Intensité d'électrisation ou moment diélectri

POLABISATION DIÉLECTRIQUE. 525

que. — Soient acdb, hdâh' ... (fig. 491) des éléments de volame cootigos. Sons Faction d'une force résultante ayant par exemple la direction de la flèche F, la surface M de l'élément acdb se charge d'une couche d'électricité positive ayant une densité e, et la surface ac d'une conche égale d'électricité négative. Nous donnerons à la densité e le nom d'intensti^ d'électrisation on simplement de polarisation; elle est définie par sa grandeur et par la direction dans laquelle se produit l'in- '''*■ **^"

flnence. On peut donc représenter la polarisation par une droite ayant une grandeur et une direction déterminées, et la regarder comme la résultante de trois polarisations e„ e^ c, dirigées suivant trois axes de coordonnées rectangulaires.

On donne le nom de moTtient diélectrique de l'élément àbcd an demi-produit des électricités développées sur ses deux faces opposées par U distance de ces deux faces. Ce moment a donc pour valeur exab x surface ca, ou ev, en remarquant que ab X surface ca est égal au volume v de l'élément. L'intensité d'électrisation e représente donc le moment diélectrique de l'unité de volume.

En général, l'intensité d'électrisation varie en grandeur et en direction lorsqu'on passe d'un point à l'autre du diélectrique ; mais lorsque, ainsi que nous le supposons ici, elle résulte d'un phénomène d'influence se produisant dans un diélectrique homogène, on trouve qu'un élément plan tel que bd reçoit sur ses deux &ces, par suite de la polarisation des éléments de volume adjacents, des quantités égales d'électricités de signe contraire, et ne peut exercer aucune action extérieure; il n'y adoncpasd'électridté libre à l'intérieur du diélectrique. Mais il y en a sur la surface

S26 PHOPaiÉTÉS ÉLBOTBIQUKa.

qui le limite. Soient en effet (fig. 492) oa' ud élément de cette

surface, da la direction de l'électrisation, et adcei on élément de volume da diélectrique. Une quantité -j- e X sar&ce €tb se porte sur l'élément de snrface aa' et s'y répand avec une densité e X ab/aa' r= e coB 9, 9 désignant l'angle compris entre la direction de l'électrisation et la normale extérieure i la surface dn diélectrique. Cette con- ^'s "^- che {coucAe fictive) sera positive

ou négative suivant que e sera dirigée vers l'extérieur on vers

l'intérienr.

413. Coefficient d'âlectrisatîon ou susceptibilité électrique. — Si le diélectrique est isotrope, il est évident, par raison de symétrie, que l'intensité d'électrisation e est parallèle à la force résultante F. Quel que soit d'ailleurs le mécanisme qui lui donne naissance, on peut considérer e comme proportionnel à F, au moins tant que celle-ci ne dépasse pas one certaine valeur. Nous mettrons cette proportionnalité sous la forme

e = Ko^F.

Le confident d'électrisation ou susc^tihUité électrique t ainsi défini dépend seulement de la nature du diélectrique. D serait facile de montrer que c'est un simple nombre ne dépendant pas des unités choisies. Ko représente toujours la constante de la formule de Coulomb (§ 399).

Quant d. F, c'est la résultante totale des actions <\i exercées par les masses électriques réellement introduites dans le champ, et des actions ç exercées par l'électricité développée par infloence.

P0LAK18ATI0M DIÉLECTRIQUE. 527

414. Constante diélectrique. — Si Ton poursuit les conséquences de cette hypothèse, on arrive d'abord au théorème fondamental que voici :

Quand deux masses électriques q et Qi sont placées dans un mUieu diélectrique polarisahle, de susc^tibUilé e, letdr action réciproque, toujours dirigée suivant la droite qui les joint, et variant toujours en raison inverse du carré de leur dislance r, se trouve réduite dans le rapport de 1 + 47re d 1 par suite de la pclarir satian du diélectrique j et a pour expression

f— — L 2ÎL

que l'on peut écrire

en posant pour abréger

K = Ko(l+47ie).

Cette quantité K est appelée constante diélectrique ou pouvoir inducteur spécifique ou, encore^ perméabilité électrique du milieu isolant polarisable. Ko pourrait être appelée par analogie la constante diélectrique d'un milieu isolant non polarisable.

Nous donnerons une démonstration élémentaire de ce théorème dans les paragraphes qui suivent.

♦ 415. Force résultante produite par une masse électrique unique dans un diélectrique isotrope polarisable. — Une masse q d'électricité positive produit, en un point P situé à une distance r, une force résultante (§ 400)

dirigée vers l'extérieur. Cette force ^ est celle qui agirait sur une masse positive égale à l'unité, si l'on pouvait amener cette

528 PROPKTÉTÉB ÉLBCTBiaCES.

masse aa point P sans modifier l'état da champ. Qae devient

cette force si le miliea à travers lequel elle agit est nn diétectriqae polarisable isotrope?

