AB'C

(ffi)

(JH)

■ exemple.

, correspond à

Une face parallèle à. l'axe des X, par exemple, one longueur numérique j) = =•«> ou à un indice A = 0, et sera notée (0^); nne face parallèle à la fois aux axes des X et des Y aara%=i: = Oet seranotée (OO^)ou, ce qui revient au même, tOOl). .

Une forme simple est désignée par le symbole, mis entre deox

petites accolades, de rnne des faces qui la constituent. Ainsi r ensemble des faces qui accompagnent une face (hJcl) en vertu de la loi de symétrie est noté { JM ]. Rien n'empêche, d'ailleurs, lorsque les symboles ci-dessus compliqueraient trop les figures ou le langage, de désigner une face par une lettre quelconque que l'on choisira à volonté dans chaque cas particulier \

Ce système de notation serait parfait sans l'emploi des caractéristiques inverses à la place des longueurs numériques ellesmêmes. On comprendrait très bien qu'une face qui coupe les axes H des distances égales respectivement à deux, trois et quatre fois les paramètres fût notée (234); la notation adoptée (44 t) ou (643) est bien moins naturelle, représente bien moins nettement la position de la face, et cet inconvénient n'est qu'à demi compensé par les quelques simplifications qui en résultent pour le calcul. Mais le grand avantage du système de Miller c'est que, depuis quelques années, il se répand de plus en plus parmi les cristallographes ; et, dans l'intérêt d'une unité de langage qui est loin d'exister encore, nous pensons que l'on doit passer par-dessus les petits inconvénients d'une convention qui, après tout, est assez simple.

35. Détermination des cristaux'. — La comparaison des divers angles mesurés au goniomètre (Chap. VII) permettra

* Les formes hémiédriques dont nous nous occuperons plus loin sont notées jr I ^2 j pour l'hémiédrie à faces parallèles; m | MbJ ( pour Phémiédrie à faces

inclinées ; et ^ j hkl \ pour Phémiédrie holoaxe.

* Nous nous bornons ici à quelques indications générales, renvoyant pour tout ce qui concerne les calculs, projections, dessins, etc., aux traités spéciaux

de Cristallographie géométrique. Parmi les plus récents nous citerons £. Mâl- LARD, Traité de Cristallographie^ Paris, 1879 ; — A. Brezina, Methodik der Krystal Ibestimmung, Vienne, 1884; — T. Liebisch, Qeometrische Krystànographie, Leipzig, 1881; — F. Henrich, Lehrhuch dtr Krystaïïberechnung^ Stuttgart, 1886; — G. Wtrouboff, Manuel pratique de Cristallographie^ Paris, 1889.

LOI DR UÉRTVATIOH. 51

4e fixer la s}Tnétrie dn cristal et de trouver le système cristallographique aaqael il appartient.

Par exemple (fig. 119), si I'od tronve l'égalité des angles 2"6 = 5*1 = ifs = is'i, pois 210=19 = 3^7=4 8, on en conclut qa'il existe nn plan de symétrie passant par les arêtes verticales antérieure et postérieure du prisme; celui-ci a donc au moins la symétrie dn prisme rhomboïdal oblique. Si ces hnit angles sont tous égaux , il y a encore an plan de symétrie passant par les arêtes latérales et an autre plan de symétrie qui est horizontal. On a affaire alors à un prisme rhomboïdal droit. ^'^' "^'

Si l'on a déplus 5'6 = 6'7=78 =1^5 = 9"iO = io'ii, etc., puis 12 = 2'3=34 = fl = 90°, le cristal appartient an prisme droit à base carrée, et ainsi de soite.

36. En général, il sera commode, pour simplifier les figures et les calcols, de supposer le cristal placé au centre d'une sphère l'enveloppant complètement (fîg.

120), et de représenter une face par le point P où sa normale vient couper la sphère'. L'angle des normales à deux faces P et P' est alors égal è. l'arc de grand

' L'emploi dea projections des faces snr la sphère est dû à NiniiAinr, BeilrSge r KtyrtaUotiomie, Berlin 1823, ainsi que la déleininatioD des angles par les

cercle PF, et toutes les questions se résolvent par les formules de la trigonométrie sphérique.

