A'B' :FG :: S'P' : S'Q

de laquelle on conclut

FG — A'B' : FG :: S'Q — s'P' : s'Q, ou •

FG — A'B' : FG :: P'Q : s'Q.

Les trois premiers termes de la dernière proportion sont donnés par le tronc même , dont P'Q est la hauteur, et font connaître la hauteur S'Q de la pyramide entière.

THÉORÈME

235. Les bases des pyramides semblables S'A' B'C'D'E' et S' FGHIK sont entre elles comme les carrés de deua: arêtes homologues quelconques S'A', S'F, et comme les carrés des perpendiculaires S'P' et S'Q, abaissées du sommet sur leur plan.

Dém^onstration, — Les bases étant semblables, on a d'abord (176)

A'B'C'D'F/ : FGHIK :: Ub'": FG';

DK GÉOMÉTRIE. 189

mais , par le n*^ 233 ,

A'B' : FG :: S'A' : s'F :: S'P' : S'Q,

et , par conséquent ,

âJb'' : fg' :: s^'' :s^' :: s^' : s^'';

d'où il résulte

À'B'C'D'E' : FGHIK :: s^' : s^' :: sHF' : ¥q\

ce qui contient les deux parties de la proposition.

Il est visible que , dans les proportions obtenues précédemment, on peut substituer , au lieu de la pyramide S'A'B'C'D'E' et des lignes qui lui appartiennent, la pyramide égale SABCDE et les lignes correspondantes.

236. Corollaire. — Il suit de là que les sections faites à la même distance des sommets , dans deux pyramides quelconques , sont dans un rapport constant , quelles que soient d'ailleurs ces distances et les figures des bases. En effet , si dans le tétraèdre de la Jig. 26 les distances S'Q et S' F sont égales aux distances S'Q et S'P', dans la pyramide de \di fig, 127, le rapport des carrés des deux premières étant égal à celui des carrés des deux dernières, le rapport des triangles DEF et A'B'C^ sera, par conséquent, égal à celui des pentagones FGHIK et A'B'C'D'E'^ en sorte qu'on aura

DEF : A'B'C :: fghik : a'b'C'd'e',

ou