SA'^ + A'^R>SA + AR

Or on sait que, dans une ellipse, les deux rayons vecteurs SA et AR font des angles égaux avec la normale AN ; l'ellipse étant tangente en A au miroir MM, AN est aussi normale à celui-ci, et nous retrouvons la seconde loi de la réflexion : l'angle d'incidence SAN est égal à l'angle de réflexion NAR.

♦ 200, Si le miroir, au lieu d'être plan, était convexe, nous obtiendrions de la même manière le point A, qui correspond au trajet minimum (fig. 352). Si le miroir était concave, le point A

268 PB0PB1ÉTÈ8 OFTIQUEB.

pourrait correspondre à un tr&jet mazimam (fig. 353). Dam les denx cas le point R ne recevrait de lainière qae de la région da miroir très rapprochée de A.

FiK. 352. Pig. S63.

81 le miroir avait une surface ondulée (fig. 354), il poorrùt exister une série de points tels que A,, A„ placés sur des lignes de trajets niiiiima, et une autre série de points tels qne

Fig. 361.

A',, placés sui- (les lignes de trajets maxima : tous ces points

enverraient (le la lumière à U.

Eulîu la section faite dans le miroir par le pian d'incidence

pourrait être nue ellipse ayant S et R pour foyers. Tous les points de cette ellipse correspondraient il une même durée de trajet, piiis(|ue la somme des rayons vecteurs SA -|- AR serait constante. Il n'y aurait plus ni maximum ni minimnm; >''s> '^ô. mais la première zone élémentaire

s'('tt'iidrait sur toute la section, et tous les points de celle-ci

enverraient de la liniiii're à R (tig. 355). Ce cas cependant exi-

(iiiiait un examen plus attentif.

CONSTRDOnON D HUYSENS. 269

* 201 . Application à la réfraction simple. — Nous supposons maintenant qae les points S et R soient situés dans denx milieax isotropes différents, dans lesqnels la lumière chemine avec des vitesses Y et V, et qui sont en contact par une surface plane MM. Le plan réfringent MM, mis en vibration par S, envoie du mouvement dans le second milieu, et les sentes portions de ce plan qui exercent sur R on effet appréciable sont celles qai avoisinent le point À situé sur le cheminde pins prompte arrivée. *"'«■ ""■

Ce point est évidemment contenu dans le plan SAR normal an plan réfringent (fig. 356). La durée du trajet qui doit être minimum est

m SA I RA

Soient E et E' les pieds des perpendiculaires abaissées de S et de R sur MM, et 2 la distance EE', x la distance inconnue EA, h et h' les hauteurs SE et RE' ; on anra

pour qae T soit minimom, il faut que

dT 1 a: 1 ^'-r£).

qoi peut s'écrire

^ Bin ASK = ^ sin ARE',

270 ntoPBiÉTÉs opnqnss.

OU encore

ysinNÂS=y,8inN'ÂR.

Appelons t l'angle d'iocidence NAS, r l'angle de réfraction N'AR, on anra

Sîi = ^= constante.

On obtient donc bien les deux lois de ta réfraction ordinaire: te rayon incident et le rayon réfracté sont compris dans nn même plan normal à la surface réfringente, et le rapport dn sinus de l'angle d'incidence an sinns de l'angle de réfraction est constant.

* 202. La réfraction par une surface courbe s'explique de la même manière. En particulier (fig. 357), si la snrface réfringente a une courbure convenable, il pourra se faire que tons les

chemins SAR, SA'R, etc., : soient parcourus dans des ' temps égaux, la longueur I plus grande du chemin SÂ'B I étant compensée par le fait , que la lumière en parcourt I une plus grande partie arec la plus grande vitesse Y. ^>s- 3S7. Dans ce cas, tous les rayons-^s

arriveront en coïncidence de phase en R, la surface se |com

portera comme un arc élémentaire unique, la lumière de S sera^^ concentrée au point R. Ici encore il y aurait lieu d'examinen^^ de plus près certaines perturbations.

