DE LA SYMÉTRIE DES CRISTAUX

1. Cristallisation. — La plupart des composés chimiques cléfinis sont susceptibles de crist<illiser ; lorsqu'ils prennent l'état solide dans des conditions telles que leurs molécules soient libres d'obéir à leurs actions réciproques, ils acquièrent une structure régulière qui est complètement déterminée pour chacun d'eux, et qui se traduit extérieurement par des formes géométriques également caractéristiques. Cette structure représente l'état d'équilibre stable et complet à l'égard des forces moléculaires. On peut dire qu'un cristal est un corps solide à Tétat parfait.

2. Structure intérieure des cristaux. Homogénéité et anisotropie. — Un cristal, supposé parfait, est d'abord un corps solide homogène; sa nature et sa structure sont identiquement les mêmes en tous ses points. Mais cette homogénéité est bien différente de celle que possèdent les corps solides non cristallisés. Les métaux^ les verres, beaucoup de corps solidifiés après fusion, peuvent aussi être homogènes, sans que cependant ils soient assimilables à des cristaux.

4 CBISTALLOORAPHIE OÉOICÉTRIQUE.

Pour mieux faire comprendre cette distinction qui est à la base de tonte la Cristallographie, nous prendrons un exemple grossier.

Considérons d'abord une rame de papier blanc dont les feuil-les, toutes identiques entre elles, et pressées les unes contre les^ autres, peuvent être regardées comme formant un tout homogène, puisque leur nature et leur disposition sont les mèmea partout. Cette rame de papier n'a pas la même structure dans le sens horizontal et dans le sens vertical. Tandis qu'eUe se partagera facilement suivant un plan horizontal, parallèlement aux feuilles, il faudra un effort énorme pour la rompre dans une direction perpendiculaire. Une aiguille placée verticalement dans son intérieur entamera des centaines de feuilles,, placée horizontalement elle n'en entamera qu'une ou deux. La constitution de cette rame de papier, tout en étant la même en chaque point, varie donc d'une direction à l'autre autour d^un même point; les différentes directions ont des significations difrentes, et l'on exprime ce caractère en disant que le corps est homogène, mais anisotrope.

Si nous remplaçons au contraire notre rame composée de feuillets superposés par une masse égale de pâte de papier' non divisée, nous aurons un corps qui, non seulement sera homogène et aura partout la même constitution, mais qui, de pluS| sera formé de la même manière dans toutes les directions; rien ne distinguera plus les directions verticales des directions horizontales ou des directions obliques ; on dira alors que cette masse est isotrope.

Ce second cas nous donne une image grossière d'un corps homogène non cristallisé, tel qu'un bloc de verre ou de métal obtenu dans des conditions convenables; les liquides ont le même caractère et sont aussi des corps isotropes.

Le premier cas, celui des feuillets superposés, peut an con-

8TMÉTBIE DE8 CRISTAUX. 5

traire nons représenter en quelque mesure le caractère général et fondamental de la structure cristalline. Noua devons considérer un cristal comme un corps Jmnogène anisotrope, dont la structure est la même en chaque point, reste la même suivant chaque direction donnée, mais varie d'une direction à Vautre autour d'un même point.

Toutes les propriétés physiques, lesquelles résultent de la structure, auront naturellement le même caractère; c'est ainsi que toutes les parties d'un cristal agiront de la même manière sur un rayon de lumière qui les traversera dans une même direction, mais cette action pourra varier avec la direction du rayon; toutes les parties d'un cristal offriront la même résistance à la rupture dans une direction déterminée, mais la ténacité pourra changer d'une direction à l'autre.

3. Formes géométriques des cristaux. Constance des angles. — Prenons un composé bien connu, le chlorure de sodium ou sel marin; par l'évaporation lente de sa dissolution dans l'eau, on l'obtient à l'état cristallisé, et ses cristaux, loin •d'être limités par des surfaces quelconques, ont toujours la forme de blocs cubiques, ou des formes décomposables en blocs cubiques. Nous n'entendons pas dire par là que ces morceaux de sel soient toujours des cubes géométriques parfaitement réguliers, ayant leurs six faces égales ainsi que leurs douze arêtes ; mais toujours ils sont terminés par des faces planes, parallèles aux faces d'un cube.