37. Supposons que nous ayons choisi trois arêtes comme axes de coordonnées. Si nous connaissons les angles «, /J» y que ces arêtes comprennent entre elles , et les paramètres a, &, c qui leur correspondent, la position d'une face d'indices donnés (A, X^, l) sera complètement déterminée ; il en sera de même de l'angle que cette face forme avec une autre face d'indices {fiVX). On pourra donc dire que l'angle des faces QM)^ {h'Tdl) est fonction des quantités a, /^, y, a, 6, c, hy k^ l, h\ k, l\ et l'on pourra supposer établie une équation

{JiM) {h'kl') = (p(a, ô, c, a, j3, 7, h, fc, l, h\ k, t).

En attribuant arbitrairement à deux faces des indices quelconques compatibles avec leurs positions par rapport aux axes choisis (§ 34), le premier membre sera donné expérimentalement par la mesure de leur angle, et il restera une équation entre a, 6, c, ou simplement a/6, c/b (§ 33), a, ^, y, et des quantités connues. Il suffira donc théoriquement d'établir cinq équations analogues reposant sur cinq mesures d'angles distinctes, pour pouvoir tirer les cinq quantités «, |3, y, a/6, c/b qui déterminent le cristal.

38. Par exemple, il arrivera fréquemment que l'on prenne pour axes de coordonnées les arêtes d'intersections de trois faces qui existent en réalité sur le cristal. Par suite de ce choix, chacune de ces faces sera parallèle à deux des axes, et on devra leur attribuer les symboles (001), (010), (100) (§ 34). Des angles

normales. Pogg. Ann. 1825, IV, 63. Voir aussi Bernhardi, J. de Gehien, 1809^ VIII, i2), 378. Rome de Lisle et beaucoup d'auteurs après lui se sont servis de l'angle intérieur des faces. L'usage des normales plus commode et plus rationnel est très généralement adopté maintenant.

LOI DE DÉEIVATIOII. 53

mntaels de ces trois Ëices on poarra déduire les angles matnels de leurs iotersectiouB, c'est-à-dire les quantités «, |3, y.

Pour achever la déterminatioD, il faudra attribuer un sym* bole quelconque Qù£) à une quatrième face; les rapports a%: b 'h et c!l : h 'k des distances auxquelles cette face coupe les axes se déduiront aisément des angles qu'elle forme avec les faces choisies en premier lieu; on en tirera les rapports a/b, cb des paramètres.

En général, les équations signalées théoriquement au § 37 sont trop compliquées pour se prêter à la résolution par rapport à a, |3, y, a 'fc, c'b ; mais leor existence suffit pour montrer la possibilité da problème. Habituellement, on doit suivre une voie détournée, comme dans l'exemple ci-dessus, où nous remplaçons en détini- "*' "'

tire trois des équations par la résolution d'an triangle sphérique. On peut en général suivre la marcbe suivante pour la détermination des parauiiares. Soient OX, OY, OZ (fig. 121) lus axes, OP la normale à la face (}iU\ qui coupe les axes à des distances a'h, b'k, c'I; on a, en projetant ces distances sur OP, les relations

OP = ~ cos POX = j ces POY = j c<>< l'OZ

On déduira les angles POX, POV, POZ des angles directement mesurés, pir la résolution dune si^ric de triaufilcs sphériques convenablement choisis, et, p irtant lour valeur dans les relations ci-dessus, on aura

a k cosPOY LJL— ^^i^Y

y 1 ~ ces POX J l ~ ces POZ"

qui permettront de calculer a/b et c/6, puisque h, k, l ont été arbitrairement choisis.

39. Les constantes du cristal ou, comme l'on dit souvent, sa forme primitive, sont maintenant déterminées. Pour fixer les symboles des diverses faces, on aura ensuite à établir des équations analogues, où a, h, c, a, |3, y seront connus cette fois, et où le premier membre sera Fangle mesuré entre la face d'indices inconnus (h! kf l) et une des faces auxquelles on a déjà attribué des indices QM), Deux équations de ce genre pour chaque face permettront de fixer les valeurs defe' A;', l'/k!^ ce qui suffit (§ 33). La remarque faite à la fin du paragraphe précédent est d'ailleurs encore à sa place ici.

