A'O'C > A'O V, AV < AV

11 est évident que la réciproque de celte proposition n'a pas besoin d'une démonstration particulière, car le rapport des arcs ne peut elre égal à celui des angles , sans qn' ce dernier soit égal à celui des arcs (1).

HO. 1*^'^ corollaire, — Le rapport des arcs AC et ./V(/ étant le même que celui des angles AOC (ît A'O'C, il en résulte que ces arcs sont la mesure naturelle des angh's; et, d'après ces notions, on dit que la ?ncsure d*uii angle est Varc de cercle compris entre ses côtés et décrit de son sommet comme centre. Celte expression paraît d'abord

(i) Je crois devoir faire observer que cette proposition, qu'on se coutcnlait presque irëuoncer dans les Ëlëmenls adoptés en France avant '79-t> ^ ^^ démontrée à peu près comme ci -dessus, dès t'jiio, dans ceux de Karston, et Tétait peut-être aussi dans de plus anciens ouvra^res. [.o moyen y d'ailleurs, s'ofTre de lui-même par une forme de raisonnement employée par Euclide pour un semblable passa{;e du commcnsurable à Tincommensurablej et, comme je Pui dit ailleurs [Essais sur V l'inseigncmcnt) ^ lorsqu'on se borne aux propositions vraiment nécessaires des Eléments de Géométrie, il ne reste plus (ju^à s'occuper «le rairan^emcnt (jui les li«* If mieux les unes aux autres, 1rs rend plu-i cvidenles et plus faciles « retenir.

70 KLÉMKNTS

obscure, car on ne peut mesurer des grandeurs cjueleouques que par d'autres grandeurs de la môme espèce. L'arc de cercle, étant une ligne, est hétérogène avec l'angle, qui est une surface (7) 5 mais il faut observer que Ton sous-entend ici l'arc pris pour unité et l'angle qui correspond à cet arc , et que l'énoncé ci-dessus revient à celui-ci :

Tout angle contient autant défais un certain angle arbitraire y pris pour unité ou pour terme de comparaison^ que Varc compris entre ses côtés, et décrit de son sommet comme centre^ contient Varc du même cercle compris entre les côtés de ce second angle et décrit de son sommet comme centre.

On voit par là que les arcs de cercle ne sont introduits que pour servir de termes de comparaison , et que , pour trouver le rapport numérique de deux angles quelconques, il faudra chercher, par le procédé du n° 101, celui de deux arcs décrits de leurs sommets comme centres , avec un rayon arbitraire, mais le même pour tous deux.

L'angle qui parait le plus propre à servir d'unité est l'angle droit. Cet angle comprend évidemment entre ses côtés le quart de la circonférence^ car, si du point O comme centre (Jîg. 62) on décrit une circonférence, la droite AB en sous-tendra la moitié (97) ^ les deux angles droits COA, COB étant égaux, comprendront chacun la moitié de cette moitié (numéro précédent), c'est-à^re 1(î quart de la circonférence entière. On aura donc la mesure d'un angle en comparant l'arc compris entre ses côtés avec celui qu'intercepte, sur la même circonférence, l'angle droit ayant son sommet au centre.

111. 2^ corollaire. — Il suit encore du théorème précédent, que les droites qui divisent un arc en plusieurs parties égales divisent aussi dans un même nombre dv. parties égales l'angle que mesure cet arc^ et que, par conséquent, la division d'un angle se réduit à celle de l'arc

IH-: GKOMKTillK. r\

qui lui seri de mcsuiv. îManuuirciiscineiil la (îôoiiu'tiir élémeutaii-e ne fournît que lo iiidmmi du dixisiM- un aiv rn deux parties égales.

Ce moyen consiste (li^7) à élever une perpeiidieidaire CO {Jig' 58) sur le milieu de Ja corde AH ; et eelle perpendiculaire divisera aussi Taiigle \0\\ eu deux parties ^ales. Ou peut d'aiJleurs se eonvaiiiere à priori de I égalité des anglts AOD et HOl) par eelle des triangles de même dénomination.