Prenons un autre minéral^ le quartz ou cristal de roche, qui est de la silice à l'état cristallisé. Le quartz se présente sous la forme de prismes hexagonaux réguliers terminés par des pyramides hexagonales. Et ici encore, en parlant de prismes hexagonaux réguliers, nous ne voulons pas dire que les faces aient nécessairement la même étendue comme dans un prisme hexa-

6 OBiaULLOQBAFaiX OÉOMÊTBIdCX.

gonal régulier géométrique, mais seulement qu'elles formeDt toujours eatre elles des angles de 120° et qu'elles sont ainsi parallèles aux faces d'nu prisme hexagonal régulier géométrique. Cette propriété, que nous venons d'observer dans le sel gemme et dans le quartz, est une propriété générale des cristaux. Toujours les cristatta: affectent des formes géométriques régulières, définies pour chaque corps par «n certain caractère de symétrie. Cette symétrie cristallographique ne se manifeste pas dans les dimensions des faces planes qui limitent cea polyèdres, mais seulement dans leurs directions.

Ainsi, dans le quartz dont nous parlions tout & l'heure, nous pouvons rencontrer des cristaux d'apparences très différentes, tels par exemple, que la section droite du prisme hexagonal ait une des formes représentées par les ligures 1, 2, 3 et 4. Les faces de ces cristaux ont des dimensions très inégales, mais elles sont toujours parallèles ^'^ ' aux faces d'un prisme hexagonal régu-

lier. Nous pouvons toujoui-s considérer ces prismes comme résultant d'un prisme hexagonal régulier géométrique, dont les

Fig. a.

Kg*.

faces se seraient déplacées d'une quantité arbitraire et variable d'un échantillon & l'autre, eu restant parallèles à leurs directions primitives.

HVinf.TBtir. DES OBIBTAUX. I

Les fermes cristallines sojU donc déterminées seulem&it par les angles que les faces comprennent entre elles et qui se retrouvent tes mêmes sur totts les cristaua; de même naiure ' .

4. Cette pajUcalaricé des formes cristallÎDes s'explique facilement. Un cristal possède, aroiiB-noas dit, une structure différente dans les différentes directions; on comprend dès lors qu'une face paisse se former plus facilement dans une direction que dans une autre; mais le cristal ayant partout même structure, il n'y a pas de raison pour que cette face se forme en un point plutAt qu'en un autre. Tandis que sa direction est fixée par la structure intime du cristal, sa position absolue ne dépend au contraire que des conditions accidentelles dans lesquelles le cristal s'est développé.

Supposons que dans une solution saturée de sel marin, par exemple, nous suspendions un cristal de sel . déjà formé, et admettons, pour fixer les idées, que ce cristal ait la forme d'un cube { géométriqe parfait (fig. 5). Lorsque le liquide s'éraporera, les molécules de chlorure 1 de sodium viendront saccessivement se déposer par couches parallèles sur toutes les I faces du cube qui sont en contact avec la solution; le cristal s'accroîtra donc et, s'accroissant également dans toutes les directions, il gardera sa forme cubique parfaite.

Supposons, d'autre part, que le même cristal soit plongé

' D'mprèi Misx, Getéhidae der Kryatattkitnde, Carlsruhe IB25, la déconterte de la loi de 1» caïuUnce des angles doit être attribuée à Niuulis Sténo, De êolido intra tolidum naiuraliter contenta, Florence 16G'J. Cette loi, bien qae conSnnée par les recherches d'Ëusi» Birtholu, Expérimenta eryntaUi làlandiei, Amiterdam 1670, et de Hdtqeks, Traité de la Lumière, Leyde 1690, sur U ctlcite; de LawnHon, Areana natura détecta, Delft 169&, sur le gjpse, n'était pas comme oa pas admise généralement à la fin du siècle dernier. Elle

8 OBIBTAUiOOEAFHIE GÈOHÈTBIQtSE.

dans ta même solution, mais qu'an lien d'7 ètxe suspendo, il repose simplement au fond du vase (6g. 6). Sa face inférieure . étant protégée contre l'action du liquide par la paroi sur laquelle elle s'appuie, et le dépOt des molécules s'effectaant comme précédemment sur les autres faces, il est clair que le cristal croîtra deux fois plus vite dans le sens horizontal que dans le sens vertical, et I qu'il perdra rapidement la forme d'un cube "'' ** parfait pour prendre celle d'une table car-

rée aplatie. Le rapport des arêtes verticales et horizontales de cette table^ le déplacement parallèle des faces horizontales, variera suivant que le cristal sera resté plus ou moins longtemps dans cettç position.

