AC = A'C', BC=:B'C', AS = A'S', BS = B'S

Les deux dernières égalités établissent celle des rectangle-s

l5o I^XKMEINTS

ASBD et A'S'B'D' : donc BD = B'D'^ alors les triangles CBD, C'B'D', rectangles en D et D', ayant chacun à chacun deux côtés égaux, dont un est hypoténuse, seront égaux (34). Ainsi, CD = CD', et, par conséquent, les angles CBD et C'B'D' qui mesurent les inclinaisons des plans ASB et BSC, A'S'B' et B'S'C'seront égaux aussi (i).

THÉORÈME

224. Deux angles tvièdres SABC et S''A''B''C'' (fig. 1 23) , formés par trois angles plans égaux et semblableinent disposés entre eux, sont égaux dans toutes leurs parties.

Démonstration, — Si Ton fait coïncider les faces égales ASB, A''S''B'' par les arêtes AS et A''S", les faces égales ASC et k"S"C"^ qui sont également inclinées sur les précédentes (numéro précédent), coïncideront aussi 5 et à cause de Tégalité des angles plans ASB, A''S''B'', ASC, A^'S^'C^ les arêtes SB et S^B'', SC et S"C'' coïncideront, et, par conséquent, aussi les faces BSC et B '' S ''C déterminées par ces arêtes.

225. Remarque, — Il est bien important d'observer que la coïncidence des angles trièdres ne peut avoir lieu que dans le cas où les faces égales sont semblablement placées dans l'un et dans l'autre-, c'est-à-dire lorsque tous deux étant posés sur des faces égales, et ayant leur sommet *tourné du même côté , les angles dièdres égaux sont ouverts 4ans le même sens , ainsi que cela arrive à l'égard des angles SABC et S''A''B"C", mais non pas à l'égard des angles SABC et S'A'B'C. Dans ce dernier, l'angle dièdre

(1) M. Vecten , professeur au Lycée de Nîmes, m'a fait remarquer qu^en menant par le sommet S le plan perpendiculaire à l'arête SB, on pouvait former une construction applicable à tous les cas ; mais la figure étant un peu plus difficile à concevoir que la jig. i'23, j'ai cru devoir conserver ici la démonstration de Robeil Simson qui, le premier, a donné ce théorème ft le suivant pour rcnipUr une lacune que |)rcsoniait le ii® livre des Elcvif'ftls d'Kuclidc.

DE GKOi^KTRIE. i 53

que Taiigle polyèdre a de faces , il restera nécessairement moins de deux fois deux angles droits ou de quatre angles droits pour la somme des angles plans ASB, BSC, etc. , formés au sommet S de l'angle polyèdre SABCDE.

Des corps termines par des plans.

227. Les corps terminés par des plans se nomment corps polyèdres , ou simplement /;o/^èû?/*e^.

On ne peut fermer de toutes parts un espace par un nombre de plans moindre que quatre. Le corps SABC {fig* 1^6), compris entre les quatre plans ASB, ASC, BSC, ABC, se nomme tétraèdre.

Tout corps dont une des faces est un polygone quelconque , et dont toutes les autres sont des triangles ayant leur sommet au même point , se nomme pyramide. Le corps SABCDE [Jig- l'-iy) est une pyramide pentago^ nale, parce que sa base ABCDE est un pentagone; le |k>int S , sommet commun des triangles ASB , BSC , CSD , DSE, ES A, est aussi le sommet de la pyramide. Le tétraèdre SABC de ^^ fig^ iîi6 est lui-même une pyramide triangulaire. Tous ses angles polyèdres n'ont que trois faces, ce qui n'a lieu que pour les angles adjacents h la base dans les autres pyramides \ et Ton peut prendre pour base celle de ses faces qu'on veut.

Les tétraèdres sont dans l'espace ce que les triangles sont sur un plan -, car, de même qu'on iixe la position d'un point sur un plan , en le liant par un triangle à deux points donnés , on fixe celle d'un point dans l'espace , en le liant par un tétraèdre à trois points donnés. Voici les principales propriétés des tétraèdres , jointes à quelques-unes de celles des pyramides , qui ont la plus grande analogie avec les tétraèdres.

