À F : AC : AH

Ce que nous venons de dire des trois membres de la série qui occupent le milieu peut se dire également des autres, de sorte que les notations des membres de la série sont les suivantes :

rhomboèdre principal (a : a : oc a : c) («' : a : oo a : \ji c) [a : a : coa : 1/4. c) (a' : à : oo a : 1/8 c)

obtu

etc.

aigu

etc.

(rf

: oo a

cc> a

: oo a :

Les rhomboèdres placés dans cette série ne sont pas les seuls qui se présentent ensemble, on en rencontre encore beaucoup d'autres, mais dont leurs axes sont toujours en rapport simple avec les axes de la forme primitive. Ainsi on rencontre des rhomboèdres dans lesquels les axes secondaires étant égaux , les axes principaux sont trois fois, cinq fois plus grands ou plus petits que ceux de la forme primitive. Ces rhomboèdres peuvent être pris eux-mêmes comme termes moyens de nouvelles séries analogues à la série du rhomboèdre principal ; ainsi, par exemple, on rencontre dans le Carbonate de chaux un rhomboèdre aigu de la deuxième classe ( a : a' : oo a : 5 c ), ainsi que son premier rhom-

boèdre obtus (a : a : co a : 5/2 c) et son second rhomboèdre obtus (a : a : co a : 5/4 c ); cependant ces séries sont plus rares.

Dans les rhomboèdres des séries qui ne dérivent pas de la forme primitive, il faut, toutes les fois que l'on parle du premier rhomboèdre obtus ou aigu, désigner le rhomboèdre que l'on prend pour point de départ; toutes les fois que l'on dira premier rhomboèdre aigu , premier rhomboèdre obtus sans autre distinction, il faudra toujours les rapporter à la forme primitive.

On rencontre aussi combinés ensemble des rhomboèdres déclasses différentes et ayant leurs faces inclinées également vers l'axe principal. Les faces de ces rhomboèdres formeraient, si elles avaient la même grandeur, un hexagondodécaèdre. Cependant, lors même que ces rhomboèdres seraient semblables dans leurs rapports géométriques, ils se distingueraient encore ordinairement par la grandeur de leurs faces et le reste de leur aspect physique; ils se comporteraient alors les uns par rapport aux autres comme les hémioctaèdres de droite et de gauche qui se présentent également ensemble.

On appelle rhomboèdre inverse d'un autre rhomboèdre celui qui est de classe différente, mais qui a les mêmes angles. Ainsi, par exemple,

dans le Carbonate de chaux le rhomboèdre (a : a' : oo a : c) est le rhomboèdre inverse du rhomboèdre principal. Les combinaisons de rhomboèdres dérivant d'hexagondodécaèdres de classes différentes, ne se présentent jamais, comme nous l'avons déjà dit.

Parmi les combinaisons que les rhomboèdres forment avec les figures du troisième système cristallin, on ne voit jamais que les rhomboèdres combinés avec des formes qui ne peuvent terminer à elles seules le cristal, comme la face terminale droite, les deux prismes à six et à douze faces; jamais on ne rencontre de combinaisons avec des hexagondodécaèdres ou des didodécaèdres.

La face terminale droite détermine avec les différents rhomboèdres une troncature droite sur l'angle terminal. Sa figure est un triangle équilatéral. Si cette face est assez développée pour s'étendre jusqu'aux angles latéraux d'un rhomboèdre, la figure prend plus ou moins d'analogie avec le rhomboèdre; mais deux de ses faces seulement sont des triangles équilatéraux, ce sont les faces terminales droites; les autres faces qui sont celles du rhomboèdre sont des triangles isocèles. Dans \-AJig. 73, une des formes du Carbonate de chaux c désigne la face terminale droite , et /■ les faces du rhomboèdre principal.

