du dodécaèdre de la deuxième classe

( a : 1/2 a : a: me};

6. « des dodécaèdres [a : na :pa:mc), dans lesquels n est plus petit que 1/2.

7. « du Jerprismeà6faces(oo a: a: a :so c). Les zones diagonales des hexagondodécaèdres de la première classe sont très peu développées, et nous ne nous en occuperons pas ici.

B. Formes hémiédriques.

1. Hémidodécaèdres ou rhomboèdres1-, {Jig. 71 et 72). Quartz.

Ces formes ont six faces, douze arêtes et huit angles. Les faces sont des rhombes.

qui reste invariable pour les faces de la zone d'arêtes, ce troisième axe secondaire se trouve coupé sur le côté opposé par la face du premier dodécaèdre obtus.

1 Le nom Rhomboèdres, qui a été donné à ces formes à cause de la figure de leurs faces, est si communément adopté, que nous l'emploierons exclusivement par la suite ; quoique celui de hémidodécaèdre, qui dérive immédiatement du

Les arêtes sont de deux espèces : six arêtes terminales X, dont troissnpérieures et trois inférieures, et six arêtes latérales Z, qui ne sont pas situées dans le même plan.

Les angles sont de deux espèces: deux angles terminaux C, à trois faces et réguliers, et six angles latéraux E, à trois faces et irréguliers, et qui sont formés par deux arêtes latérales et une arête terminale. Ces angles ne sont pas non plus situés dans un même plan. Trois angles latéraux alternatifs sont plus rapprochés de l'angle terminal supérieur, et les trois autres plus rapprochés de l'angle terminal inférieur.

L'axe principal joint les deux angles terminaux, les axes secondaires joignent les milieux des arêtes latérales opposées.

Les diagonales des faces, qui joignent un angle terminal à un angle latéral, prennent le nom de diagonales obliques, et celles qui sont menées entre deux angles latéraux s'appellent diagonales horizontales.

Les sections faites par des plans passant par trois diagonales horizontales contiguè's sont des triangles équilatéraux ; la section transversale

nom de la forme homoédrique, soit beaucoup plus systématique et suive la même loi de formation que les noms des autres formes hémiédriques.

perpendiculaire à l'axe principal et passant par . le milieu de cet axe est un hexagone régulier dont les diagonales sont les axes secondaires.

Les sections perpendiculaires aux arêtes latérales et terminales sont des rhombes; les angles formés par les arêtes terminales sont par conséquent les compléments des angles formés par les arêtes latérales.

Les sections passant par deux diagonales obliques parallèles sont des rhombes (/;/. X,yZg\ 12) qui sont perpendiculaires aux faces, par les diagonales C E et G' E', desquelles ces sections ont été menées; elles passent en même temps par deux arêtes terminales adjacentes C E' et CE, ainsi que par l'axe principal C C. L E' et L' E sont les lignes d'intersection des sections passant par les diagonales horizontales. Elles partagent l'axe C C en trois parties égales , et sont coupées par cet axe au tiers de leur longueur. L K=i/2 K E'. Ces sections, qui sont au nombre de trois dans chaque rhomboèdre, s'appellent les sections principales du rhomboèdre.

Les rhomboèdres sont divisés en rhomboèdres obtus et en rhomboèdres aigus. Dans les premiers, les angles plans formés par les arêtes terminales sont plus grands que 900; dans les seconds, ces angles sont plus petits que go°. Les rhomboèdres dans lesquels les angles des arêtes