THÉORÈME

228, Si les angles trièdrcs S et S' des tétraèdres SABC ,

l54 ÉLI^JiKNTS

S'A'B'C^(fig. 126) sont composés de triangles égaux et semblablement disposés ^ ces tétraèdres seront égaux ^ et ils le seront encore si les faces SAB et SAC de Vun sont égales aux faces S'A'B' et S'A'C de Vautre y assemblées de la même manière y et forment entre elles le même angle dièdre que celles-ci.

Démonstration, — i*^. 11 est évident qu'eu faisant coïncider la face SAB avec la face S'A'B', les autres faces égales, étant également inclinées sur celles-ci (223), coïncideront aussi.

2^. La face SAB coïncidant avec S'A'B', la face SAC coïncidera avec S'A'C, quand Tangle dîèdre CSAB sera égal à C'S'A'B'*, et les droites SB et SC se trouvant alors confondues avec S'B' et S'C, les faces SBC et S' B'C/ coïncideront nécessairement.

229. On donne le nom de polyèdres semblables à ceux dont les faces sont des polygones semblables et dont lés plans sont en même nombre, semblablement disposés et également inclinés les uns à l'égard des autres, ou forment des angles dièdres égaux. On va voir que la dernière de ces conditions résulte des autres pour les tétraèdres et les pyramides (i).

THÉORÈME

230. Lorsque les triangles qui forment deux angles trièdres homologues de deux tétraèdres sont semblables chacun à chacun^ et semblablement disposés, ces tétraèdres sont semblables ; et ils le seront encore si deux faces de l'un font entre elles le même angle que deux

(0 M. Cauchy, déjà cité (page i35), a démontré, dans lo 16* cahier du Journal de l'École Polytechnique^ qu'il en était de môme pour tous lcs4)o« lyèdrcs convexes, ce qui était supposé sans preuve, dans les Éléments d'Euclide, et étendu à tous les polyèdres, sans la restriction dont Robert Simsonavait déjArcconnu le besoin. (Koiv^aussi lu Grow/^'r/7VdcLi:oi:.NnRE, 9° ôH il ion)

DK GÉOMÉTUIE. 1 55

faces de Vautre y sont en outre semblables à celles-^ci y et assemblées par des côtés homologues.

Démonstration, — i^. Si les triangles SAB, SAC, SBC {fig* ii6) sont respectivement semblables aux triangles S'DE, S'DF, S'EF, et disposés de la même manière, que l'on prenne sur T arête S'D, homologue dans le tétraèdre S'DEF à l'arête SA du tétraèdre SABC, la partie S'A' = SA, et que, par le point A', on mène le plan A'B'C parallèle à DEF, on déterminera , dans le tétraèdre S'DEF, un tétraèdre S'A'B'C semblable à S'DEF et égal à SABC.

En effet , il est évident qu'en vertu du parallélisme des droites A'B' et DE, A'C et DF, B'C etEF (20e^), les faces S'A'B' et S'DE, S'A'C et S'DF, S'B'C et S'EF, situées deux à deux dans le même plan, seront semblables. Déplus, les triangles A'B'C et DEF, situés dans des plans différents , ayant aussi leurs côtés parallèles , et, par conséquent, leurs angles égaux (205), seront semblables. Les deux tétraèdres S'A'B'C et S'DEF ayant donc leurs faces semblables et leurs angles trièdrcs homologues formés par des angles plans égaux, auront chacun à chacun tous leurs angles dièdres égaux (223), et seront nécessairement semblables.

Maintenant, les triangles S'A'B' et S'A'C, équiangles à S'DE et à S'DF par construction , et, par conséquent,, à SAB et à SAC , d'après l'hypothèse , seront égaux à ce& derniers, puisque les deux côtés homologues S'A' et SA sont égaux (18) : on aura donc ainsi S' B' = SB, S'C = SC> ce qui entraînera l'égalité des triangles équiangles S'B'C et SBC, et, par suite, celle des tétraèdres S'A'B'C et SABC (228) . Donc, enfin, les tétraèdres SABC et S'DEF, l'un égal, l'autre semblable à S'A'B'C, sont semblables

entre eux.