On pourra, par le même moyen, diviser de nou\eaii chaque moitié de l'are \C\\ ou de l'angle AOB en diîiix parties égales, et pousser ainsi la di\ision suivant les nombres a, 4 9 S? 1^9 ^^^? ^4? vU\] mais il \w sera pa.s possible de partager cet are ou cet angle en 3,5, ele., parlies ^ales.

IHKORÈME.

112. Lorsquun angle a son sommet placé sur lu ctrconjerence d'un cercle^ il a pour mesure la moUiè de F arc compris entre ses côtés.

Démonstration. — r*. Je suppose ([ue l'angle proposé soit BAC, dont l'un des côtés AC passe par Je centre O du cercle (/%• 63). Si , par ce point , on mène le diamètre DE parallèle à AB, on fera J'angle DOC égal à lîAC comme correspondant par rapport «1 la sécante AC, el ayant pour mesure l'are DC compris entre ses cotés el décrit. de son sommet comme centre. Ainsi l'are DC sérail la mesure de l'angle TiAC , si le sommet A de ce dernier était transporté en O5 mais d'abord Tare DC est égal à l'arc AE, puisque celui-ci mesure l'angle AOE opposé par le sommet à DOC, et qui lui est par conséquent égal; puis les arcs AE et BD étant compris entre des corder parallèles (108), il s'ensuit que l'are DC est aussi égal à BD. Donc l'arc BC, composé de BD et de DC , con lient deux fois l'are DC; donc il est le double de la mesure de Tangle BAC.

ro. KLKMEKTS

2". Soit mainteiiaul l'angle BAC j comprenant le centre entre ses cotés. Cet angle , étant composé des angles BAC , CA(j, aura pour mesure la somme des arcs qui mesurent CCS derniers*, mais comme ils ont chacun un côté qui passe par lo centre, leurs mesures respectives seront la moitié de BC et la moitié de CG, arcs dont la somme compose la moitié de Tare BG égal à BC -h CG : l'angle BAG aura donc pour mesure \\ moitié de l'arc compris entre ses côtés.

3'\ L'angle J 'AB, qui ne comprend point le centre entre ses côtés, pouvant être considéré comme la diilerence des angles FAC , BAC , aura pour mesure la différence des arcs qui mesurent ces derniers: mais comme leur côté commun AC passe par le centre, leurs mesures respectives sont les moitiés de FC et de BC; et la différence de ces mesures composant la moitié de l'arc FB, égal à FC — BC, l'angle FAB aura donc pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés.

4". L'angle formé par une tangente et par une corde a aussi pour mesure la moitié de Tare compris enlre ses côtés; car l'angle CAH, formé par la tangente AH et le diamètre AC qui lui est perpendiculaire, étant droit, a pour mesure la moitié de la demi-circonférence ABC (110). Si l'on ajoute à cet angle l'angle CAG formé par deux cordes, et ayant pour mesure la moitié de l'arc CG, l'angle total GAH aura pour mesure la moitié de CG, plus celle de ABC, ce qui fait la moitié de l'arc total A BG compris entre ses côtés ; et si l'on retranche du même angle droit (]AH l'angle FAC, mesuré par la moitié de l'arc FC , la différence F AH de ces angles sera mesurée par celle des moitiés de ABC et de FC : ce qui revient à la moitié de AF.

113. i''*^ corollaire. — L'angle FAI, formé par la cordt^ AF et par le prolongement Al de la corde AG, a pour mesure la moitié de la somme des arcs AF et AG sous-

UE GKOMKTKIK. 7*3

teudus par ces coixles, en dehors du 1 angle qu elles eonipremient.