5. Éléments de symétrie des polyèdres cristallins. — Puisque les formes polyédriques, variables dans les dimensions de leurs faces et de leurs arêtes, qui se rencontrent sur divers cristaux d'une même substance, peuvent toujours être considérées comme résultant du déplacement parallèle des fitces d'an même polyèdre géométrique régulier, nous pourrons faire constamment abstraction de ce déplacement accidentel, et considérer seulement le polyèdre géométrique qui possède, avec une forme complètement déterminée, tous les caractères communs aux polyèdres cristallographiques correspondants. Ainsi, au lieu des divers prismes & six pans figurés pour le quartz an

fut prouvée définitivemeot par les nombreuscB observations de Bout db Lnu. CristaUographû, Paris 1783.

Les angles des cristaux peuvent du reste subir des Tariations rËpiliàres, quoique faibles, par suite des Tariations de température, et aussi dei variatious eccidenlelles réiultant de défauts de structure, dus en partie à l'actkm lie la pesanteur. Voyez en particulier BtuitaiiioirT, C. E. 1847, XXT, 668; F. Pf*fp, Sit!ungsb. Erlangen, 1878, 59; R. BaiirKS, N. JiArb. 1887, 1, 188.

SYUâT&IE DE8 CBIBTADZ. 9

§ 3, nous considérerons simplement le prisme hexagonal régu- )ia de la géométrie qai a les mêmes angles.

Nous poDiTODB ensuite classer ces divers polyèdres en tenant compte de leurs éléments de symétrie, qai sont le centre de symétrie, lésons de stfmétrie et les axes de symétrie'.

6. Centre de symétrie. — Un polyèdre quelconque est dit avoir un centre de symétrie en un point O (fig. 7), si toutes les droites que l'on peut mener par ce point rencontrent la surface du polyèdre à des distances égales de part et d'autre.

n résulte de cette définition qu'un polyèdre centré a toujours ses faces parallèles deux à deux. Soient, en effet, deux droites quelconques ÀA' et BB', passant par le centre 0, et rencontrant les deux mêmes faces G£ et DF. D'après la définition du centre de symétrie, on a OA = OA', OB = OB'. Les deux triangles AOB et Â'OB', ayant un angle égal 0 compris entre deux côtés égaux, sont égaux. L'angle OAB est égal à l'angle OA'B', et, par suite, la droite AB est parallèle à la droite A'B'; il eu serait de même quelles que fussent les lignes AA' et BB', et l'on en conclut que les facw CE et DF sont parallèles.

Si nous passons maintenant aux divers polyèdres cristallographiques qui résultent du polyèdre géométrique considéré par le déplacement arbitraire des diverses faces sans changement de direction, nous voyons que le centre de symétrie proprement

' Bkatais, J. de LiovoiUe, 1849, XIV, 141.

10 OBISTALLOGBAPBIS QÉOUÉTBHIUE.

dit disparaîtra en général; mais les fcices, gardant leur orientation, continueront à être parallèles denx à deax.Kons conviendrons donc de considérer comme ayant un centre de symétrie les cristaux qni sont limités par des couples de faces parallèles deux à deux.

7, Plans de symétrie. — Dans un polyèdre quelconque, un plan MM (fig. 8) est un plan de symétrie, si toute droite AB

perpendiculaire à ce plan rencontre la surface du polyèdre à des distances égales de part et d'autre. On en déduit immédiatement l'égalité des triangles A60, BGrO, et l'on en conclut que tes deux faces âG et BG sont également inclinées à gauche et à droite du plan MM.

Dans les polyèdres cristallographiques, il n'y aura plus en général de plan de symétrie proprement dit, mais les faces seront toujours deux à deux symétriquement inclinées sur la direction du plan de symétrie dn polyèdre géométrique correspondant.