l36 ÉLÉMENTS

Les faces du premier prisme à six faces tronquent les angles latéraux de tous les rhomboèdres de première ou de deuxième classe et coupent les faces du rhomboèdre suivant des arêtes horizontales. Si les faces de troncature n'ont que la grandeur suffisante pour se toucher, elles présentent la forme de triangles isocèles, et les faces du rhomboèdre forment des pentagones symétriques à trois espèces de côtés. Si les faces du prisme à six faces dominent , les faces du rhomboèdre forment des pointements à trois faces sur les extrémités du prisme ; les faces de ces pointements reposent symétriquement sur les faces alternatives du prisme. Comme à l'extrémité inférieure du cristal se trouvent des faces parallèles à celles de l'extrémité supérieure , les faces du pointement inférieur sont placées sur les faces alternatives du prisme sur lesquelles ne reposent pas les faces du pointement supérieur (Jig. 77 , qui représente une combinaison du premier rhomboèdre obtus r'/'i du Carbonate de chaux avec le premier prisme à six faces g). Les faces du prisme ont, comme celles du rhomboèdre, la forme de pentagones à trois espèces de côtés. C'est de cette manière que se comportent tous les rhomboèdres avec le premier prisme à six faces; seulement les faces des rhomboèdres de la première classe reposent sur l'un des sys-

DE CRISTALLOGRAPHIE. I 3y

tèmes de faces verticales alternatives du prisme, tandis que les faces des rhomboèdres de la deuxième classe sont placées sur l'autre système de faces verticales alternatives.

Les faces du deuxième prisme à six faces tronquent les rhomboèdres de la première et de la deuxième classe suivant leurs arêtes latérales. Les faces du rhomboèdre ne changent pas de forme dans cette combinaison. Les faces du deuxième prisme forment des rhomboïdes. Si les faces du deuxième prisme à six faces dominent , les faces du rhomboèdre forment des pointements à trois faces sur les extrémités du prisme, mais les faces du pointement reposent sur les arêtes alternatives (Jïg. 78, qui représente une combinaison du rhomboèdre principal r de la Dioptase avec le deuxième prisme à six faces a).

Les faces des rhomboèdres de la première classe reposent à chaque extrémité du prisme sur un système d'arêtes alternatives, tandis que les faces des rhomboèdres de la deuxième classe reposent sur l'autre système d'arêtes alternatives. Les deux prismes se distinguent donc dans les combinaisons qu'ils forment avec les rhomboèdres, en ce que dans le premier prisme les rhomboèdres de la première et de la deuxième classe reposent sur les faces, tandis que, dans le second prisme, ils reposent sur les arêtes.

Les faces des prismes à douze face» ne se rencontrent avec les rhomboèdres que dans des combinaisons où se trouvent aussi des prismes à six faces; elles se comportent par conséquent dans ces combinaisons comme dans les combinaisons homot'driques du système.

•x. Hémididodécaèdre ou scalènoedre x.

Fig. 79. Carbonate de chaux. Ces formes ont douze faces, dix-huit arêtes, et huit angles.

Les faces sont des triangles scalènes.

Les arêtes sont de trois espèces : six arêtes terminales plus courtes et plus aiguës X, qui correspondent aux arêtes terminales d'un des rhomboèdres; six arêtes terminales plus longues et plus obtuses Y, qui correspondent aux arêtes terminales d'un rhomboèdre d'une autre classe que le premier; les arêtes terminales plus longues et plus obtuses de l'extrémité supérieure viennent rencontrer les arêtes plus courtes et plus aiguës de l'extrémité inférieure ; enfin six arêtes latérales Z, qui, de même que les arêtes latérales d'un rhomboèdre , ne sont pas placées dans un même plan , mais montent et descendent en zigzag.

* Le nom de scalénoèdre a été donné à ces formes à cause de la figure de leurs faces; nous l'emploierons par la suite à cause de sa brièveté.

DE CRISTALLOGRAPHIE. I 3o

Les angles sont de deux espèces, deux angles terminaux C à six faces et symétriques l'un de l'autre, et six angles latéraux E à quatre faces, mais irréguliers, et parmi lesquels trois angles alternatifs sont plus rapprochés de l'extrémité supérieure, et les trois autres le sont davantage de l'extrémité inférieure , de même que cela a lieu dans les angles latéraux du rhomboèdre.