En effet, Tangle FAI, égal à deux droits moins Tangle FAG (H), aura pour mesurr la difllTence qu'il y a entre la demî-circonférence et la moitié de Tare VG qui mesure Tangle FAG; mais cette dillerence est égale à la moitié de celle de la circonférence entière et de Tare FG lui-mùme, ce qui revient évidemment à la moitié d(î la somme des arcs AF et AG.-

H4. 2*^ corollaire. — il suit encore du théorème précédent : i". Que tous les angles qui, comme DEF, EGF, EHF, EIF (fig' 64), ont leur sommet placé h la circonférence et s'appuient sur l(î même are, sont égaux, puisqu'ils ont pour mesure la moitié du môme arc KAF compris entre leurs côtés 5

2°. Que l'angle BAC, dont le sommet est sur la cir conférence et dont les côtés AB.et AC passent par les extrémités d'un diamètre BC, est droit, puisqu'il a pour mesure la moitié de la demi-circonférence B(iC comprise entre ses côtés, ou le quart de la circonférence entière (HO) .

THÉORÈME

H5. L'angle BAC (fig. 65) dont le sommet est placé dans le cerclcy entre le centre et la circonférence, a pour mesure la moitié de Varc BC compris entre ses côtés y plus la moitié de Vuix ED compris entre leurs pwlongements.

Démonstration. — Si , par le point D, on mène la corde DF parallèle au côté AC de l'angle proposé, on formera l'angle BDF égal à Tangle BAC comme correspondant par rapport à la sécante BD, et ayant pour mesure la moitié de l'arc BCF compris entre ses côtés , puisque son sommet est placé sur la circonférence (HS)^ mais les arcs ED el FC étant égaux comme compris entre des cordes parallèles (108), il s'ensuit que Tare BF, égal à BC -H FC, sera

«74 ÉLKMEINTS

aussi égal à BC -f- FID; cl puisque sa moitié mesùir l'angle BDF et , par conséquent , son égal BAC , ce dernier aura aussi pour mesure la moitié de la somme des arcs Bi\ et ED, somme équivalente à l'arc BF; ce qui est l'énoncé du théorème.

THÉORÈME

H6. L'angle BAC (fig. 66) dont le sommet est placé hors du cercle^ a pour mesure la moitié de la différence des arcs BC et ED compris entre ses côtés, arcs dont l'un tourne sa concavité vers le sommet, et l'autre sa com^exité.

Démonstration, — En tirant, comme ci-dessus, par le point D la droite DF parallèle au côté AC, on formera l'augle BDF égal à BAC comme correspondant par rapport à la sécante AB, et ayant pour mesure la moitié de l'arc BF compris entre ses côtés (112) ; mais, les arcs ED et FC étant égaux comme compris entre des cordes parallèles (108), il s'ensuit que l'arc BF, égal à BC — FC, sera aussi égal à BC — ED; et puisque sa moitié mesure l'angle BDF, et , par conséquent , son égal BAC , ce dernier aura aussi pour mesure la moitié de la différence des arcs BC et ED, différence équivalente à l'arc BF; ce qui est l'énoncé du théorème.

PROBLÈME

117. Élever une peipendiculaire à V extrémité A d^une ligne droite AB (fig. 64) ^ sans la prolonger comme .l'exigerait le procédé du n^ 30.

Solution, — On prendra hors de la ligne AB un point quelconque O, duquel , comme centre et avec un rayon égal à AO, on décrira une circonférence de cercle BAH ; par le point B, où elle rencontrera la droite AB, et par le centre O, on tirera le diamètre I50C, qui déterminera sur la circonférence un point C : la droite AC, qui joint ce point à l'extrémité A de la droite xiB, sera la perpendiculaire demandée, puisque l'angle BAC sera droit (H 4).

DE GÉOMÉTUIK. 7.)

PROBI.ÈME.