8. Axes de sjrmétrie de divers ordres. — En général, lorsqu'on fait tourner une figure autour d'une droite quelconque, il faut lui faire faire un tour entier pour la ramener & occuper les mêmes points de l'espace. Mais pour certains polyèdres, si l'axe de rotation est convenablement choisi, il peut en être autrement, et la figure peut revenir occuper les mêmes points de l'espace après uue rotation qui n'est qu'un sous-multiple de la circonférence entière.

Fig, 8.

SÏMÉTBIE DS8 CRISTAUX. lî

Ainsi, en faisant toorner le prisme rectangalaire projeté en ABC3D (fig. 9) d'une demi-circonférence antour d'un axe projeté en 0, les côtés AB et CD changent simplement de place, cbaqae élément du polyèdre est remplacé par nn élément semblable. On dit dans ce cas que Taxe de rotation 0 est nn axe de symétrie, et le remplacement s'eËfectuant après une ^'^' ^■

rotation d'ane demi-circonférence on dit que cet axe est de Yordré deux, on plas simplement que c'est un axe binaire.

De même dans le prisme triangulaire équilatéral projeté en ABC (fig. 10), une rotation d'un tiers de circonférence amène chaque angle et chaque arête dans la position qu'occupaient d'abord un angle et une arête identiques, l'axe projeté en 0 est on axe de symétrie de troisième ordre, ou ternaire.

Dana le prisme carré ABCD (fig. 11), dans le prisme hexagonal ABCDEF (fig. 12), le remplacement dt! chaque élément par nn élément identique se produit après une rotation d'un quart ou d'un sixième de tour autour de l'axe projeté ea 0, et cet axe est un axe de symétrie quaternaire ou sénaire.

Dans les polyèdres cristallographiquej, un axe de symétrie binaire, ternaire, quaternaire ou sénaire (ce sont les seuls que l'on ait à considérer) sera simplement la direction d'une ligne droite telle qu'en faisant tourner autour d'elle le cristal d'une

12 CBISTALLOOHAFHIB OÉOUÉTaiCKIB.

moitié, d'nn tiers, â'on qaart, oa d'un mième de circoDférence, on amène les diverses faces dans des positions parallèles h celles 4)ai étaient primitivement occupées par des fitces semblables.

9. Systèmes de symétrie. — La symétrie d'un polyèdre est déterminée par la présence ou l'absence d'an centre de symétrie, par le nombre et la position de ses plans de symétrie, par le nombre, la position et l'ordre de ses axes de symétrie.

L'ensemble des polyèdres qni offrent les mêmes éléments de symétrie, constitue nn Système de symétrie.

Par exempte un prisme droit à base carrée (fig. 13) et une

double pyramide â. base carrée (fiiï. 14) ont la même symétrie et appartiennent au même système.

10. Formes simples et formes composées. — Parmi les polyèdres qui constituent un système de symétrie, on distingue des formes simples et des formes composées.

Les formes simples n'ont que des faces semblables ou de même espèce, dont le nombre et la position sont déterminés par la symétrie même du polyèdre. Ainsi la pyramide carrée (fig. 14) t:3t formée de huit faces identiques entre elles, dont nous ne jHmrrions supprimer aucune sans détruire la symétrie.

SYMÂTHIE DES CRISTAUX. 13

Les formes simples peavent d'ailleurs être fermées ou ouvertes ; c'est-à-dire limiter complètement an certain espace fermé de toas cdtés, c'est le cas de notre donble pyramide ; on ne limiter l'espace qae dans certaines directions, c'est le cas de la fignre formée par les quatre faces latérales du prisme carré (fig. 13) lesquelles ne peuvent constituer à elles seules, quelque extension qn'OD leur donne, qu'un tube ouvert aux deux bouts.

Les formes composées ont des faces de plusieurs espèces, et peuvent toujours être considérées comme résultant de la superposition de deux ou de plusieurs formes simples appartenant au même système. Ainsi notre prisme carré (fig. 13) est une forme composée résultant de la superposition de deux formes simples ouvertes, dont l'une comprend les quatre faces latérales m et dont l'autre se réduit aux deux bases p. La figure 15 représente une forme composée du même système résultant de la snperposition de trois formes simples de même symétrie : 1° les quatre faces m ; 2" les deux bases p ; 3° les huit faces 6' qui, à elles seules et convenablement prolongées, donneraient une double pyramide à base carrée.

