MN

2tcz

SîTC

2, = îf^,y, =

/mn

Les zones élémentaires comprises chacune entre deux ellipses successives ont donc des surfaces égales g, = g, — 3* = î, — îi

= ^— - , tandis que leurs largeurs, qui sont de Tordre de

x,^x^ — ^fj^, — ^,j vont en décroissant rapidement et tendent à devenir égales à mesure qu'on s'éloigne du point A.

♦ 197. Effets des diverses zones élémentaires. — Si donc

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ces zones pouvaient être considérées comme agissant sur le point R uniquement en raison de leurs surfaces, les vitesses partielles v,jV^ ... seraient toutes égales entre elles, et la série aurait une valeur indéterminée. Le point R se trouve, il est vrai, à une distance et dans une position différente par rapport aux diverses zones ; les vitesses partielles ne peuvent pas être égales ; dans certains cas particuliers, on peut démontrer qu'elles vont en décroissant.

Mais on doit considérer surtout une circonstance beaucoup plus générale. La source lumineuse S ne peut jamais être un simple point mathématique vibrant simultanément et symétriquement dans toutes les directions. C'est un espace plus ou moins grand dans lequel une multitude de points vibrent séparément et d'une manière tout à fait indépendante. La lumière qui se propage suivant un chemin déterminé est donc elle-même une résultante d'un grand nombre de mouvements vibratoires ; à chaque instant la phase de cette résultante ne varie d'une manière sensiblement continue, lorsqu'on passe d'un chemin à un autre, que si ces chemins sont très peu écartés l'un de l'autre. Il en résulte que deux chemins passant par deux points quelconques a^ et a'^ d'une même zone, quoique correspondant à une même valeur de T dans la supposition primitive que S est un simple point, apportent en réalité à R des vitesses d'autant moins concordantes que a^ et a ^ sont eux-mêmes plus éloignés l'un de l'autre sur la surface K ; la vitesse partielle envoyée par une zone est par suite d'autant plus faible que le diamètre de cette zone est plus grand, c'est-à-dire qu'elle est plus éloignée de A. On voit également que, les zones d'ordre élevé étant très étroites, l'effet de chaque petite portion de chacune d'elles tend à devenir exactement égal et opposé à l'effet de chaque petite portion très voisine de la zone adjacente. On en conclut que les vitesses partielles t;, , v^^v^ ... vont en diminuant assez

386 raonairràM opnaim.

rapidement, ea même temps qne leurs différraices v, — v,f V, — v^ ... tendent rers zéro dès qne l'on considère des zones on pea éloignées da point A,

* 198. Gënéralisation du théorème'. — Le résultat da piffagraphe 195 repose snr le fait qa'aox environs dn point A les dérivés ^ , ^ sont nulles. Cette condition est satisfaite u le chemin qoi passe par A est, quant à la dorée dn trajet, nn minimum relativement aux chemins voisins. Mais ce serait anssi le cas si ce chemin était un maximum, ou si, n'étant ni maTimnm ni minimum, il correspondait ii un trajet T égal à celni des chemins très voisins. Dans ces divers cas, il pourra se faire que R reçoive de la lumière du point A.

* 199. Application au phénomène de la réflexion. —

Un point lumineux S envoie de la lumière h nn point R sitaé

dans le même milieu (fig. 351). La lumière se transmet d'abord suivant la ligne droite SU, qui est évidemment un chemin de

' La propagation suivant le chemin minimum dans le phénomène de la réfleii'in avait été remarqui^e par Lachahbke, De la lumière, Paris 1863, 311> FiHHitT avait sup[insé qu'il en était de même pour la réfraction et en arkit conclu que l'indice de réfraction (§ 217) cet égal au rapport direct des vitesses dans leB deux milieux en contact, (Jpera varia, Toulouse, 1679, 156. Hnsm arrive au même résultat daca l'hypothèse des ondes, Traité de la lumière, I690j Frunu. aperçoit la loi générale, Mémoire couronni sitr la diffraction (1819), Œmres, I, 379.

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trajet minimum. Imaginons de plus un miroir plan MM dont les divers points, à mesure qu'ils sont ébranlés par le mouvement qu'ils reçoivent de S, envoient à leur tour de la lumière à R. On verra comme ci-dessus que les seuls points de ce plan qui exercent un effet sensible sur R sont groupés dans un petit espace autour du point Â, pour lequel la ligne SAR est parcourue dans un temps minimum, ou, ce qui revient au même puisque la vitesse de propagation est constante dans le milieu isotrope considéré, pour lequel la ligne brisée SAR est la plus courte possible.

Si, par S et R, nous menons un plan perpendiculaire au miroir, il est clair que A sera contenu dans ce plan, la ligne SAR étant plus courte qu'une ligne SAR située dans un plan incliné quelconque. D'où résulte que le rayon incident SA et le rayon réfléchi AR sont compris dans un même plan normal au miroir : c'est la première loi bien connue de la réflexion.

Traçons ensuite dans le plan SAR une ellipse ayant S et R comme foyers et tangente au miroir. Le point de tangence est en A, puisque tous les autres points du miroir sont extérieurs à l'ellipse, et que pour l'un quelconque A" d'entre eux on a, par conséquent,