AE :DE :: CE: BE

proportion dans laquelle les parties d'une corde fonnent les extrêmes y tandis que celles de Vautre fonnent les moyens.

Démonstration. — En tirant les cordes AC et DB, on forme les triangles AEC et BED, qui sont semblables comme ayant deux angles égaux chacun à chacun (65), savoir : l'angle ACD et l'angle ABD, dont le sommet est placé à la circonférence, et qui s'appuient sur le même arc AD (H^f), puis l'angle AEC et. l'angle BED opposés par le sommet. Comparant leurs côtés homologues, ou aura la proportion

AE: DE :: ce:be,

énoncée ci -dessus.

GEOMiTHIK, iB** ('du. 6

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!V, B. — 11 est fa( île de rccoiniaitn» que ce théorème et celui du w^ 127 ne sont que deux cas particuliers d'une même proposition , que l'on peut énoncer ainsi :

Lorsque dsux droites qui se coupent rencontrent en numie temps une circonférence de cercle, chacune en deux points, les distances de leur point d'intersection, à chacun de ceux oii elles rencontrent cette circonférence y sont réciproquement proportionnelles.

130. Corollaire. — Si la corde AB passait par le centre ou devenait un diamètre, et que la corde CD lui fût perpendiculaire (Jig* 74)5 cette dernière serait coupée en deux parties égales (106), et la proportion

AE : DE : : CE : be deviendrait

AE:CE :: ce:be,

puisque DE = CE : la droite CE serait donc moyenne proportionnelle entre les parties AE et BE du diamètœ AB. 11 suit de là que pour trouver une moyenne proportionnelle entre deux droites données M et N, il faut les porter à la suite l'une de l'autre , de A en E et de E en B^ puis décrire sur leur somme AB^ comme diamètre, un cercle, et élever au point E, où elles se joignent, la perpendiculaire EC, qui sera la moyenne proportionnelle demandée.

131 . Remarque. — La proposition qui fait le sujet du corollaire précédent résulte immédiatement de la propriété du triangle rectangle démontrée dans le n** 74; car si l'on mène les cordes AC et CB, Tangle ACB ëtant droit (114), on aura, par le numéro cité,

AE:CE :: ce:be.

Le même numéro donne encore cette proportion,

AE: AC :: ac: ab,

de laquelle il résulte que la c^oHe menée par rëxtréniité

d'un diamètre est moyenne proportionnelle entre le diamètre et le segment formé par la perpendiculaire abaissée de l'autre extrémité de cette corde.

Par là on peut aussi trouver une moyenne proportionnelle entre deux droites données, en prenant la plus grande pour le diamètre AB, portant la seconde de A en E, élevant la perpendiculaire EC, et tirant la corde AC, qui sera , d'après ce qui précède , la moyenne proportionnelle

demandée.

PROBLÈME

132. Partager une ligne AB (fig. 76) en moyenne et extrême raison y c'est-à-dire de manière quon ait la proportion

AC : BC :: BC : ab,

dans laquelle BC , la plus grande des deux parties de la Ugne AB, est moyenne proportionnelle entre cette ligne et l'autre partie AC.

Solution. — Il faut élever à l'une des extrémités de la droite AB la perpendiculaire AE, égale à la moitié de cette droite, tirer BE du point E, comme centre, avec le rayon AE, décrire un cercle ADF, et du point B conmie centre, avec un î'ayon égal à BD, décrire l'arc DC : cet are, coupant la ligne AB au point C, la partagera en moyenne et extrême raison.

Pour le prouver, on prolongera BE jusqu'en F, et l'on aura, par le n*^ 128,

BD: AB :: AB:BF, d'où l'on tirera