DES NOMBRES EN GÉNÉRAL

1 . La pluralité nous donne la première idée du nombre 5 elle constitue ce que Ton appelle le nombre entier. Elle se trouve , soit dans la considération simultanée d'objets distincts et séparés, soit dans la décomposition d'une grandeur en parties, égales. Un de ces objets ou une de ces parties se nomme unité. Le nombre s'appelle aussi le rapport de la grandeur décomposée à une grandeur égale à Tune de ses parties.

Cette notion suppose donc d'abord celle de l'égalité pour les grandeurs de l'espèce que l'on considère. Elle suppose ensuite que l'on définisse avec précision ce que l'on entend par ajouter ces grandeurs entre elles, et, par suite, ce que c'est que plus grand et plus petit.

On appelle somme de plusieurs nombres le nombre correspondant à la réunion de tous les objets distincts qui avaient donné lieu aux nombres partiels , ou , généralement, à Y addition de quantités quelconques qui renfermaient ces nombres d'unités identiques entre elles. I. I

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Mais si Fon avait à comparer deux grandeurs dont la plus petite ne fût pas contenue exactement dans Tautre, elles ne présenteraieut plus l'idée du rapport tel qu'il vient d'être défini ; et comme il est utile dans les sciences de généraliser le plus possible, c'est-à-dire de renfermer le plus grand nombre possible d'idées particulières sous une même dénomination , on a donné de l'extension à la signification des mots womire et ra/?^o/t.

On a d'abord considéié le cas où les deux grandeurs ont une mesure commune. Pour fixer les idées, supposons que cette mesure soit contenue m fois dans Tune et n fois dans l'autre : alors la première est égale à m fois la j^ième partie de la seconde , et celle-ci à n fois la m'^'"* partie de la première; on est convenu de dire que le rapport de la première à la seconde est m n'^'""^ et on l'écrit

ainsi, — Le rapport de la seconde à la première est dit

réciproque ou im^erse du premier, et s'écrira — •

Ces nouveaux rapports ont encore été appelés des nombres , et pour les distinguer des nombres entiers on les a désignés sous le nom de nombres fractionnaires. Sous quelque forme qu'ils se présentent, on dit que deux nombres sont égaux lorsqu'en prenant une même unité ils représentent des grandeurs égales. Si l'une des grandeurs représentées est égale à l'autre augmentée ou diminuée d'une certaine quantité, on dit que le nombre correspondant est plus grand ou plus petit que l'autre. Enfin on dit qu'on ajoute plusieurs nombres quelconques , quand on considère celui qui correspondrait à la somme des quantités qui comparées à une même unité ont donné lieu aux premiers.

Enfin, si l'on considère deux grandeurs qui n'aient pas de mesure commune , et que l'on appelle à cause de cela

incommensurables y elles ne présentent aucune des deux îdées précédentes, et il faudra , ou dire qu'elles n'ont pas de rapport , ou donner à la signification des mots rapport et nombre une nouvelle extension. Mais il ne suffira pas que l'on convienne de dire que deux grandeurs incommensurables ont entre elles un rapport et que ce rapport sera désigné sous le nom de nombre încom,mensurable, il faudra définir rigoureusement l'égalité des rapports ou nombres incommensurables. Notre manière de voir à cet égard, différente de celle de quelques géomètres, est entièrement conforme au fond à celle d'Euclide.

Observons d'abord qu'en partageant l'une des grandeurs en parties égales suffisamment petites, et les portant dans l'autre autant de fois que possible , le reste sera moindre que l'une des parties , et par conséquent pourra toujours être rendu moindre que toute grandeur donnée ; de sorte qu'il existera un rapport commensurable entre Tune quelconque des deux grandeurs et une autre qui différera aussi peu qu'on voudra de la seconde.

Cela posé , considérons deux grandeurs incommensurables; divisons l'une d'elles, par exemple la plus petite, en parties égales dont le nombre croisse indéfiniment; portons-les dans la plus grande et négligeons le reste : il en résultera une suite de rapports ou de nombres commensurables correspondants à la plus petite des grandeurs et à d'autres grandeurs commensurables avec elle et qui diffèrent de la seconde de quantités qui peuvent devenir moindres que toute grandeur désignée. Concevons, en second lieu , deux autres grandeurs incommensurables de même nature l'une que l'autre, mais d'une espèce quel-* conque, et partageons successivement la plus petite dans le même nombre de parties égales que la plus petite de la première espèce •, on aura de même une nouvelle suite de rapports commensurables ; et si ceux qui correspon-

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dent de part et d'autre au même mode de division de la plus petite sont toujours égaux , quelque loin qu'on pousse cette division , on dit que les deux premières grandeurs incommensurables ont même rapport ou même ratson que les deux autres.

