CHAPITRE U

DES FORMES HOLOËDRIQUES

8TSTÈME cubique'

17. Symétrie du système cubique. — Le système da eabe est celai qui possède le pins d'éléments de symétrie. Sa forme primitive, le cube, présente (fig. 21) :

Six faces p de même espèiie ;

Dooze arêtes h de même espèce se coupant à angles droits ;

Huit angles solides a de même espèce.

Ses éléments de symétrie, qui sont en même temps ceoz da

système cristallc^aphique dont il est le type, sont les suivants : Ud centre de symétrie C ;

* Begnlftro, gleicligli«dngea, splueroedrischea Syatem Wiisb. laometriBchei

20 CKt8TAI,I.UGRAPHIB OÉOuéTHIQUE.

Trois axes de symétrie quaternaires L, de même espèce, joignant les milieux des faces opposées (fig. 22) ;

Fig. 23. Flg. 24.

Quatre axes de symétrie ternaires L', de même espèce joignant les sommets opposés (fig. 23) ;

Six axes de symétrie binaires L', de même espèce, joignant les milieux des arêtes opposées (fig. 24) ;

Trois plans de symétrie P de même espèce (plans de symétrie principaux) parallèles aux faces du cube (fig. 25) ;

Six plans de symétrie P de même espèce, joignant les arêtes opposées, tels que celui qui est représenté à, la figure 26.

s. HiDSKiNN. Tessularisches S. Mohs. Tesserales 8. Nidmann. S. cubique, Lin. Si tétraédrique, octaédrique Bitn>iHt. S. terquatemaire Bratus.

Parmi les corpB qui cristalliBent dans ce ayatème noua citerous le «non, l'or, Vargent, le fer, la galène PbS, VargyrMe Ag^, la fluorine Calt, la magné-

} BOLOiDKIQDEB. 21

L'ensemble de ces éléments de symétrie peut donc être représenté par la formale :

C, 3L., 4L'., ÔL",, 3P, 6F.

Noos remarquerons encoreque le cabe est an polyèdre unique de son espèce, et que la forme primitive du système est par suite complètement déterminée.

18. Formes simples hoioédriques du système cubique. — Soient b„b„ b, (fig. 27) les trois arêtes du cube qui aboutissent à un même angle solide.

Une troncature placée sur cet angle est déterminée par les distances aA, aB, aC auxquelles elle coupe ces trois arêtes. La loi de symétrie (§ 15) exige que ces trois arêtes qui sont de même espèce soient traitées de la même manière, «t que toutes les troncatures faites

sur nn angle do cube se répètent identiquement sur les sept antres angles.

Les troncatures po^ibles seront donc les suivantes :

a) Une troncature coupant les trois arêtes à des distances ^ales (fig. 28). Sa répétition sur tons les angles a donne buit

22 CHISTALLOOBAFHIB GÉOUÉTBIQUE.

faces dont l'eDscmble constitue une forme simple du systèmecobîqoe. Pour obtenir cette forme simple qui est Voctaèdre réguUer, il sufht de déplacer ces troncatures parallèlement à ellesmêmes vers le centre du cube jusqu'à ce que les faces de celui-ci aient disparu (%. 29 et 30).

h) Une troncature coupant les arêtes ft, et h, à des distances égales, et b, à une distance différente et plus petite (fig. 31). Pour que la symétrie soit respectée, il faut faire deux nouvelles troncatures placées sur les arêtes 6, et A, comme la première est placée sur l'arête b, (tig. 32). L'ensemble de ces trois troncatures forme un poin- ^'*" ^^' ' ieinent à trois faces qui doit ensuite

se répéter sur ch;icun des angles a (fi^. 33). La forme simple qui en ri'SiiJte, et qui s'appelle le trnpézohJi-e, est donc formée de vinut-ijuatre faces (fig. 34). On remarquera que

Fig. 32.

tandis qu'il n'y a qu'un seul octaèdre régulier, il existe aucontraire une infinité de trapézoèdres qui diffèrent les nnsdes autres par le rapport des deux distances auxquelles les.