* 203. Phénomènes de difiraction. — Nos raisonnement^K ont toujours supposé que la surface K (§ 1 94) était illimitée, et 1^^

CONSTBrcnOM D HUrOBNS. 271

chemin SAR toujours éloigné des régions de l'espace où le temps T poorrait varier brasquement d'nne quantité finie lorsqu'on passe d'un rayon au rayon très voisin. Lorsque nons avons parlé de l'effet produit par nn écran, nous avons toujoTirs admis que cet écran interceptait un grand nombre de zones élémentaires autour de A, ou qu'il était percé d'une ouverture comprenant également un grand nombre de zones élémentaires. Ce n'est que dans ces conditions que nous pouvons dire que le rayon lumineux suit le chemin de plus prompte arrivée.

Si l'écran est très petit, il pourra n'intercepter qu'une partie des zones efficaces, et le point R continuera à être éclairé plus ou moins. Il en sera de même sur les bords d'un écran quelconque; l'ombre n'est jamais tranchée nettement, et il se produit à. la limite de l'ombre géométrique des alternatives de lumière et d'obscurité et une inflexion de la lumière vers l'intérieur de l'ombre. Ces phénomènes, appelés phénomènes de diffraction, s'expliquent complètement et dans tous leurs détails par la théorie dont nous venons d'esquisser le principe.

204. Propagation d'une onde plane dans un milieu homogène quelconque. — Étant donnée à un certain instant la position M, d'nne onde plane dans un milieu ,homogène quelconque pour lequel la surface de l'onde est connue, il s'agit de déterminer la position qu'occupera cette onde plane an bout d'une unité de temps. Tous les points de M, (fig. 368) envoient de la lumière en avant de l'onde, l'effet cherché est la résultante de tous ces ^v- sss.

ébranlements. Un point A pendant l'unité de temps envoie du mouvement jusqu'à la surface de l'onde décrite autour de Â

comme centre. De même les ébranlements partis de B, de C, etc., se propagent jusqu'aux surfaces d'onde décrites autour de ces points. Ces surfaces d'onde sont toutes égales et semblablement placées, puisque le milieu est homogène, et elles sont toutes tangentes en avant à un plan M, parallèle à M^ . Ce plan sépare par conséquent les points de l'espace qui, pendant cette unité de temps, ont reçu de la lumière de ceux qui n'en ont pas encore reçu; ce plan contient les points qui entrent en vibration une unité de temps après les points de M,. M, est donc la position de Tonde plane une unité de temps après qu'elle a passé en M, . D'où la construction suivante : Auiour d^un point quelconque A de M, on décrit la surface d'onde du mUieu considéré, et on lui mène un plan tangent paraUde à Mj ce pian tangent M^ est Vonde cherchée.

205. Direction du rayon lumineux. — On demande maintenant de déterminer la direction du rayon lumineux qui correspond à une onde plane donnée. Reprenons la construction précédente (âg. 358). Soit P le point de contact du plan M, et de la surface d'onde décrite autour de A. Il est clair que P reçoit de la lumière du point A plus vite que d'aucun autre point de M,, puisque, au moment où il la reçoit, la lumière d'un point B quelconque ne s'est propagée que jusqu'à la surface d'onde décrite autour de B, surface qui n'atteint pas P. D'après le théorème général, P ne sera donc éclairé que par A et les points voisins de A ; un écran place en A empêchera la lumière de parvenir en P ; AP est donc le rayon lumineux cherché.

On voit qu'en général, dans un milieu anisotrope, le rayon lumineux est oblique sur Vonde plane qui lui correspond. Dans un milieu isotrope, la surface de l'onde est une sphère, le point P est évidemment sur la normale menée au plan M, par le point A, le rayon est normal à l'onde plane.

coNSTEOCTioH d'hutoens. 273

RécîproqaetoeDt, étant donné an rayon Inmineux, on pent déterminer la direction de l'onde plane correspondante. Ântonr d'an point A de ce rayon nons constmirons la snrface de l'onde qni caractérise le milien. An point P, où cette surface coupe le rayon, nons toi mènerons on plan tangent M qui est l'onde plane cherchée.