11. Symétrie de la structure intérieure des cristaux. — Les diverses faces qui appartien- , nent à une même forme simple étant identi- | ques dans tontes leurs propriétés, on doit en conclure qu'elles correspondent i^ des directions de structure identique dans le cristal.

Lorsqu'il y a un centre de symétrie, avons-nous vu, les faces doivent être parallèles deux à deux; c'est dire que le cristal se ^'e- <^ forme exactement de la même manière sur le plan MM (fîg. 16) qui le limite à droite et sur le plan NN qui le limite à. gauche;

14 CRieTALLOGBAPHŒ gAouÉTBIQUK.

qae le cristal se présente pour ainsi dire an miliea ambiant -exactemeut de la même manière sur ces deax surfaces. Cela suppose qae sa strnctnre soit la mène dans la direction OA et dans la direction OB, on en d'antres termes, pnisqne le cristal est homogène, qn'il soit en tons ses points constitoé de la même manière dans les denx sens opposés d'une même droite.

12. Noos pouvons figurer schématiquement une structure de ce genre, en supposant que le cristal soit formé de files de molécules disposées régulièrement sur des droites parallèles et éqnidistantes (fig. 17). Si ces molécules sont toutes sphériqnes, il sera indifférent de parcourir une de ces files dans un sens on dans l'antre, le plan MM aura exactement la même

stmctnre que le plan NN et ces deux faces parallèles n'auront aucune raison pour ne pas se former en même temps. Chaque molécule est un centre géométrique par rapport à la structure du milieu tout autour d'elle.

Supposons au contraire que les molécules, au lieu d'être sphériques, soient conformées différemment à leurs deux extrémités, qu'elles aient par exemple la forme représentée à la figure 18, tout en gardant les mêmes positions relatives que dans le premier cas. Il est clair que l'on n'est plus dans les mêmes conditions, lorsqu'on parcourt une rangée dans un sens 00 dans l'autre, et que le plan NN sur lequel les molécules pré-

aYMÉTBIS D&8 CRISTAUX. 15

sentent leurs pointée, peut ne pas avoir les mêmes propriétés que le plan MM formé par lears bases; ces deux plans pourront agir différemment sur le milien dans leqael le cristal se forme, et ne prendront plus dn toat nécessairement naissance CD même temps.

13. Le même mode de représentation schématique nous permet de nous rendre compte de ce que signifient, pour la structure intérieure du cristal, les notions de plans et d'axes de symétrie.

Noos pouvons supposer (fig. 19) les molécules rangées de telle sorte que leurs distances réciproques soient les mêmes sur

Bom

deni files quelconques telles que OA et OA', ou telles que OB et OB', également inclinées en sens inverse sur une même direction MM. La direction OA a alors la même structure que la direction OA', la direction OB la même structure que la direction OB'; si nne face se forme suivant OA ou OB, il s'en formera en même temps nne antre suivant OA' ou OB', la direction MM sera un plan de symétrie aussi bien de la forme extérieure que de la structure intérieure du cristal.

Dans la structure représentée par la figure 20, où les distances des molécules sont les mêmes sur les deux droites rec- Ungalaires AA' et BB' une rotation de 90° autour d'une droite

16 CRISTALLOGRAPHIE oiOKÉTRlQUE.

perpendiculaire au plan de la figure et passant par une molécule quelconque 0, amène OA sur OB, OB sur OA', OA' sur OB', OB' sur OA. Chaque direction est remplacée par une direction identique, chaque face du cristal par conséquent est remplacée par une face de même espèce. L'axe de rotation est un axe de symétrie quaternaire de la forme extérieure comme de la structure intérieure.

14. Loi de symétrie. — Nous devons donc considérer la symétrie d'un cristal comme appartenant aussi bien à sa structure intérieure qu'à ses formes extérieures. Celles-ci ne sont qu'une manifestation, une conséquence de la symétrie intérieure ; il en résulte que sur un même cristal, ou sur les divers cristaux d'une même substance^ U ne peut jamms se rencontrer que des formes simples ou composées appartenant à tm même système de symétrie.

15. Pour obtenir ces différentes formes, il est commode de choisir, dans chacun des systèmes de symétrie que l'on a à considérer, un polyèdre particulier que l'on prend comme type, comme forme primitive du système, puis d'en déduire les autres formes par des troncatures^ obtenues en coupant par des plans convenables les angles et les arêtes de cette forme primitive.

