PRÉFACE. XV

la marche que nous avons cru devoir suivre dans Touvrage que nous faisons paraître aujourd'hui, et dont l'objet est l'enseignement des méthodes infinitésimales.

Nous avons commencé par donner une idée générale de la méthode des limites ; et nous avons fait remarquer en quoi elle était plus simple que celle qu'employaient les anciens géomètres, en partant de la même notion des limites, qui leur était très-familière. Nous avons distingué ensuite les différentes manières dont les grandeurs à mesurer, ou celles auxquelles ou les ramène, pouvaient être considérées comme limites de variables d'une espèce plus simple; et nous avons dit qu'elles pouvaient en général se réduire à trois. La première, employée dans quelques cas par Euclide et Archimède, consiste à regarder les grandeurs comme limites de séries; la seconde comme limites de sommes de quantités infiniment petites ; la troisième comme limites de rapports d'infiniment petits. Les deux premières se sont présentées à propos de la mesure de la pyramide, de la parabole, de la spirale, de la sphère, des volumes des corps engendrés par la révolution de sections coniques, etc. La troisième s'est présentée à l'occasion du problème des tangentes, et s'applique à beaucoup d'autres questions. La théorie des séries étant en dehors de l'objet de cet ouvrage, nous avons dû nous borner à considérer les quantités comme limites de sommes ou de rapports d'infiniment petits, ou comme dépendant d'une manière quelconque de ces limites.

i XVI Ï>RÉFACE.

Nous avons cru devoir, contrairement aux précédents, commencer l'étude du calcul infinitésimal I par la considération des limites de sommes ; non-

seulement parce que c'est Tordre que la science a suivi dans sa formation , mais parce que la mesure des grandeurs doit naturellement précéder la recherche des tangentes aux courbes, et qu'en cela l'esprit humain a procédé comme la nature des choses le demandait. Il nous a semblé que renverser cet ordre n'était pas un moyen de rendre la science plus claire et plus accessible.

En conséquence, nous nous sommes occupé d'abord de la mesure des aires des figures planes terminées par des courbes, ainsi que des volumes et des surfaces des corps qui ne sont pas terminés de toute part par des plans. Nous ne nous sommes pas borné à montrer comment ces questions se ramenaient à des recherches de limites de sommes d'infiniment petits; mais nous avons fait voir, par un grand nombre d'exemples, comment ces calculs pouvaient être exécutés par des procédés variés, qui ont même quelquefois une assez grande généralité.

Nous avons ainsi fait connaître quelques-unes des méthodes employées par les géomètres qui ont traité les premiers ces sortes de questions. Les procédés que donnera plus tard le calcul intégral n'en seront que mieux appréciés; mais, dans tous les cas, il nous a paru qu'il n'était pas convenable de former toute la science du calcul, avant d'avoir résolu les premières questions à l'occasion desquelles elle a été faite.

PRÉFACE. XVH

Nous n'avons pas choisi tous nos exemples dans la géométrie; la statique nous en a offert quelques-uns. Nous avons fait voir généralement comment la détermination des centres de gravité se ramène à celle de limites de sommes; et nous avons effectué les calculs dans un certain nombre de cas simples.

Dans toutes ces recherches, on fait un fréquent usage d'un principe général très-simple, qui consiste en ce que la limite d'une somme d'infiniment petits n'est pas changée, quand on altère ses éléments de quantités infiniment petites par rapport à euxmêmes; ou, en d'autres termes, quand on remplace ces éléments par d'autres dont les rapports avec les premiers ont respectivement pour limite l'unité. Le principe fondamental que nous établissons en commençant est la source des plus grands avantages que présente l'introduction des infiniment petits. Il permet d'en retrancher la partie qui rend le calcul difficile, en donnant un moyen sûr de reconnaître si cette simplification ne conduit à aucune erreur. Par ce moyeu, on a toutes les simplifications qu'on trouverait dans une approximation, et en même temps l'exactitude que l'on n'obtiendrait que par de longs et pénibles calculs.

Nous sommes passé ensuite à la considération des limites de rapports d'infiniment petits; le principe précédent s'y applique encore, et les limites ne sont pas changées quand on altère les termes variables des rapports, de quantités infiniment petites par rapport à ces termes. D*oii résulte encore l'avantage de I. b

XVllï PRÉFACE.

se débarrasser des parties qui font souvent la plus grande difficulté de la question.

Nous avons commencé par faire voir que dans les divers systèmes de détermination des points d'un lieu, le problème des tangentes se ramène immédiatement à celui de la limite dii rapport de deux quantités infiniment petites. Ces quantités sont les accroissements correspondants des deux variables dont les valeurs déterminent les divers points de la courbe. De sorte que le problème général des tangentes revient à ce problème d'analyse : Étant donnée une équation entre deux variables^ trouver la limite du rapport des accroissements infiniment petits correspondants de ces variables.

On voit ainsi l'intérêt géométrique qu'offre ce problème de calcul; et l'on çst naturellement conduit à en chercher la solution générale. Mais nous montrons qu'il s'appliquera encore à beaucoup d'autres questions intéressantes dans la géométrie et la mécanique. La nature de ces questions peut varier à l'infini. Nous en avons choisi particulièrement quelques-unes, à cause de leur importance dans la science. En géométrie, nous avons considéré la courbure des lignes planes, le cercle osculateur, les développées, etc.; en mécanique, la vitesse, l'accélération, le poids spécifique en un point d'une substance non homogène, etc* Nous avons étudié aussi la question générale du déplacement d'une figure sur un plan, et nous avons vu comment se résolvent les problèmes de tangentes auxquels elle donne lieu.

PRKFAOE. XIX

Toutes les théories dont nous avons parlé jusqu'ici, se ramenant à des limites de sommes ou de rapports, nous avons cru convenable de les exposer et d'en faire des applications particulières avant d'établir les règles du calcul différentiel et du calcul intégral, qui donnent plus de simplicité et de généralité à l'exécution de tous les calculs auxquels elles ramènent. Comme elles sont en elles-mêmes indépendantes des moyens d'exécution des opérations qu'elles indiquent, nous avons cru devoir les présenter avant les longues et pénibles théories d'analyse, qui donnent les meilleures règles pour cette exécution. En suivant la marche inverse, on rebute l'esprit par des recherches abstraites dont il ne voit pas l'objet; et il est méme'à craindre que les théories géométriques que l'on expose ensuite ne soient prises pour des dépendances des théories analytiques avec lesquelles elles n'ont en elles-mêmes rien de commun, et qui ne leur servent qu'à l'exécution du calcul des limites de sommes ou de rapports, auxquelles ces théories ramènent l'objet de leur recherche.

Telle est la marche que nous avons suivie dans le premier livre de cet ouvrage.

Dans les livres suivants, nous donnons les règles pour trouver les limites des rapports des accroissements infiniment petits de variables liées par des équations données, ainsi que les limites des sommes d'infiniment petits, représentés par une formule générale.

Nous donnons à ces deux problèmes d'analyse^