3«c 40. Choix des axes et nombre des inconnues dans les divers systèmes cristallographiques \ — Dans le prisme bioblique, on prend comme axes de coordonnées trois arêtes quelconques non comprises dans un même plan, en général les intersections de trois faces particulièrement développées ou remarquables par leurs propriétés physiques. On place le cristal de façon que l'une de ces arêtes prise pour axe des Z (paramètre c) soit verticale ; sa partie positive est dirigée de bas en haut (fig. 121). Des deux autres arêtes, on prend celle qui a le plus petit paramètre a pour axe des X, et comme direction positive, que Ton dirige en avant, celle qui fait un angle obtus avec OZ. L'axe des Y positif (paramètre h) est pris de gauche à droite. L'angle ZY positif a une valeur quelconque a, l'angle ZX une valeur ;3, et l'angle XY une valeur y.

^ En gonéral le choix des axes doit être tel que les indices des diyerses tares d'iuio même forme simple ne diffèrent que par leurs signes et par l'ordre dans lequel ils sont placés.

Les quantités qui déterminent la forme primitive du cristal sont donc tes trois angles «, ^, ^, et les rapports a'b, c'h de denx paramètres au troisième, soit en tout ànq quantités. Il faudra donc cinq équations et cinq mesures d'angles au moins.

«41. Dans le prisme rhomboïdal oblique, il existe un axe de symétrie binaire, normal & un plan de symétrie. On place le cristal de manière que le plan de symétrie soit vertical et dirigé d'avant en arrière (fig. 122). La portion de l'axe binaire qui est dirigée vers la droite est prise comme axe des Y positif. On choisit ensuite pour axes des X et des Z deux arêtes possibles parallèles an plan de symétrie, habituellement les intersections de deux groupes de faces importantes. L'axe des Z est pris vertical, de bas en hant, l'axe des X positif est incliné d'arrière en ^'s- 1^^-

avant, formant un angle obtus /3 avec l'axe des Z.

On a donc ZY = « = 90°; XY =1: ^ — 90°; il ne reste à déterminer que trois constantes, l'angle (3 et les rapports a/b, c'b. Il faut au moins trois équations et trois mesures d'angles.

* 42. Dans le prisme rhomboïdal droit, il y a trois axes de symétrie binaires rectangulaires entre eux. On piend l'une de ces lignes comme axe des Z, et des deux autres celle qui a te plus petit paramètre comme axe des X. Cela revient â placer le cristal (fig. 123) de telle sorte que le prisme que Ton regarde comme le plus important ait ses angles obtus en avant et en arrière.

Les trois angles « - (3 = •/ = 90° sont ainsi fixés par la symétrie même du cristal, il ne reste à déterminer que les rapports a/b, c'b, c'est-à-dire deux quantités seulement.

56 CBlBTALLOaBAPniE âioMÉnuaDK.

* 43. Dans le prisme droit à base carrée, l*axe principal qtiateniaire est pris comme axe des Z, et l'un des deux systèmes d'axes binaires, pris comme axes de première espèce, forme les axes des X et des Y (fig. 124). Les trois angles valent 90° ; de plas, les axes des X et des Y étant de même espèce, on pent toujours prendre leurs paramètres égaux a = 6. Il n'y anra

Fig. 123. ?ig. 124. Fîg, 13S.

d'inconnu que le rapport c'a du paramètre vertical au paramètre horizont&l. Une seule mesure d'angle suffira.

* 44. Dans le système hexagonal, l'axe des Z est l'axe sénaire principal, les axes des X et des Y deux des axes binaires considérés eoinint' de première espèce (fig. 125). On a donc ZY = « = 90^ ZX = |3 = 90° ; XY = 7 = 120^ De plus a =h, il ne reste à déterminer que le rapport c «, comme dans le système quadratique.

Souvent pour donner aux formules plus de symétrie, pour que les diverses laces d'une même forme simple soient représentées par les perniufations des méme^i indices, on se sert du troisième axe binaire OU comme d'un axe de coordonnées auxiliaire, et on représente eliaque face par un symbole à quatre caractéristiques (likétli; mais un n'en a naturellement pas besoin pour le calcul'.

