DE VARIABLES

18. Les grandeurs peuvent être considérées comme dépendant de limites de variables, de bien des manières différentes. Les formes de leurs expressions peuvent être aussi diverses que celles des questions mêmes dont elles sont les solutions.

Mais lorsqu'il s'agit seulement de ramener une quantité à d'autres plus faciles à traiter, et qu'on n'aperçoit pas immédiatement une quantité variable d'une espèce plus simple dont elle soit la limite, on emploie le plus ordinairement Tun des deux procédés suivants , qui ont été imaginés par les géomètres anciens et considérablement développés par les modernes..

Ces deux procédés ont cela de commun qu'ils consistent l'un et l'autre à enlever successivement de la quau-^ tité proposée des quantités d'une espèce plus simple, en laissant un reste qui présente bien les mêmes difficultés que la quantité en question , mais qui diminue de plus en plus et a pour limite zéro. Par là on tend de plus en plus à épuiser la quantité , ce qui a fait donner à la méthode fondée sur ces procédés le nom de méthode Ôl exhaiistion , Mais il y a deux manières très-différentes de procéder à

a6 LIVRE I.

répuisement de la quantité. Dans lune on enlève d'abord une certaine quantité déterminée , *et Ton ne s'occupe plus que de ce qui reste 5 puis on enlève de ce reste une nouvelle quantité déterminée , et Ton obtient un nouveau reste sur lequel on agit de même *, et atinsi de suite indéfiniment, de telle sorte que les restes puissent devenir moindres que toute quantité donnée : de cette manière, la quantité est la limite d'une somme de quantités fixes dont le nombre augmente indéfiniment.

On appelle série une suite de grandeurs déterminées dont le nombre est indéfini. En employant cette expression , ce premier procédé revient donc à considérer une grandeur comme limite de la somme des termes d'une série. Le second procédé , dû à Archimède, consiste à considérer dans la grandeur des parties d'espèce plus simple, non pas fixes comme dans le premier, mais décroissant chacune indéfiniment *, ces parties variables ayant zéro pour limite sont ce que nous avons appelé des infiniment petits. Leur nombre augmente indéfiniment , et elles doivent être choisies de telle sorte que leur somme diffère de la grandeur en question d'une quantité qui puisse devenir moindre que toute quantité donnée. De cette manière, les grandeurs sont considérées comme limites de sommes de quantités infiniment petites dont le nombre augmente indéfiniment.

Les anciens ont connu ces deux procédés comme nous l'avons dit : nous en donnerons tout à l'heure quelques exemples.

19. Les modernes ont fait entrer d'une autre manière encore les infiniment petits dans l'expression des variables dont les limites font connaître les quantités cherchées : ils ont considéré les rapports des infiniment petits entre eux. Lorsque deux quantités tendent vers

DES QUANTITES COMSIl^éftlicS COMME LIMITES. 27

zéro en dépendant l'une de l'autre, leur rapport es tune quantité déterminée qui tend en général vers une limite finie. Cette considération, inconnue aux anciens, est un des plus grands progrès que la science doive aux modernes.

L'objet principal de cet ouvrage est de traiter des infiniment petits sous ces deux points de vue. Nous aurons cependant l'occasion d'employer les séries dans l'évaluation des grandeurs, et d'ailleurs nous ne pouvons nous dispenser de dire quelques mots sur la manière dont elles ont été introduites par les anciens géomètres.