118. D\tn point donne A , hors d'un cercle (lîg. 67) . mener une tangente à ce cercle.

Solution. — On joiudra avec le point A le point O, centre du cercle donné, et l'on décrira sur AO, coranw» diamètre, une circonférence de cercle qui rencontrera le cercle BDB' en deux points U et B'5 les droites BA et B'A, qui joindront ces points avec le point donné A, seront tangentes au cercle BDB'.

En efTet , si l'on lin; dans ce cercle les rayons BO el B'O qui, dans le cercle BIVA seront des cordes, les angles OBA et OB'A seront droits, puisque leur sommet est sur la circonférence de ce dernier, et que leurs côtés passent par les extrémités de Tun de ses diamètres (114) : donc les droites AB et AB' seront tangentes au cercle BDB' (103).

PROBLÈME

119. Par trois points A, B, C (fig. 68), qui ne sont pas en ligne droite, faire passer une circonférence de cercle.

Solution. — Si Ton joint les trois points A, B, Cpai deux lignes droites AB et BC , ces droites seront des cordes du cercle qui passe par les points proposés. Klevant sujle milieu de AB la perpendiculaire DE , et sur le milieu de BC la perpendiculaire FG, le centre O, qui doit être en même temps sur l'une et sur l'autre de ces perpendiculaires (105), ne pourra se trouver qu'à leur intersection, qui aura nécessairement lieu ('i?).

120. 1*^*^ corollaire. — La construction précédente m donne qu'un seul point pour centre et qu'un seul rayon , puisque les droites AO et OC , étant égales à OB commeobliques qui s'écartent également des perpendiculaires CD et OF, seront égales entre elles : il est donc évident

qu il n'y a qu'uu seul cercle qui puisse , en elïel , passer

par les trois points A, B, C.

La question devient insoluble lorsque les trois points A , B, C sont sur la même ligne droite, parce que les perpendiculaires DE et GF sont parallèles (39), et, ne se rencontrant plus , n'indiquent plus aucun centre. Et, en eflet, aucun cercle ne peut passer par les points proposés , puisque, s'il en passait un, ce cercle aurait trois points communs avec une droite, ce qui serait contraire à ce qui a été prouvé dans le n" 94.

121. 2® corollaire, — 11 suit encore de la même proposition, que deux cercles ne peuvent avoir trois points communs sans se confondre^ car si l'on fait sur ces trois points la construction indiquée dans le problème ci-dessus, on trouvera que les cercles proposés doivent avoir le même rayon et leurs centres placés au même point.

C'est pour cette raison que deux cercles ne peuvent se rencontrer en plus de deux points.

THÉORÈME

122. Deux cercles qui passent par un même point de la droite qui joint leurs centres 71 ont que ce point de commun y dans lequel ils se touchent par conséquent^ et ■ réciproquemeniy si deux cercles se touchent , leurs centres et le point de contact sont en ligne droite.

Démonstration, — i". Si les centres O et O' des cercles AC et AC (fig* 69) sont situés tous deux du même côté*' du point A commun à ces deux cercles sur la droite OO', et qu'on prenne un point quelconque M' sur celui des deux qui a le plus grand rayon , en joignant ce point avec les centres O et O', on formera un triangle O'OM' dans lequel on aura toujours

00'H-OM'>0'IVr im C'A;

UK r;KOMKTRlK. 'j-j

mais puisque O'A = OO' -h OA , on en ron<lura 00' + 0M'>00'-4-0A,

et, par conséquent, OM' >0A : le point M' sera donr, dans tous les cas , hors du cercle AC.

2°. Si les centres sont de difléients cotés du point A , en O et O" par exemple, le triangle 0]\F0'' donnant OM" + 0''M" > OO'' ou OA -^ 0''A, on en conclura OM" > OA ,

puisque 0"M"=0''A; et, par conséquent, le point M" sera hors du cercle A(].

