher, et nous le regarderons comme limite de la somme des rectangles compris entre les perpendiculaires successives abaissées des points de la courbe sur A'B'.
Soient M, M' deux points infiniment voisins pris sur la cycloïde-, MK, M'K' perpendiculaires à AB^ MR, M'R' des parallèles à AB qui rencontrent en N, N' le cercle décrit sur CD comme diamètre. Comparons les deux rectangles MK', NR'-, leur rapport est
MK.MH QU MH
NR.M'R ®^ MQ'SFh'
et sa limite est égale au produit de ^-r^ par la limite du
MH rapport rT7=- • Or nous allons^ montrer que cette dernière est
^précisément -rr^» d'où il résultera que la limite du rapport
des deux rectangles MK', NR' est Tunitéj ce qui ramènera Taîre cherchée à celle du cercle CD.
En effet, le cercle mobile viendra dans la position qui amène le point M dans une position quelconque, en le faisant d'abord tourner autour de son centre immobile, ce qui amènera d'abord M en une position I", puis transportant le système parallèlement à AB, d'une quantité égale à l'arc MI, ce qui amènera le point de contact T en T', et le point décrivant en M', en prenant TT'= MI = IM', et l'on sait que cet arc MI diffère de sa corde d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même, puisqu'on a démontré dans la Trigonométrie que le rapport d'un arc infiniment petit à sa corde, ou à son sinus, ou à sa tangente, a pour limite l'unité.
En nommant « l'angle de la corde MI avec MH, on aura
MH = corde MI ces a -f- MI,
M' H = corde MI sin a ;
donc
MH cosa MI
M' H sin a corde MI sin a
Passant aux limites, et observant que r-— - a pour
* corde MI ^
limite i, et que Tangle a a pour limite l'angle M que fait
MH avec la tangente au cercle en M, on aura
,. MH cosM I i-f-cosM i „
lim rr7=r =: -r— rr -f- -r-rrz = . --' = COt - M
M'H smM smM smM 2
= tangQUMr=^,
comme nous l'avions annoncé.
Ainsi Taire A A'P sera égale à celle du demi-cercle CND, puisqu'elles sont les limites de sommes de rectangles tels, que la limite du rapport de deux correspondants quelconques est l'unité. La somme des deux aires A A^D, DBB^ est donc égale à celle du cercle générateur, et, par conséquent, Taire ABD est égale à trois fois celle de ce même cercle.
Si Ton ne voulait mesurer qu'une portion de Taire A A'D, .on voit qu'elle serait équivalente à la portion correspondante du demi-cercle CD.
46. Descartes a donné plusieurs démonstrations trèsélégantes de cette proposition. Nous nous bornerons à en rapporter une.
Soient C [fig' 12) le milieu de la base de la cycloïde, A une de ses extrémités, CD le diamètre du cercle générateur, O son centre ; le triangle ADC sera équivalent au cercle générateur. Pour évaluer le segment ASD, soient deux points quelconques T, T' équidistants de A et C 5 M, M' les points de la courbe correspondant aux points de contact T, T' du cercle générateur avec la base : on aura, d'après l'égalité des arcs de cercle MT, M'Ti,
HT = H' T, = DP', IH = r H' ;
donc
MI + MT = MH -f- M' H' = NN'.
La somme des deux cordes MI, M'I' du segment ASD, équidistantes de la parallèle LOiy à la base, étant égale à la corde NN', il s'ensuit que, si Ton partage AC en parties infiniment petites par des couples de points dans les mêmes conditions que T, T', le segment ASD pourra être considéré comme limite de la somme de rectangles ayant pour bases les différentes cordes telles que MI, M'I', et pour hauteur les distances de deux consécutives : et la sonmie de deux
rectangles quelconques équidistants de la droîte LL', sera égale au rectangle du cercle O, compris entre NN' et la corde infiniment voisine correspondant à celle qui suit MI. Or la somme de ces derniers rectangles a pour limite le demi-cercle LŒ.'^ donc le segment ASD est équivalent au demi-cercle générateur, et Taire de la demi-cycloïde vaut une fois et demie celle de ce cercle. Donc Faire de la cycloïde est triple de celle du cercle générateur.
Calcul inf. D. - I. 6