Pour que la symétrie ne soit pas altérée, il faudra faire ces troncatures de manière que tous les éléments semblables, faces, angles, arêtes de la forme primitive soient modifiés en même temps et de la même manière ' , tandis que les éléments d'es-

^ A. 6. Weriter^ Von den aûsaerliehen Kennzeichen der FosatUen, Leipzig 1774, paraît avoir employé le premier les troncatures et pointements pour faire dériver d'une même forme primitive les diverses formes qu'affectent les cristaux d'une même substance.

La loi de symétrie qui détermine le nombre et la position de ces troncatures,

8TMÉTBIE DES CBI8TÀUX. 17

pèces (Mérentes seront modifiés indépendamment les uns des autres.

16. Systèmes cristallographiques. — Les systèmes de symétrie qui ont été observés dans les cristaux, ou qui paraissent possibles sont assez nombreux. On en distingue trentedettx. Toutefois, pour éviter la confusion résultant de ce que beaucoup de formes simples sont compatibles à la fois avec plusieurs systèmes, il est utile de rattacher d'abord les polyèdres cristallographiques à six systèmes principaux, auxquels s'applique spécialement le nom de Systèmes cristallographiques ' . Les formes qui appartiennent réellement à ces six systèmes, et se déduisent de leurs formes primitives par l'application complète et rigoureuse de la loi énoncée à la fin du paragraphe précé-

a été exprimée d'une manière nette et complète par Haut, Traité de mmèraîogie, Paris 1801, 1, 113; et Mém. du Muséum, 1816, I.

La déduction des formes cristallines peut être faite aussi par la méthode des axes eristallographiques due à C. S. Weiss, Dynamische Ansicht der KrystaJUtaiion dans la traduction allemande de la Minéralogie de Haûy, Leipzig 1804 ; et Diss. de indagando farmarum crystaJIitiarum charaetere geotnetrico principaUj Leipzig 1809.

^ La notion des systèmes cristallographiques, ou de la réduction des formes cristallines à un petit nombre d'entre eUes dont chacune donne naissance à une série de polyèdres présentant entre eux des relations géométriques déterminées, a été déreloppée successivement par Bkrnhardi, J. de Gehlen, 1808, Y, 151, 492, 625; — G. S. Wnss, Abh. Akad, Berlin^ 1814-15, 290; — J. £. L. HAvsiuini, Untersuàhungen iiber die Formen der leblosen Natur, Gœttingen 1821 ; — F. MoHS, Die Cha/roktere der Klassen, Ordnungen^ Geschlechter und ArieHy oder die Charakteristik des naturhistorischen MinercU-Sy stems ^ Dresde 1820; et Orundriss der Minéralogie, Dresde 1822; — Haut, Traité de cristoUographie, Paris 1822; et Traité de minéraiogie, 2"« éd. Paris 1822; — Naumakn, LéhHmch der reinen tmd angetoandten KrystaHographie^ Leiprig 1829; — Beu- DAXT, Traité &émenkMre de minéraiogiej Paris 1830.

Beaucoup d'auteurs ont admis et admettent encore la séparation du système hexagonal en un système hexagonal proprement dit et un système rhomboédrique. Cette distinction, justifiée à certains égards, n'est cependant pas conforme aux principes de classification que nous adoptons ici.

18 CRISTALLOQRÂPHIE GÉOMÉTRIQUE.

dent sont appelées formes holoédriques. On trouve ensuite qae les formes des systèmes d'abord laissés de côté peuvent être considérées comme résultant de la suppression convenablement effectuée d'une partie, en général de la moitié, des faces des formes holoédriques. Ces nouvelles formes sont appelées formes méroédriqties.

Les six systèmes principaux sont les suivants :

V Le système du cube, ou système cubique.

2® Le système du prisme droit à base carrée ou système quadratique.

3® Le système du prisme hexagonal ou système hexagonal.

A^ Le système du prisme rhomboîdal droit ou système rhombique.

5^ Le système du prisme rhombcadal oblique ou système dir norhombique.

6^ Le système du prisme doublement obUqu>e ou système trir diniqus.

FOBKEa BOLOÉDRIQUES.