NoQS rappellerons d'abord qne, d'après an théorème démontré dans tons les Traités de Physique, une coache sphériqne homogène dont chaque élément agit proportionnellement à sa masse et en raison inverse du carré de la distance, exerce snr mi point extérieur la même force résultante que si elle était tout entière concentrée en son centre, et exerce sur un point intérieur une force nulle. Une sphère homogène, on composée de couches homogènes, agit donc sur un point extérieur comme si tonte sa masse était concentrée en son centre, tandis que son action sur un point intérieur situé h une distance a du centre se réduit à l'action d'une sphère de rayon al.

Traçons (fig. 493) autour de notre masse électrique q une sphère de rayon r. Par raison de symétrie, la polarisation du diélectriqne est partout dirigée suivant le rayon.

Elle ne crée ni ne détroit aucune masse électrique; son effet est seulement de &ire pénétrer dans la sphère une certaine quantité d'électricité négative — 1(, et d'en faire *"'* **^' sortir la quantité correspon-

dante d'électricité positive. La distribution, quelle qu'elle soit, qui en résulte, peut, tout étant symétrique autour de q, être représentée par les deux couches sphériques homogènes -j- î* et — ^. La première, étant extérieure au point P, y produit une force nulle. Au contraire, la couche sphériqne — ^, intérieure à P,

POLARISATION DIÉLECTRIQUE. 529

agit sur ce point comme si elle était concentrée au centre, et exerce une force

qui s'ajoute à la force exercée directement par q pour donner la force résultante

Or, à travers chaque unité de surface de la sphère de rayon r, il a pénétré une quantité d'électricité qui est

— 6= -KoeF,

ce qui donne pour la sphère entière

5' = — 47rHxKoeF.

On en déduit

<p = — jj- ^ = — 47reF = — 47re (4^ + ?) ,

d'où l'on tire successivement

ç ( 1 -f- Ant) = — 47rr(;

-h4;r6 * ~ KAl-4-4:r6) r'

^ = ^ + 9 = YT4^,^ = YJïh ^

et

La force résultante est donc réduite par la polarisation du diélectrique dans le rapport de ( 1 + ^t) à 1 . D entre et il sort par une surface sphérique quelconque décrite autour de q une même quantité

UO PBOPBTÉrfa éLBOTRIQUBS.

D n'y a donc pas d'électricité libre dans le diélectrique. La couche -f^ de la figure 493 est repoussée à Tinfini; la masse positive q attire autour d'elle ' la couche négative — ^^ et agit réellement dans le milieu polarisable comme une masse q — ^, ou, d'après le calcul qui précède, comme une masse $/(l + 4jce) agirait dans un loilieu non polarisable ; elle y produit une force résultante

♦ 416. Action réciproque de deux masses électriques dans un diélectrique isotrope polarisable. — Si an point P nous plaçons une masse gi, l'action réciproque de q et qi s'obtient en multipliant la force résultante par q^ et a pour expression îîi/Kr*.

Ce résultat est juste, mais le procédé que nous venons d'employer est discutable. Quand nous introduisons la masse qx dans le champ, elle attire immédiatement autour d'elle une masse de signe contraire ([x et agit dès lors comme une masse qx — 4\ ou 9i/(l + ^Tre). U semble donc, au moins dans le mode de représentation que nous avons adopté, que nous ayons en présence l'une de l'autre deux masses réduites ql(\-\-^i) et gi/(l-h4ire), et que l'action réciproque doive être ggi/Ko(l-i-47re)*r". Mais nous ne devons pas oublier que dans ce mode de représentation les forces électriques ne suffisent pas à elles seules à établir l'équilibre du milieu. Chaque élément de volume se polarise moins quMl ne le ferait s'il était conducteur. S'il était conducteur, la polarisation irait jusqu'à supprimer la force résultante dans son intérieur : c'est là ce qui se passerait si l'équilibre avait lieu sous l'action des forces électriques seules. En introduisant la susceptibilité e, et en admettant que la polarisation s'effectue

^ Helmholtz, loc. cit.

POLARISATION DIELECTRIQUE. 531

dans des éléments de yolome contigus et remplissant tout le diélectrique, noos supposons implicitement l'existence dans celm-ci de forces élastiques fictives (§ 411) qui tendent à ramener les électricités de noms contraires séparées par l'influence, et s'ajoutent aux actions réciproques de ces électricités pour équilibrer le champ extérieur.

Dans le cas particulier qui nous occupe, le système de la masse qi et de la masse gfu dont elle s'enveloppe en polarisant le milieu, est soumis à la fois à des forces électriques et à des forces élastiques fictives, qui sont : P l'action électrique de la masse q — ^ sur $, ; 2^ l'action électrique de la masse électrique q — 9' sur ^1; 3^ les actions électriques mutuelles des masses qt et çd; 40 et 5^ les forces élastiques développées par la polarisation et que BOUS pouvons décomposer en deux parties, dont l'une équilibre les forces 3, et dont l'autre équilibre les forces 2 ci-dessus. Les forces 3 et 4 sont des forces internes du système qi — ^1, et ne peuvent contribuer à le déplacer ; les forces 2 sont équilibrées par les forces 5 ; il ne reste que l'action de g — ^ sur ^i, c'est-à-dire (q — ^)qi/Ki^ ou ggi/Kr».