La proposition inverse, comprise dans Ténoncé, se démontre en observant : i". Que si les deux cercles AC et AC n'ont que le point A de commun , et que leurs centres , au lieu d'être sur la droite OA , soient sur toute autre droite O'M', en sorte que le centre du petit cercle se trouve en o. on aura

0'o-+-oA>0'A, ou O'M';

i-etranchant de part et d'autre O'o. il restera oA > oM',

ce qui est absurde, puisque oA , étant supposé rayon du petit cercle AC. est égal à o///. nécessairement moindre que oM'.

a**. Que si les deux cercles se touchent extérieurement romme AC et AC". il est évident que la plus courte ligne que Ton puisse mener du centre de l'un à celui de l'autre est ^ale à la somme des rayons , et que cette plus courte ligne passe parle point de contact , puisque si l'on joignait le point RF à chacim des centres, la somme des droites OM", 0"M" serait plus grande que celle des rayons; mais 1aplu5 courte ligne que l'on puisse mener par deux points étant droite, la ligne OAO" sera donc une droite.

123. Remarque. — J'ai déjà indiqué . dans le n" 22 , les conditions qui doivent avoir lieu pour que deux cercles

se coupent : elles sont vérifiées de nouveau par le Uiéorème précédent^ car on voit bien évidemment que les cercles AC et AC cesseraient de se toucher, et, à plus forte raison , ne se couperaient pas, si la dislance des centres OO' était moindre que la difFérence des rayons, et que si la distance 00'' surpassait la somme des rayons des cercles AC, AC, ceux-ci ne se toucheraient pas non plus.

Puisque les cercles AC , AC, AC ont leur centre et leur point de contact A sur la même ligne droite, la perpendiculaire AB, élevée sur cette ligne par le point A , les touche tous h la fois (103).

De plus , il est visible que , quoiqu'on ne puisse mener

aucune droite entre le cercle AC et sa tangente AB, on

peut néanmoins y faire passer une infinité de cercles

différents (i).

PROBLÈME

124. Décrire un cercle qui touche en un point donné A (fig. 70) une droite AB donnée déposition, et qui passe par un second point donné C.

Solution. — On élèvera sur AB, par le point A, la perpendiculaire AO'-, puis joignant les points A et C, on élèvera aussi sur le milieu de AC la perpendiculaire DO': le point O', où se rencontrent ces deux perpendiculaires, sera le centre du cercle demandé.

(1) C^est lace quMl faut entendre dans cette proposition, soutenue par plusieurs géomètres, que Tangle de contingence CAB, formé par le cercle et U XanQenie, est moindre que tout angle rectilignc ou formé par deux droites, quelque petit que soit ce dernier. La discussion ouverte à cet égard n'est venue que de ce qu''on ne s^entendait pas sur le sens qu^on attachait dans ce cas au mot angle. Ceux qui voulaient y appliquer la notion tirée des lignes droites, voyant dans Pangle de contingence un espace indehni CAB, compris entre le cercle AC et sa tangente AB, ne pouvaient, avec raison, le regarder comme moindre que tout angle rfctiligne, puisqu'on peut évidemment tirer par le point A une droite qui passe entre les points C et B. Mais toute cette dispute, qui ue roulait que sur ïes mots, tomba dans Toubli dès qu'on s'aperçut qu'elle n'intéressait en rien les principes.

l)K (aîOMKTIUL. 71)

En cllet , le amU-v. ilc cv ci'ii'liî doit se Irmivci sin la droite AO', pcrpeiulimlaire à la tangrntr AH, et passaiU par le poînl A , où doil avoir lieu le contact du cercle et de la droite AB (KKÎ); il doil être pareillement sur DO', puisque cette ligne est perpendicidairc sur le milieu de la droite AC qui , joignant deux points A et C du cercle demandé, en est une corde (105) : donc il est au point O', où ces deux perpendiculaires se renconti*(»nt.

PROBLÈME

125. Déciire un cercle qui touche en un point rlon7jé A un autre cercle donné AE, et qui passe par un second point donné C.