L'axe principal joint les angles terminaux, les axes secondaires joignent les milieux des arêtes latérales opposées.

La section faite par les angles latéraux supérieurs ou par les angles latéraux inférieurs est un hexagone symétrique représenté/?/. X,/îg. 6; cet hexagone a des angles alternatifs plus aigus À, et des angles alternatifs E plus obtus. La section passant par les milieux des arêtes latérales est un dodécagone symétrique.

La section faite par deux arêtes terminales parallèles est un rhomboïde, Jig. ty,pl. X. A E et À' E' sont les arêtes terminales les plus longues , A K et A' E sont les arêtes terminales les plus courtes ; cette section est la section principale du scaîénoèdre.

Les scalénoèdres sont les faces hémiédriques à faces parallèles des didodécaèdres, et dérivent de ces formes, lorsque l'on prolonge jusqu'à leur rencontre les couples de faces adjacentes

l4o ÉLÉMENTS

au second système d'arêtes terminales alternatives F , fig. 69. Les deux scalénoèdres qui dérivent de chaque didodécaèdre ont l'un par rapport à l'autre la même position que les deux rhomboèdres qui dérivent d'un même hexagondodécaèdre ; le premier se déduit du deuxième en faisant tourner celui-ci de 6o° autour de son axe principal.

La notation est affectée du coefficient 1/2 comme celle des didodécaèdres, elle est : 1/2 (« : na \pa : me) et 1/2 (a' : n a :pà : me).

Les scalénoèdres ne se présentent pas comme les rhomboèdres combinés avec les didodécaèdres et les hexagondodécaèdres , de sorte que l'on pourra très-souvent supprimer la fraction 1/2 sans avoir à craindre de méprise.

Comme les arêtes latérales et les deux espèces d'arêtes terminales d'un scalénoèdre ont les mêmes positions que les arêtes latérales d'un rhomboèdre et les arêtes terminales de deux autres rhomboèdres, chaque scalénoèdre détermine à la fois trois rhomboèdres différents qui ont avec lui une dépendance immédiate, et qui aussi se présentent très-souvent combinés avec lui. Par la suite, toutes les fois qu'un rhomboèdre et un scalénoèdre auront leurs arêtes latérales dans la même position , on dira que le

rhomboèdre est le rhomboèdre des arêtes latérales du scalénoèdre, et que le scalénoèdre est [e scalénoèdre des arêtes latérales du rhomboèdre. C'est dans le même sens qu'il faudra interpréter les noms de scalénoèdre des arêtes terminales d'un rhomboèdre ou rhomboèdre des arêtes terminales d'un scalénoèdre. Selon que les arêtes terminales du rhomboèdre auront la même position que les arêtes terminales aiguës ou celles des arêtes terminales obtuses du scalénoèdre, on donnera au rhomboèdre le nom de rhomboèdre des arêtes terminales aiguës ou de rhomboèdre des arêtes terminales obtuses du scalénoèdre.

Le rhomboèdre des arêtes latérales d'un scalénoèdre qui a ses arêtes latérales de la même longueur que ce scalénoèdre, a nécessairement un axe principal plus petit, mais toujours cet axe principal est en rapport simple avec celui du scalénoèdre.

Dans un même genre minéral il se trouve souvent plusieurs scalénoèdres qui ont le même rhomboèdre des arêtes latérales et des axes principaux différents. Ainsi, par exemple, le Carbonate de chaux présente plusieurs scalénoèdres qui ont pour rhomboèdre des faces latérales le rhomboèdre principal. Si l'on prend l'axe principal de cette figure pour unité, on trouve que les axes principaux des différents scalénoèdres

1 /j2 ÉLÉMENTS

ayant les arêtes latérales égales à celles du rhomboèdre, sont exprimés par les nombres 2, 3, 5, 7,9, etc. Le deuxième scalénoèdre est celui qui se présente le plus fréquemment. Sa notation est (et: 1/2 a: i/3 a : c). La/îg. 9, pi. X, représente sa section principale A E A' E' avec la section principale C E C E' du rhomboèdre principal , qui est son rhomboèdre des arêtes latérales.

