APPLICATION A LA MESURE DE QUELQUES VOLUMES
Solides de révfolution.
80. Paraboloïde de ré^^olution. — Une parabole toiuv nant autour de son axe AX {J^g» i4)î on demande le volume engendré par l'aire comprise entre un arc quelconque AB, rordonnée BC et Taxe AC.
Soient a, b les coordonnées de B, et y* = 2px Téquation de la parabole-, partageons AC en un nombre n indéfiniment croissant de parties égales a : le volume cherché sera la limite d'une somme de cylindres ayant pour hauteur a, et pour bases les cercles ayant pour i^ayons les différentes ordonnées MP de la parabole, menées par tous les points de division de AC. L'expression générale du volume d'un de ces cylindres est 7rj^*« ou aTrpo?»^ leur somme
%plLxa a pour limite 2/?7r — ou pTia* [voir n® 43).
On peut donc dire que ce volume est égal à celui d'un cylindre qui aurait pour base le cercle dont le rayon est AC, et pour hauteur le demi-paramètre. On peut encore donner une autre forme à l'expression précédente : en y remplaçant ^a par son égal —5 elle devient 9 et est égale à la
moitié de la mesure du cylindre qui aurait BC pour base et AC pour hauteur, ou à trois fois la moitié du cône, qui aurait même base et même hauteur. C'est sous cette dernière forme qu'Archimède a présenté cette proposition.
y 2 LIVRE I.
51 . Segment d'ellipse tournant autour de sa corde. — Soient une ellipse ayant pour équation
D'D {fig. i5) une corde parallèle à Taxe B'B, 2/ sa longueur, d sa distance AE au centre, et A Taire du segment DCD' qui tourne autour de sa corde fixe DD'; proposonsnous de mesurer le volume engendré V. Nous le considérerons comme limite de la somme des cylindres qui auraient pour hauteurs les subdivisions infiniment petites égales de D'D, et pour bases les cercles ayant pour hauteurs les perpendiculaires MQ abaissées sur DD' par les différents points de Tare DD', qui correspondent aux points de division de DD'. Soient vi le nombre des points de division de DE et a leur distance ; la mesure d'un quelconque des cylindres infiniment petits sera
7r(j — dya, ou i^{y^ — ndjr -\- d^)oL^
et leur somme peut se décomposer comme il suit :
7r2( j'H- d^)a, — iizdlytx.^
OU, en remplaçante^' par i* ^5
7r(ô'-f-fl?M2a ^x^OL — T.izdlYcu
Or
2a = 2/, lim2^a = A;
et, d'après la remarque du n** 43.
lim2j:'a = -5-«
On aura donc
V= 2ir/(ô»-+- d}) — 27r£fA 5-^.