Il6 ÉLÉMENTS

, terminales sont de 900, ont aussi leurs angles des arêtes latérales de go°, et par conséquent, géométriquement, ce sont des hexaèdres. Cependant ces formes se comporteraient comme des rhomboèdres dans leurs combinaisons, ce qui les ferait distinguer facilement des hexaèdres; mais jusqu'à présent on ne les a pas encore rencontrées. Les lignes qui joignent les angles terminaux aux points milieux des arêtes latérales d'un rhomboèdre, correspondent pour leur position aux arêtes terminales d'un hexagondodécaèdre, et les lignes qui joignent les milieux des arêtes latérales du rhomboèdre, correspondent aux arêtes latérales du dodécaèdre hexagonal. Un rhomboèdre est donc la forme hémiédrique d'un hexagondodécaèdre , et se déduit de celui-ci lorsque les faces alternatives prennent assez d'étendue pour faire disparaître les autres faces; il ne reste plus alors que les faces parallèles du cristal. Maintenant, selon que c'est l'un ou l'autre système de faces alternatives qui disparaît, on obtient le rhomboèdre Jig. 71, ou le rhomboèdre fig. 72, dérivés du même hexagondodécaèdre fig. 67. Le premier de ces rhomboèdres donne le second, en le faisant tourner d'un angle de 6o° autour de l'axe principal, de manière à ce que ses arêtes prennent la direction des faces du deuxième rhomboèdre. Les

deux rhomboèdres qui dérivent d'un même hexagondodécaèdre sont, sous ce dernier point de vue , dans le même rapport que deux quadratoctaèdres de la première et de la deuxième classe, ou que deux hexagon dodécaèdres de la première et de la deuxième classe. Ils sont à cause de cela appelés rhomboèdres de la première et de la deuxième classe1. La notation de ces deux rhomboèdres est la même que celle de l'hexagondodécaèdre dont ils dérivent; les rhomboèdres de la deuxième classe se distinguent de ceux de la première, en ce que leurs axes secondaires sont affectés d'un accent, car leurs faces coupent les moitiés d'axes opposées à celles que coupent les faces du rhomboèdre de la deuxième classe.

La notation des rhomboèdres de la première classe est donc :

i/-2 (a: a: oo a : m c ).

* Cette dénomination n'est réellement pas tout à fait rationnelle ; car les deux rhomboèdres étant des formes hémiédriques, devraient, d'après notre nomenclature, être appelés hémidodécaèdres de droite et de gauche, ou rhomboèdres de droite et de gauche. Cependant , comme les deux, rhomboèdres qui dérivent de deux hexagondodécaèdfes de droite et de gauche ne se présentent jamais ensemble, la dénomination précédente ne peut pas donner lieu à des méprises.

La notation des rhomboèdres de la seconde classe est

Nous supprimerons, pour abréger, la fraction 1/2 quand nous n'aurons à parler que de rhomboèdres.

Parmi les cristaux d'une même espèce minérale qui affectent les formes hémiédriques du troisième système cristallin, on rencontre souvent beaucoup de rhomboèdres, tant de la première que de la deuxième classe, qui sont plus obtus ou plus aigus. Si l'on suppose les axes secondaires de ces différents rhomboèdres égaux entre eux, les axes principaux seront de grandeurs différentes, mais toujours ces axes seront entre eux dans des rapports rationnels et simples ; comme les axes principaux des hexagondodécaèdres dont les rhomboèdres dérivent. On prend un de ces rhomboèdres pour forme primitive ou pour rhomboèdre principal , et on lui compare tous les autres. La notation de cette forme primitive est :

Ça: a: ce a : c).

Ce rhomboèdre étant une fois déterminé, les rhomboèdres de la première et de la deuxième classe le sont également. Les rhomboèdres dont les faces sont placées comme celles du rhomboèdre principal font partie de la première classe, et

ceux dont les faces sont placées dans la direction des arêtes du rhomboèdre principal appartiennent à la seconde classe.

On rencontre dans les rhomboèdres, comme dans les quadratoctaedres, des séries de rhomboèdres plus obtus et de rhomboèdres plus aigus; chaque forme obtuse de ces séries a ses faces inclinées vers l'axe de la même manière que les arêtes de la forme aiguë qui la suit immédiatement; de sorte que chaque figure est le premier rhomboèdre aigu de celle qui la précède , et le premier rhomboèdre obtus de celle qui la suit. De même que dans les quadratoctaedres, les formes alternatives de ces séries sont des rhomboèdres de la même classe, et les formes contiguës sont de classe différente.

Le rhomboèdre principal est celui qui donne lieu le plus fréquemment à une de ces séries ; aussi les premiers rhomboèdres aigus et obtus sont beaucoup plus communs que ceux qui s'éloignent davantage de la forme primitive. Dans le carbonate de chaux on rencontre souvent le premier rhomboèdre obtus, et le deuxième et troisième aigus. On a rencontré aussi le deuxième rhomboèdre obtus et le troisième rhomboèdre aigu.