arêtes du cabe sont coupées par la troncature primitiTe. Nous aoroDs à voir plus loin (Chap. III) quels sont ceux de ces

Fig. 33. Fig. ai.

trapézoèdres qui se rencontrent réelleineat sur les cristaux. c) Une troncature coupant les arêtes h, et 6, à des distances

égales, et h^ h une distance différentt' et plus i^ranile (tig. 35); il en résulte, comme dans le cas du tiapfzoèdre, la l'ormatitti

de deux troncatures placées sur/», et /), connue la première est placée sur b, (fig. 36); chaque angle du cube se trouve

OBISTAIXOGBlPmB QÊOldrrBIQtlB.

r DD pointemeot à trois faces (fig. 37), dont le mt donne tme noavelle forme simple à Tingt-qnatre )dre pyramide ou trioctaèdre (fig. 38). Noos pouurs concevoir nne infinité d'octaèdres pyramides

Fig. 39.

Fig. 40.

. suirant l'inclinaison de la troncature primitive, roncatnre conpant les trois arêtes b„b,,b,h des égales «,, «„ a, (fig. 39). Pour que 6, et h, soient la même manière, il faudra faire une deuxième oupant 6, à la même distance a,, h, à la distance

distance «, ; il en résulte un Inseau (fig. 40) placé ,. Ce biseau devra se répéter sur les aréles 6, et linsi un pointement à. six faces qui se répétera à son cun des huit angles o(fig.41). La forme simple qui

70KHBS H0L0ÉDRIQUE8. 2&

en résnlte est un solide h quarante-huit faces, Vhexfâàsodaèdre (iig. 42), qui est la forme la pins générale da système cabiqne,

Fig. 48. Fig. **■

et qni peut naturellement varier à l'infini avec les rapports des distances «,, a,, «,■

e) Une troncature parallèle à une arête 6, et conpant les deux antres à des distances égales (fig. 43). Elle devra se répéter sur chacune des douze arêtes dn cube (fig. 44), et conduira à an polyèdre à douze faces, le dodécaèdre rhombcndal (fig. 45). n ne peut y avoir natarellementqa'un seul dodécaèdre rhomboïdal. ^'s- '^■

f) Une troncature parallèle à l'arête 6, et coupant les deux autres arêtes è des distances inégales (fig. 46). Nous devrons,

Fig. 46. Fig. 47.

pour rétablir la symétrie, ajouter une deuxième troncature également parallèle à („ mais inclinée eo sens inverse; l'arête l.

26 CBISTALLOaSAPHlIi: nËOUKrRiai''S-

lîst ainsi remplacée par an hisean (fig. 47) qui, se répétant sur les autres arêtes (fis. 48), conduit à un solide à. vingt-quatre faces, le cuhcpyramidé ou fetrakishcxaè<ir>' (fi;,'. 49^.

Il est îi, remarquer que toutes les formes simples que nous, venons d'éiiumérer peuvent être considérées comme des cas par-

BraS

Fig. iP.

Fig. 19.

ticnliers du solide à quarante-huit faces Celui-ci est le résultat d'une troïK-atiire qui coupe les arêtes à des distances «, (3, y; si l'une de ces trois distances augmente progressivement jusqu'à devenir infinie, l'IiexaUlsoctaèdre se transforme graduellement et finit par se cimfondre avec un cube pyramide; si, eu mêtne

temps, les deux autres distances se rapproclient Tune de l'autre jusqu'à devenir égales, le polyftdre passe pr.igressivement à la forme du dodécaèdre rliomboïdal; si l'une des trois distances devient très petite et s'annule, le solide à quarante-huit facesse confond avec le culie. Si les trois distances tendent ver» l'égalité, le solide à quarante- huit faces tend vers l'octaèdre

F0IU1E3 HOLOEDEUqUES. 21

régulier, etc. C'est là ce <]u'on exprime en disant que l'hexakisoctaèdre est la forme la pins générale du système cubique.