Les rhomboèdres des arêtes terminales aiguës ou obtuses d'un scalénoèdre ont, en supposant les axes principaux égaux, une projection horizontale plus petite. On voit très-bien cela dans h\ fig. 10, pi. X, dans laquelle A E A' E' représente la même section principale que dans la fig. 9; ADA'D' représente une section principale du rhomboèdre des arêtes terminales obtuses, A F A' F' une section principale du rhomboèdre des arêtes terminales aiguës. Le rhomboèdre des arêtes latérales d'un scalénoèdre est de même classe que le rhomboèdre des arêtes terminalesaiguës de ce scalénoèdre, mais de classe différente que le rhomboèdre de ses arêtes terminales obtuses. On reconnaît aussi cela trèsbien sur la figure, car les lignes G E et A F sont les diagonales obliques des rhomboèdres des arêtes latérales et des arêtes terminales aiguës , A D' est la diagonale oblique du rhomboèdre des arêtes terminales obtuses, les premières re-

DE CRISTALLOGRAPHIE. ifô

posent sur le même coté de l'extrémité supérieure de l'axe principal, la dernière repose sur les cotés opposés; de sorte que les rhomboèdres qui appartiennent aux premières sont de la même classe, et le rhomboèdre qui appartient à la dernière est d'une classe différente. Dans le scalénoèdre (a : \/-i a : j/3 a : c) du Carbonate de chaux, dont nous avons parlé plus haut et dont la section est représentée^?^. io,/;/. X, le rhomboèdre des arêtes terminales aiguës est celui dont la notation est (a : a : co a : 4 c ), c'est-àdire le deuxième rhomboèdre aigu du rhomboèdre principal; le rhomboèdre des arêtes terminales obtuses est celui dont la notation est [a : a : oo a : o c).

Comme les deux espèces d'arêtes terminales du scalénoèdre correspondent aux arêtes terminales de deux rhomboèdres possibles dans le même genre minéral, elles ne peuvent différer sous le rapport de leur inclinaison, par rapport à l'axe principal, que de la quantité dont différent les arêtes terminales de deux rhomboèdres de classes différentes et qui se combinent ensemble. Mais comme deux rhomboèdres ayant leurs angles égaux, c'est-à-dire deux rhomboèdres inverses, peuvent se combiner ensemble, il peut représenter aussi des scalénoèdres, dans lesquels toutes les arêtes latérales se trouvent situées

l44 ÉLÉMENTS

dans un même plan. Un scalénoèdre de cette espèce a tout-à-fait l'apparence d'un hexagondodécaèdre, et Usera impossible de le distinguer de celui-ci ( à moins cpje ce ne soit par le clivage ), lorsqu'il se présentera isolé. Il se distinguera au contraire très-bien de l'hexagondodécaèdre dans ses combinaisons où il doit se comporter tout autrement que cette dernière forme.

Combinaisons du scalénoèdre.

Les scalénoèdres se combinent avec d'autres scalénoèdres , avec des rhomboèdres et avec toutes les formes qui se combinent avec les rhomboèdres. Les hexagonciodécaèdres et les didodécaèdres ne peuvent pas plus se combiner avec les scalénoèdres qu'avec les rhomboèdres.

Scalénoèdre et rhomboèdre.

Les scalénoèdres forment un grand nombre de combinaisons différentes avec les rhomboèdres. Les combinaisons les plus fréquentes sont celles qu'ils forment avec les trois rhomboèdres qui leur appartiennent, et surtout avec le rhomboèdre des arêtes latérales. Ce sont ces combinaisons que nous considérerons ici; on pourra d'après cela facilement juger la manière dont les scalénoèdres doivent se comporter avec les autres rhomboèdres.