Si les triangles SAB et SAC sont semblables aux

triangles S' DE et S'DF, de plus, joints par des côtés homologues à ceux qui réunissent ces derniers, et que l'angle dièdre CSAB soit égal à l'angle dièdre FS'DE, le tétraèdre S'A'B'C construit ci-dessus sera égal à SABC (228), comme ayant deux faces, S'A'B' et S'A'C, égales aux faces SAB et SAC , et formant entre elles le même angle dièdre que ces dernières : le tétraèdre SABC sera donc encore semblable à S'DEF.

THÉORÈME

231. Deux pyramides quelconques sont semblables lorsque toutes leurs faces sont semblables et semblablement disposées.

Démonstration, — Soient SABCDE, S'FGHIK {/ig- 127) les deux pyramides proposées*, il est visible que tous leurs angles dièdres font partie des angles trièdres adjacents aux bases ABCDE, FGHIK. Mais ceux-ci, lorsqu'ils sont homologues, comme B et G, C et H, etc., étant compris entre des faces semblables et semblablement disposées, sont formés d'angles plans égaux; ils ont par conséquent leurs angles dièdres égaux : les pyramides réunissent donc tous les caractères de la similitude (229).

232. i^"^ corollaire, — Si Ton coupe la pyramide S'FGHIK par un plan A'B'C'D'E' parallèle à FGHIK, on aura une pyramide S'A'B'C'D'E' semblable à la pyramide entière \ car il est facile de reconnaître que toutes les faces de l'une seront semblables à celles de l'autre, et semblablement disposées, puisque les triangles A'B'C, A'C'D', A'D'E' sont respectivement semblables aux triangles FGH, FHI, FIK, d'où il résulte que les bases A'B'C'D'E' et FGHIK sont semblables entre elles.

Il est visible que les pyramides S'A'B'C'D'E' et SABCDE seront égales, si l'une des arêtes S'A' de la première est égale à sa correspondanlc SA dans la srcoude 5

DE GÉOMÉTRIE. l57

car les faces de Tune et de l'autre étant semblables à celles de la pyramide S'FGHIK, sont semblables entre elles , et doivent par conséquent devenir égales lorsqu'elles ont un côté commun, puisqu'en vertu du n° 18, des triangles équiangles sont égaux quand ils ont chacun à chacun un côté égal -, de plus , les angles trièdres de cbacune de ces pyramides, étant formés d'angles plans égaux, auront leurs angles dièdres égaux (223). Par conséquent, lorsque les bases A'B'C'D'E' et ABCDE coïncideront, les pyramides S'A'B'C'D'E' et SABCDE coïncideront aussi.

En menant des plans par les sommets S et S' et par les diagonales AC, AD, FH et FI, on prouverait encore, avec un peu d'attention , que les pyramides SABCDE , S'A'B'C'D'E'etS'FGHIK sont composées d'un mêmenombre de tétraèdres semblables et semblablement disposés, et que les pyramides S'A'B'C'D'E' et SABCDE le sont de tétraèdres égaux , d'où l'on pourrait aussi conclure que ces dernières sont égales.

11 convient d'observer que l'égalité de ces pyramides emporte celle des perpendiculaires SP et S'P', abaissées des sommets S et S' sur les bases respectives.

233. 2® corollaire, — 11 suit de la similitude des faces des pyramides SABCDE , S'FGHIK , que lés arêtes de ces pyramides sont proportionnelles entre elles et aux perpendiculaires SP et S'Q abaissées des sommets sur les bases 5 car , en comparant les faces triangulaires homologues SAB et S'FG, SBC et S'GH, etc., on aura ces suites de rapports égaux :

SA : s'F :: ab : fg :: sb : s'G, SB :S'G :: bc : GH :: se : S'H,

desquelles on tirera celle-ci :

SA : S'F :: SB : S'G :: se : S'H :: . . .

:: ab: fg :: bc: gh :: ....

i58 Kî.l!:MK^Ts

De plus, le parallélisinc ilc.s plans /VIV(yi)'K' el FGHIK donne (220)

S'A' : S'F :: S' F : s'Q, ou