♦ 417. Nous arrivons à la même expression par une voie plus sAre et plus générale, quoique peut-être un peu moins élémentaire, en observant que la force f qui agit entre les deux masses est, en signe contraire, la dérivée par rapport à r de l'énergie potentielle du système électrisé'. Cette énergie W

* Ce dernier mode de calcul serait le seul légitime si nous nous placions dans IHiypothèse de Poisson-Mossotti-Clausius, d'après laquelle le diélectrique serait formé de particules conductrices disséminées dans un isolant parfait. La constante diélectrique dépend alors du volume relatif, de la forme et de la disposition de ces particules. Un déplacement des points électrisés ne peut pas se faire sans entraîner en même temps une modification du milieu dont il faudrait tenir compte dans le calcul de leur action réciproque. Poinoaré, Êleetrieité et Optique, Paris, 1891, II, 105. Dans Tétude d'un système mécanique aussi complexe, il faut recourir au calcul de l'énergie potentielle. Si les masses élec-

représente en effet le travail maximum qui peut être effectué par un déplacement des masses q et qi. Supposons q et qi posi* tives; si leur distance augmente de dr^ le travail effectué fdr est égal à la diminution — dW de l'énergie potentielle, et Ton a par conséquent

' ~ dr '

Nous pouvons nous représenter les masses q et q^ fixées en couches uniformes sur des sphères, de centres P et Pj, et de très petits rayons p et jOi, qui se trouvent ainsi portées à des potentiels y et Vi ; et nous pouvons admettre que Ton a chargé ces sphères en les mettant momentanément en communication avec deux sources d'électricité convenables qui leur ont fourni les quantités q et q^ en élevant graduellement leurs potentiels. L'énergie du système électrisé est égale au travail effectué par les sources pendant la charge.

Le potentiel d'un conducteur s'élève graduellement à mesure qu'on le cliarge; si à un certain moment sa valeur est V, il faut, pour lui donner un petit accroissement âN\ amener du sol sur le conducteur une petite masse électrique dq. Ce transport exige (§ 401, formule 2) un travail Yd(i que nous pouvons écrire CV'cTV' en appelant C la capacité du conducteur (§ 406). En intégrant cette expression de 0 à V, nous obtenons le travail total fourni pour porter le conducteur du potentiel 0 au potentiel V, et nous avons

1 CV'cZV = l CV* = î ïV .

triques sont plongées dans un diélectrique fluide, les modifications que subit celui-ci pendant leur déplacement doivent être telles que la constante diélectrique garde la même valeur ; on doit donc dériver W par rapport à r en laissant K constant, et Pon trouve toujours la même expression.

POLARISATION DIÉLECTRIQUE. 533

En appliquant cette formule à nos deux conducteurs, nous trouvons que leur énergie potentielle est égale à

La polarisation du diélectrique n^entre pas explicitement dans cette expression; le diélectrique, en effet, ne reçoit pas d'électricité des sources; dans chacun de ses éléments de volume, il se produit seulement un phénomène d'influence. Supposons pour un instant qu'un de ces éléments de volume fût un petit conducteur, cet élément serait (§ 410) chargé de masses égales et de signes contraires donnant une somme algébrique nulle, et le potentiel serait le même en tous ses points (§ 406). Son énergie potentielle ^ qV serait donc nulle. Dans le cas du diélectrique, il en est de même; dans l'élément de volume polarisé, des masses égales d'électricités positive et négative se trouvent en équilibre sous l'action simultanée des forces électriques et des forces élastiques fictives. Elles sont donc, à cet égard^ dans les mêmes conditions que dans un conducteur, la variation d'énergie potentielle qui se produirait dans l'élément sous l'action des forces électriques est exactement compensée par celle qui résulte des forces élastiques. La polarisation du diélectrique n'intervient qu'indirectement dans l'expression de W en modifiant la capacité des conducteurs en présence.

Dans le diélectrique polarisé, la petite sphère de centre P porte la charge q qui lui a été fournie par la source et attire autour d'elle une charge — g^. La sphère de centre Pi porte de même une chargeai — g'i. Le potentiel en P, dû aux masses 9j — ^} 2i ^* — ^u 6st donc (§ 401 , formule 1 )

Le potentiel en P, est de même

534 PHOPRIÉTÉS ÉLE0TBI4UB8.

La force /'est, en signe contraire, la d^rée de W par rapport à r. Comme les charges q et ^i sont supposées ne pas varier pendant le déplacement, on a

f <m i„dv 1 dv.

Les expressions ci-dessas donnent d'aitlenrs, dans la même

supposition.

et l'on a par conséqnent

ce qni est bien la valeur trouvée pins haut.