Solution, — On joindra , comme dans le problème précédent, les points A et C et la perpendiculaire DO', élevée sur le milieu de la corde AC, passera par le centre du cercle demandé 5 on tirera ensuite par le centre O du cercle AE, et parle point A, une droite qui devra contenir aussi le centre du cercle demandé (122) : le point O' où cette droite prolongée, s'il est nécessaire, rencontrera la droite DO', sera donc, dans ce cas, le centre du cercle demandé.

La construction ne changerait pas si le point donné C passait en C dans l'intérieur du cercle donné AE5 seulement le cercle demandé serait enveloppé par celui-ci.

PROBLÈME

126. Décrire sur une ligne donnée EF (fig. 64) un cercle tel, que tous les angles ajajit leur sommet à sa circonférence, placés du même côté de cette droite et s' appuyant sur ses extrémités, soient égaux à un angle donné.

Solution. — On mènera par le point E la droite DM, faisant avec EF un angle DEF égal à l'angle donné , et dont l'ouverture soit tournée du même côté que celle des angles demandés ^ il ne s'agira plus que de constiTiire, par

8o ÉLKMKMS

le problème du n" 124, un cercle (jui passe par le point J ',

cl qui touche en E la droite DM.

11 est évident, par le n" Ht, que tous les angles EGF.

EHF, EIF, ayant même mesure que Tangle DEF, seront

égaux à l'angle donné.

N. B. — On énonce aussi ce problème comme il suit : Décrire sur une ligne droite EF un segment (ou une

portion) de cercle EHFE, capable d*un angle donné.

THÉORÈME

127. Deux sécantes qui partent d'un même point E pris hors d'un cercle (fig. 71) étant prolongées jusqu'à la partie de la circonférence la plus éloignée de ce point, sont réciproquement proportionnelles à leurs parties extérieures, c'est-à-dir^e que Von a la proportion

AE : DE :: ce : be,

dans laquelle une des sécantes et sa partie extérieur^e forment les moyens, tandis que Vautrée sécante et sa partie extériewe forment les extr^émes.

Démonstration. — En tirant les cordes AC et DB, on forme les triangles AEC et BED qui sont semblables comme ayant, chacun à chacun, deux angles égaux (65), savoir : l'angle ACD et l'angle ABD, dont le sommet est à la circonférence, et qui s'appuient sur le même arc AD (lli), puis Tangle AED qui leur est commun. Comparant leurs côtés homologues , on obtiendra la proportion

AE : DE : : CE : be , énoncée ci-dessus.

128. Remarque. — Si l'on conçoit que la sécante EC tourne autour du point E en s'avançant vers F pour se dégager du cercle, les points C et D se rapprocheront sans cesse, et la différence entre cette sécante et sa partie extérieure deviendra de plus en plus petite; la proportion ci-dessus ne cessant point pour cela d'être vraie, il est

1)K GÉOMÉTIIIK. 8l

naturel dVii conclure qu'elle aura encore Hiîu lorsque celti* diflFérencc sera nulle , c'est-à-dire lorsque la ligne CE étant devenue la tangente EF, la partie extérieure sera devenue égale à la ligne entière. On aura, dans ce cjis,

AE : EF :: ef : be,

ce qui nous apprend que la tangente EF est moyenne proportionnelle entre la sécante BE et sa partie extérieure Alv Cette proposition peut aussi se démontrer à priori comme il suit: Ayant tiré les cordes AF et RF [fig. 72). on a les triangles AEF et BEF, dans lesquels l'angle E est commun, et les angles EBF et EFA sont égaux, comme ayant leur sommet sur la circonférence et s'appuyant sur le même arc AF -, la comparaison de leurs côtés homologues

donnera

AE : EF :: ef: be.

THÉORÈME

129. Deux cordes AB et CD (fig. 78), qui se rencontrent dans un cercle, se coupent en parties réciproquement proportionnelles y c'est-à-dire que Von a