Dans la combinaison d'un scalénoèdre avec son rhomboèdre des arêtes latérales, lorsque les faces de cette dernière forme dominent, les faces du scalénoèdre forment des biseaux sur les arêtes latérales, et les faces du rhomboèdre forment des pointements à trois faces sur les extrémités du scalénoèdre, les faces de ces pointements sont placées symétriquement sur les arêtes les plus longues, et les arêtes de combinaison se trouvent parallèles aux arêtes latérales du rhomboèdre. C'est ce que l'on voit dans la figure 8i,qui représente une combinaison du scalénoèdre (a : 1/2 a : i/3a:c), avec le rhomboèdre principal du Carbonate de chaux.

Dans les combinaisons du scalénoèdre avec les rhomboèdres des arêtes terminales, les faces du scalénoèdre forment des biseaux sur les arêtes terminales du rhomboèdre, comme dans layzg. 80, qui représente une combinaison du scalénoèdre (a: 1/2 a : j/3 a: c) du Carbonate de chaux avec le rhomboèdre de ses arêtes terminales aiguës ( a : a :co a : 4 c). On voit facilement que les premiers rhomboèdres obtus, parmi les rhomboèdres des arêtes terminales , se présentent dans leurs combinaisons avec le scalénoèdre comme des faces de troncature des arêtes terminales obtuses ou aiguës. C'est ainsi que, dans le Carbonate de chaux, les arêtes terrai*

nales aiguës du scalénoèdre (a : \ji a : i/3 a: c) sont souvent tronquées par les faces du premier rhomboèdre aigu («' : à : co a : i c).

Scalénoèdre et prisme a six faces.

Dans les combinaisons du scalénoèdre avec le premier prisme à six faces, les faces du prisme tronquent les angles latéraux du scalénoèdre. Si les faces de troncature n'ont que l'étendue nécessaire pour se toucher en un point, elles ont la forme de trapèzes symétriques comme les faces de l'icositétraèdre, et ont alors alternativement leurs angles obtus et aigus tournés en haut comme dans la figure 82 , qui représente une combinaison du Carbonate de chaux, savoir, celle du scalénoèdre ( a : • ï/a a : i/3 a : c) et du premier prisme à six faces, en supprimant toutefois les faces marquées 1 x. Si les faces du premier prisme à six faces sont assez grandes pour se couper suivant des arêtes, elles prennent la figure des hexagones symétriques.

Les faces du deuxième prisme à six faces se présentent comme des faces de troncature des arêtes latérales du scalénoèdre.

Scalènoèdres entre eux.

Les scalènoèdres forment entre eux les combinaisons les plus variées. Nous ne donnerons

que les principales de ces combinaisons; elles serviront à éclaircir les autres. Les combinaisons que nous avons choisies se trouvent toutes clans ie Carbonate de chaux.

La Jîg. 83 représente une combinaison du rhomboèdre principal r avec deux de ses scalénoèdres des arêtes latérales 3 z et 5 z. Ces formes se coupent suivant des arêtes parallèles aux arêtes terminales et latérales du rhomboèdre. Le premier scalénoèdre est lescalénoèdre (a : \jia : i/3<2:c), celui qui se présente le plus fréquemment dans le Carbonate de chaux ; le second est le scalénoèdre (1/2 a: i/5 a: i/3 a: c). Outre les faces de ces deux formes, il y a encore les faces 4 t d'un rhomboèdre de même classe que le rhomboèdre principal, et qui est le premier rhomboèdre obtus du rhomboèdre des arêtes terminales obtuses de 5 z\ ces faces tronquent les arêtes terminales obtuses de 5 z. Ce rhomboèdre est. aussi le rhomboèdre des arêtes terminales aiguës de 3 z, dont les faces forment avec 3 z des arêtes parallèles aux arêtes terminales aiguës de cette dernière figure. Le rhomboèdre est donc celui représenté déjà dans la figure 80, et a pour notation (a : a: 00 a: c); g sont les faces du premier prisme , de sorte que les formes contenues dans la combinaison dont nous parlons sont celles-ci :

l/|8 ÉLÉMENTS

r=( a : a: oc a: c)

4 r=(a:a:<x> a: l\c) g=(a: a :cc a:cc c)