206. Construction d'Huygens'. — Deux milieux homogènes quelconques, différents, sont en contact par on plan MM perpendicnlaire au plan de la âgure (fig. 359). On donne ponr chacon d'eux la grandeur, la forme et ta position de la surface

Fig. 369.

de Tonde. Dans le premier milieu se propage une onde plane M, perpendicnlaire aussi an plan de la figure, à laquelle correspond un rayon SI qui, en général, n'est pas compris dans le plan de la figure. Ce rayon tombe en I sur le plan réfringent MM. On

* UnracirB, Traité dt la lumière, chap. V, a donné cette construction pour le cas particulier de cristaux à un axe. Fsbbnel l'a géoéraliséc dans son Second supplément au Mémoirt sur la double réfraction (1321), Œuvrei, 11, 382.

demande la direction du rayon réfracté et de Tonde plane réfractée dans le second milieu.

A partir de l'instant où Tonde plane M, atteint le point I, les différents points de la surface MM situés plus à droite sont successivement ébranlés et se mettent successivement à envoyer de la lumière dans le second milieu. Au bout d'une unité de temps, l'onde plane incidente est venue en M, et coupe MM suivant une droite L perpendiculaire au plan de la figure ; et nous obtenons M, (§ 205) en décrivant la surface de Tonde 0 du premier milieu, et en menant un plan tangent PLM, au point P, où elle est coupée par le prolongement du rayon incident SI. Les différents points de MM qui sont compris entre I et L reçoivent le mouvement après des temps proportionnels à leurs distances à partir de I ; les temps pendant lesquels ils ont envoyé de la lumière dans le second milieu, lorsque la droite L entre en vibration^ sont donc proportionnels à leurs distances à partir de L. On en conclut que cette lumière s'est propagée jusqu'à un plan, qui est Tonde plane réfractée, et qui passe par L une unité de temps après que Tonde plane incidente a passé par I. D'autre part, en vertu du § 204, cette onde plane doit être tangente à la surface de Tonde 0' du second milieu, décrite autour de I comme centre. Pour la construire, il suffira donc de décrire cette surface d'onde et de lui mener un plan tangent par la droite L. Si Q est le point de contact, le rayon réfracté est IQ (§ 205); Q ne sera pas en général dans le plan de la figure. Le rayon incident et le rayon réfracté ne sont donc pas contenus en grncral dans un mhne j)lan perpendiculaire au plan réfnn- (jcnt. Les normales aux ondes planes incidente et réfractée sont au contraire toujnnrs ct^mprises dans un même plan normal à la surface rcfrinfjoitc, (juellc que soit la structure d<fS deux milieux honuH/cnes en contact.

En résumé, la construction que nous venons d'exposer, et qui

CONSTRUCTION d'huygens. 275

«st connae sous le nom de constraction d'Huygens, peut s'énon- <;er comme il suit :

Deux milieux homogènes quelconques A et B étant en contact par une surface plane MM, et SI étant un rayon lumineux qui, cheminant dans A, vient tomber sur la surface de contact, pour avoir la direction du rayon réfracté dans le milieu B, on construit autour du point I la surface d'onde 0 du milieu A. Par le point P, où die est percée par le rayon SI prolongé j on lui mène un plan tangent y qui a la direction de Vonde plane incidente, et qui coupe la surface réfringente MM suivant une droite L. On construit ensuite autour de I la surface d'onde O du milieu B, et, par la droite i, on lui mène un plan tayigent qui est parallèle à Vonde plane réfractée. La droite IQ, qui aboutit au point de contact Q^ est le rayon réfracté. Pour ne pas compliquer inutilement la figure, on se borne habituellement à tracer les portions des surfaces d'ondes 0 et 0' qui se trouvent au-dessous du plan réfringent.