2. Mais pour qu'il y ait lieu de définir ainsi l'égalité des rapports incommensurables , il est nécessaire de démontrer que l'égalité des rapports commensurables respectifs est indépendante de la loi suivant laquelle les subdivisions décroissent indéfiniment ; c'est-à-dire que si cette égalité a lieu pour une certaine» loi , elle aura lieu pour toute autre. Cette proposition peut être démontrée comme il suit :

Soient A et B deux grandeurs incommensurables d'une espèce quelconque , et A', B' deux autres grandeurs incommensurables, soit de la même espèce que les premières, soit de toute autre ^ admettons que si l'on subdivise A et A' en un même nombre de parties égales, qui croisse indéfiniment suivant une certaine loi déterminée, on trouve constamment le même nombre de ces parties ron tenues respectivement dans B et B' : il s'agit de démontrer que si l'on partage A et A' en un même nombre quelconque m de parties égales , non renfermé dans la loi donnée, il se trouvera toujours un nombre égal de ces subdivisions respectives dans B et B'.

En effet, supposons qu'il y ait un nombre k de parties dans B et un nombre différent, par exemple plus grand, dans B'. Alors A -f- i parties de la première espèce surpasseront B d'une certaine quantité que je désignerai par E; tandis que /r -}- i parties de la seconde seront cîncore inférieures à B'. Cela posé, décomposons A eu parties égales moindres que E, et comprises dans la loi donnée \ décomposons A' en \yti nombre égal de parties :

DES QUA^iTlTÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 5

d'après rhypolhèse, il devra s'en trouver respectivement le même nombre dans B et dans B'. Mais il est évident qu'il y aura moins de parties plus petites que E dans B que dans B -t- E ou dans A -f- 1 des subdivisions en question ; et il y en aura autant dans ces k -f- 1 subdivisions qu'il y aura de parties correspondantes dans les fe 4- 1 subdivisions correspondantes de B', qui sont cependant inférieures à B'. Donc il y aurait dans B un nombre moindre de parties, comprises dans la loi donnée, qu'il n'y aurait de leurs correspondantes dans B'; ce qui est contre Thypolhèse. Il est donc impossible qu'en partageant A et A' en un même nombre quelconque de parties égales , ces parlies ne soient pas respectivement comprises dans B et B' le même nombre entier de fois.

La définition de l'inégalité des rapports incommensurables sera la même que pour les rapports commensurables. On dira toujours qu'un rapport est plus grand ou plus petit qu'un autre lorsqu'il est celui d'une quantité plus grande ou plus petite que la première, à la même seconde quantité. Et l'on appellera toujours somme des rapr ports de plusieurs quantités à une même unité, le rapport de la somme de ces quantités à la même unité.

3. C'est au moyen de cette extension qu'Euclide a pu établir des théorèmes généraux dans la comparaison des surfaces entre elles et des solides entre eux. Il n'aurait pas pu dire que deux rectangles de même hauteur sont toujours dans le même rapport que leurs bases , ni que deux parallélipipèdes de même base sont dans le même rapport que leurs hauteurs 5 et tant d'autres propositions analogues n'auraient pu être énoncées généralement, s'il n'avait défini préalablement, non les rapports , mais l'égalité des rapports, dans tous les cas qui peuvent se présenter.

Ce n'est pas que pour les besoins de la pratique il y ait beaucoup d'intérêt à donner ce degré de généralité aux théorèmes relatifs à la comparaison , et , par conséquent , à la mesure des grandeurs ; car on peut toujours les rendre commensurables entre elles en les augmentant ou les diminuant de quantités moindres que toute grandeur désignée. Mais au point de vue de la théorie pure, il faudrait dire que les propositions ne sont pas générales et n'ont de sens que quand toutes les grandeurs ont une mesure commune.