ô inlroihiites par C.-S.Weiss; Ahh. Al-o-l. liai

LOI DE DÉBITATIOX. 57

Qaelqoefois, dans les cristaox rhomboédriqaes * (voyez pins loin Chapitre V), on prend comme axes de coordonnées les trois arêtes culminantes d'an rhomboèdre, les parties positives étant dirigées vers le haat (iig. 126). Ces trois arêtes sont de même espèce, leurs paramètres sont égaux et peuveat être pris = 1. Il n'y a encore qu'une senle constante à déterminer, l'angle que ces arêtes comprennent entre elles, et qui est le même pour toutes trois.

* 45. Dans le sys- ^'t "«■

tème cubique, on prend comme axes les trois axes quaternaires; on a donc « = p = y = 90°, eta = ï» = c=l;ia forme primitive est toute déterminée par la symétrie même dn cristal.

* 46. Notation de Weiss '. — On prend comme indices des faces les longueurs numériques^, g, r (§ 33) elles-mêmes, et non leurs inverses. Les paramètres relatifs aux axes des X, Y et Z étant toujours respectivement a, b et c, une face est notée

pa : qb : rc

On peut laisser les trois longueurs numériijues sous forme

' G. LkMi, Jixamen deê diffirentes méthoàts pour résoudre les problèmes de gtomèfrit, Paris 1816, 97.

' C.-.S. Weiss, Ahh, Akad. Berlin, 1816-17, 305. Voyez Ramhblsbbrg, Phytikaliicht Chemie, Leipzig 1881.

entière, ou bien aussi les diviser toutes par l'une d'entre elles, le symbole devient alors

a:~&:— c ou ^a :b : —Cy ou — a: — 6:c p p q q r r

Le même symbole sert à désigner la forme simple correspondante ; et s'il est utile de distinguer une face qui coupe un axe du côté négatif, on accentue le paramètre relatif à cet axe. Ainsi une face \hM\Ae Miller est notée

et une face J KU \ est notée

al : —0 : — c k l

Les axes de coordonnées sont généralement ceux que nous avons définis aux paragraphes précédents, sauf que, pour le système hexagonal, nos axesOX et OU (fig. 125) sont appelés respectivement OU et — OX ; le symbole d'une face, en appelant s la longueur numérique relative à l'axe OU, s'écrit

saipa : qa : rc

^47. Notation de Naumann^ — Dans le système cubique, une forme quelconque est représentée par le symbole mOn, m et n étant les rapports des deux plus grandes longueurs numériques à la plus petite, et m étant le plus grand de ces rapports. On n'écrit jamais un rapport égal à l'unité; on a donc pour l'octaèdre jlH}, oii p = q = r, et m = n = 1, la notation 0; pour le cube |100j, où ^ = 1, g = r = oo^ et m = oo^ n = c>Oy h notation ^oOc»; pour le dodécaèdre rhomboïdal (llOj, où^ = g = 1, r = oo, et w = », n = 1,

^ C.-F. Nâumann, Qrundriss der Krystalîographie, Leipzig 1826.

la notation ^oO; pour le trapèzoèdre \hkk] avec h> k : ^0^; pour Toctaèdre pyramide \hhk\ avec h > k : î-0.

Dans les autres systèmes cristallographiques, la lettre 0 est remplacée par la lettre P ; on divise les trois longueurs numériques par la plus petite de celles qui se rapportent aux axes horizontaux, on met à gauche de P le rapport relatif à Taxe des Z vertical, et à droite l'autre rapport qui est plus grand que 1. Ainsi une forme |^ j j\ est notée jPf ^si q > p, etiPfsip>g.

Dans le prisme droit à base carrée, les deux axes des X et des Y étant de même espèce, cette notation est suffisante. Dans le prisme rhomboïdal droit, les deux faces notées de la même manière appartiennent à des formes simples différentes. On met alors P ou P au lieu de P, suivant que le rapport qui est à droite est relatif à l'axe des X ou à l'axe des Y. Ainsi la forme {} i -^1 est notée ;Pf si 3 > ;?, et f P^ si g < p.

