IX. Les expressions des volumes

du prisme (n<» 2G0) ,

(le la pyramide ( n° 262) ,

du prisme triangulaire tronqué (n" 2015) ,

du cône (n" 27S),

du cylindre (n" 283),

et de la spliùrc (n"' 504-500),

AU TRAITÉ D AHlTHMmQUE. LXI

étant toutes composées du produit d'une aire par une hauteur, dépendent nécessairement d'un produit de trois facteurs, puisque l'aire en contient deux 5- et ce produit revient^ l'expression d'un parallélépipède rectangle (2S7) équivalent au corps proposé. C'est dans ce sens qu'on dit qu'un volume quelconque est le produit de 3 dimensions. Leur multiplication se fait à l'ordinaire, quand elles sont exprimées en mesures décimales; et le résultat est composé d'un nombre entier et de parties décimales d'un cube ayant pour côté Tuni^ linéaire.

Je prends pour exemple un parallélépipède rectangle , dont les dimensions sont 49", 54, i5"',27 et 8"',5. Le produit 6430,0443 de ces nombres fait voir que le parallélépipède proposé contient 643o cubes de i mètre de côté, et 443 dix-millièmes de ce cube.

Les décimales énoncées ci-dessus ne sont rapportées cpi'à l'unité principale, qui est le cube d'un mètre de côté , et qu'on nomme aussi mètre cube : si l'on veut les décomposer en parties qui soient les cubes des parties décimales de l'unité linéaire , il faut remarquer que

Le mètre cube contient 10 X 10 X 10, ou 1000 décim, cubes; Le décimètre cube loX 10X10, ou 1 000 centim . cubes ,

et ainsi des autres; que, par conséquent , ce sont les millièmes et les millionièmes du mètre cube qui expriment les décimètres cubes et les centimètres cubes, et, eu général , les décimales prises de 3 en 3 , qui répondent à des mesurés cubiques.

Le résultat 643o,o443 ne renfermant pas un nombre de chiffres décimaux qui soit multiple de 3 , il faut y suppléer par des zéros, et l'écrire ainsi :

De cette manière , on Ténonce en disant :

6430 mètres cubes, 44 décimètres cubes et 3oo centim. cubes.

LXn SUPPLKMKKT

Il est inutile d'entrer dans de plus grands détails sur ce sujet; car il sera beaucoup plus commode de s'en tenir â la première énonciation , pourvu qu'on ait soin de ne pas confondre le lo'', le loo*", etc., du mètre cubc^avecle décimètre, le centimètre, etc., cubes. Les premiers se rapportent à des parallélépipèdes rectangles ayant tom pour base le mètre carré, et pour hauteur i décimètre, I centimètre, etc.

Quand, avec les anciennes mesures, on ne voulait opérer que sur des nombres entiers, on convertissait chacun des facteurs du volume cherché dans les subdivisions de la plus petite espèce qu'il y eût dans les trois; le produit se trouvait exprimé en cubes ayant cette subdivision pour côté, en lignes cubes par exemple, si les facteurs étaient convertis en lignes. Onparvedaît ensuite à des mesures plus grandes , en observant que

Le pouce cube vaut 12 X 12 X 12, ou 1728 lignes cubes;

Le pied cube 1 728 pouces cubes;

La toise cube 6 X 6 X 6, ou 216 pieds cqbes^

et en divisant, tant que cela était possible, par ces nombres.

Le plus ordinairement on laissait les facteurs sous leur forme de nombres complexes. En multipliant denx des facteurs entre eux , on calculait d'abord en toises carrées, toises-pieds, toises-pouces, etc., Faire qui derait servir de base au volume cherché (considéré comme celui d'un parallélépipède rectangle) , puis on regardait cette aire comme la base d'un parallélépipède rectangle ayant I toise de hauteur, et étant, par conséquent, au corps cherché comme l'unité est au troisième facteur, qui alors pouvait être regardé comme un nombre abstrait. Il est visible que :

i". I toise carrée de base sur i toise de hauteur forme un cube d'une toiso de côlé, ou une toise cube.

AU TRAITÉ d'arithmétique. LXIJI

a**. I toise-pied, c'est-à-dire un rectangle de i toise de long sur un pied de large étant pris pour base d'un parallélépipède rectangle de i toise de hauteur, ce parallélépipède a deux arêtes contîguës de i toise, et peut aussi être envisagé comme ayant i toise carrée de base sur I pied de haut -, on lui donne pour cette raison le nom de toise-toise-picrl ^ ce qui s'écrit 1. 1. pi. Il en faut 6 pour former la toise cube.

3°. I toise-pouce sur i toise de hauteur forme de même un parallélépipède de i toise carrée de base sur I pouce de haut, qu'on nomme toise-toise^pouce^ qui s'indique par t, t.po. Il en faut 12 pour former la toise-toise-

4**. La même progression fournit ensuite des toisestoises^lignes , ou t.t.I^ toises-toises-points , out.t.pt.

Le volume du parallélépipède de i toise de haut se trouve ainsi exprimé par un nombre qui se rapporte à des subdivisions assez simples; et il ne s'agit plus que de multiplier, à l'aide des parties aliquotes, ce nombre par la hauteur du parallélépipède proposé.

Voici pour exemple le parallélépipède rectangle , dont \ les dimensions sont

49* ^^' 7^°> ^^* 4*" ^^ ^* ^* 2P^ loP**.

Les deux premières, déjà employées dans l'article VIII (page Lv) , donnent pour produit

Un parallélépipède construit sur cette base et sur une toise de hauteur contiendrait

i634*-'-*3*-^-P»2*-*-P°3^-*-^ io***'P*; nmltipliant ce nombre par 5* 2P' ioP^, hauteur du parallié-