O CL

On aurait le volume de reliîpsoïde tout entier en faisant d = o^ l = a^ et Ton trouverait ainsi

et si b =a^ on a^Tra* pour la mesure du volume de la

sphère dont le rayon est a,

52. Volume du tore. — On appelle tore le solide engendré par un cercle qui tourne autour d'une droite située dans son plan..

Soient O (fig* i6) le centre du cercle générateur, R son rayon, AO = a 5 l'équation du cercle sera

et le volume est la limite de la somme des volumes engendrés par les rectangles MNIK, qui sont les différences des cylindres infiniment petits engendrés par les rectangles QI, QK. L'expression générale de cette différence est

7r (^'— Qm') MI = TT (QTV -f- QMJ(QN — QM)MI

= 27rû.MN.MI = 27c^zMIKN.

Or la limite de la somme des rectangles MIKN est l'aire du cercle. Donc le volume du tore est égal à la surface du cercle générateur multipliée par la circonférence décrite par son centre.

53. Ellipsoïde de réi^olution. — Supposons qu'une ellipse tourne autour de son axe AB= na [fig- 17), et proposons-nous de calcider le volume du segment détaché par un plan perpendiculaire à cet axe^ mené à une distance AD = rf du sommet A.

Soit l'équation de l'ellipse rapportée au sommet A

le volimie sera la limite de

Soit n le nombre des points de division de AD, on aura

na, = d\

on retombe ainsi dans des calculs qui se sont déjà plusieurs fois présentés, et Ton trouvera (n** 43)

d'où

lim2(2€zx — ;r*)a :=r fla» -■ == rf' -^^ ^ •

On aura donc pour expression du volume cherché V

Ce résultat coïncide avec celui d'Archimède. En effet, il énonce la proposition de la manière suivante :

Le segment de rellipsoïde est au cône de même base et même hauteur comme le demi-axe de Tellipsoïde ajouté à la hauteur du segment complémentaire à Fellîpsoïde est à la hauteur de ce dernier.

Or on aperçoit facilement que les deux formules sont identiques.