Dans les combinaisons du rhomboèdre principal et du premier rhomboèdre obtus, les faces

l3o ÉLÉMENTS

de ce dernier viennent tronquer les arêtes terminales du premier, comme cela a lieu dans la fig. 75, qui représente une forme de la Chabasie; dans cette figure, /représente les faces du rhomboèdre principal, r'I'i les faces du premier rhomboèdre obtus. Les faces du rhomboèdre principal forment des troncatures sur les angles latéraux du premier rhomboèdre obtus, les faces de troncature sont placées symétriquement sur les arêtes terminales du premier rhomboèdre obtus, et coupent les faces adjacentes aux arêtes terminales suivant des arêtes qui sont parallèles à leurs diagonales obliques. Une combinaison de cette espèce est représentée fig. 7/4, une des formes du Carbonate de chaux; dans cette figure les faces des deux formes sont marquées avec les mêmes lettres que dans la fig. 73. C'est de cette même manière que se comportent le rhomboèdre principal et le premier rhomboèdre aigu, et en général deux formes contiguës de la série. Dans les combinaisons du rhomboèdre principal et du second rhomboèdre aigu, les faces du dernier forment des troncatures sur les angles latéraux du premier. Les faces de troncature sont , comme dans les combinaisons du rhomboèdre principal avec le premier rhomboèdre obtus, placées sur les arêtes extrêmes du rhomboèdre dominant; seulement ici les faces

DE CRISTALLOGRAPHIE. l3l

de troncature et les faces dominantes qui se coupent suivant des arêtes horizontales sont inclinées vers la même extrémité du cristal, comme cela a toujours lieu pour deux rhomboèdres de même classe, tandis que, dans l'autre cas, ces laces sont inclinées vers les deux extrémités opposées, comme cela a lieu pour des rhomboèdres de classes différentes. Si les faces du deuxième rhomboèdre aigu dominent, les faces du rhomboèdre principal forment des pointements à trois faces sur les deux extrémités, les faces de ces pointements reposent sur les faces du deuxième rhomboèdre aigu, comme dans Vàjîg. 76, qui représente une des formes du Carbonate de chaux. Dans cette figure, 4 r désigne les faces du deuxième rhomboèdre aigu, et r désigne, comme précédemment, les faces du rhomboèdre principal.

On rencontre aussi souvent un plus grand nombre de rhomboèdres de la série associés ensemble, comme, par exemple, dans la Tourmaline de Kragero en Norwège et dans la Chabasie d'Oberstein; la figure 70 représente une combinaison de cette dernière formée par les faces r de la forme primitive qui domine toujours dans la Chabasie, par les faces rj-i du premier rhomboèdre obtus et par les faces 1 r' du premier rhomboèdre aigu; les premières se présentent comme troncatures des arêtes terminales et les

dernières comme troncatures des angles latéraux.

Les rapports qui existent entre les axes des rhomboèdres de la série sont très-simples; en supposant les axes secondaires égaux, les axes principaux croissent en proportion géométrique depuis les rhomboèdres obtus jusqu'aux rhomboèdres aigus : si l'on représente par 1 l'axe principal de la forme primitive, on trouve la progression 1/8: i/4-ï 1/2: 1: 2: 4:8:

On aperçoit facilement ces rapports dans la pi. X.,Jig. 1 1 , où les sections principales de trois rhomboèdres consécutifs se trouvent représentées. A B G D est la section principale, et A G l'axe principal d'un de ces rhomboèdres; AD F E, la section principale, et AF, l'axe principal de son premier rhomboèdre obtus ; enfin A G H B, la section principale, et A II l'axe principal de son premier rhomboèdre aigu. A D est l'arête terminale du rhomboèdre principal et en même temps la diagonale oblique du premier rhomboèdre obtus ; A B est la diagonale oblique du rhomboèdre principal et en même temps l'arête terminale du premier rhomboèdre aigu. D'ailleurs on a :

AJ = 2/3 AF = i/3 AC, ainsi AE = 1/2 AC, et AK=i/3AH^ 2/3 AG, « AH= 2 AC; ce qui donne la proportion :