Dans le prisme rhomboïdal oblique, on opère de même, sauf que le symbole P est remplacé par P pour l'axe des Y horizontal, et le symbole P par P pour l'axe des X incliné. Pour distinguer les formes qui, coupant l'axe des Z dans sa partie positive, rencontrent l'axe des X du côté antérieur, de celles qui le rencontrent du côté postérieur, on met le signe + devant le symbole de ces dernières, et le signe — devant le symbole des premières.

Ainsi la forme 1 123 1 est notée — 4 ** 2,

-ÎP2,

Dans le prisme bioblique, la notation s'établit comme dans le

60 CRISTALLOGRAPHIE GiOMÊTBIQUE.

prisme rhômboldal droit, mais les quatre formes qui coupent Taxe des X dans sa partie antérieure étant alors notées de la même manière, on ajoute, pour les distinguer, un accent à gauche ou à droite, en haut ou en bas de la lettre P.

Ainsi la forme ) 123 1 est notée j P' 2,

I213i • fP'2,

et ainsi de suite.

Dans le système hexagonal, on prend comme axes de coordonnées Taxe sénaire vertical et trois axes binaires horizontaux de même espèce. On divise les quatre longueurs numériques par la plus petite de celles qui se rapportent aux axes horizontaux, on écrit, à gauche de P, la fraction relative à l'axe vertical, et à droite le plus petit des deux autres rapports ' .

♦ 48. Notation de Lévy\ — On définit une forme simple en donnant la position de Tune de ses faces^ non plus par rapport à des axes de coordonnées menés par le centre du cristal, mais par rapport aux arêtes mêmes de la forme primitive.

Dans ce but, chaque arête et chaque angle de la forme primitive est désignée par une lettre déterminée * ; ces notations

* Pour rhémiédric rhomboédriqiie, on remplace la lettre P par la lettre R, v.t on distingue les formes directes et inverses par les signes -{-et — placés dovant leurs symboles.

- A. Lévy, Description d'une collection de minéraux formée par M. Heulund Londres 1837. Voir pour plus de détails Des Cloizeai'x, Traité de minéralogie^ Paris lSr.2, I, p. VII, et Mallakd, Traité de crisiallographiej Paris 1879, 1.

* Ce modo de dé-ignation avait déjà été employé par Hauy, J. des Mines, 171)0, IV, 15; et Traité de Minéralogie, Paris 1801, I, lu9 et 115.

LOI JXa DÉRIVATION. 61

sont celles que nous avons employées au Chapitre n. Les quatre angles différents da prisme bioblique de la fig. 115 sont désignés par les voyelles a, e, t, o ; les six ai'ètes différentes par les consonnes b, c, d, fy Çy h; le nombre des lettres nécessaires se réduit à mesure que la symétrie augmente, ainsi que l'indiquent les fig, 107,96,81, 59,21.

Une face qui coupe trois arêtes (2, /*, h aboutissant à un même angle à des distances proportionnelles hp^q^r fois les paramètres de ces arêtes est notée

Ce système est complété par des notations abrégées pour les faces les plus fréquentes.

Une face parallèle à une arête, notée par exemple rf^ f^ h^y est représentée simplement par d^'*", q/r étant le rapport de la longueur numérique horizontale à la longueur verticale.

Lorsque, comme dans le système cubique ou dans le système rhomboédrique, les trois arêtes aboutissant à un même angle sont de même espèce, on prend pour q/r le rapport de la plus grande longueur numérique à la plus petite. Ainsi, le dodécaèdre rhomboldal {llOt est noté h\ \m cube pyramide )210( est noté h\

Une face qui donne sur deux arêtes horizontales des longueurs numériques égales, telle que d^ f^ fe**, est désignée simplement par la lettre qui représente l'angle solide, avec un exposant égal au rapport de la longueur horizontale à la longueur verticale, c'est-à-dire par o^^\ Ainsi, dans le système cubique, on représente l'octaèdre j 1 1 1 } par a' , le trapézoèdre ) 21 1 { par a\ l'octaèdre pyramide ) 221 } par a*^*.

m^ 49. Tableau des formes simples des six systèmes cristallographiques et de leurs notations'.