DEF : FGHIK :: A'B'C : A'B'C'D'E

237. On distingue encore parmi les polyèdres, sous le nom de prismes , ceux qui ont deux faces opposées , égales et parallèles , qu'on nomme bases , et dont toutes les autres sont des parallélogrammes. Le corps ABCDEFGHIK [fig, 128) est un prisme; sa base est le pentagone ABCDE , et voici sa construction. Par le sommet des angles de cette base et hors de son plan y

l6o ÉLÉMENTS

on a mené des droites AF, BG, elc, parallèles eçtre elles , et terminées à un plan FGHIK parallèle au plan ABCDE : les arêtes AF, BG, CH, etc., prises deux à deux, déterminent les faces AFGB, BGHC, etc., qui sont des parallélogrammes , puisque les droites AB et FG , BC etGH sont parallèles deux à deux (215).

11 est visible que le polygone FGHIK formant la base supérieure du prisme est égal au polygone ABCDE formant la base inférieure; car ils ont leurs côtés et l(^urs angles égaux chacun à chacun (205). Par la même raison, la section faîte dans le prisme proposé, par tout plan parallèle à sa base, sera aussi égale à cette base.

On doit remarquer que chaque angle polyèdre d'un prisme n'est composé que de trois angles plans.

Un prisme dont les arêtes sont perpendiculaires sur sa base est droit ^ les autres sont obliques,

238. Le prisme ABCDEFGH [Jig. 129), qu'on désignerait aussi par AG, et dont la base ABCD est im parallélogramme , se nomme parallélépipède : ses faces opposées, ABFE, DCGH par exemple, sont égales et parallèles. Leur égalité est évidente d'après la construction du prisme (237) , et leur parallélisme résulte de celui des côtés des angles EAB, HDC égaux entre eux (217).

THÉORÈME

239. Un polyèdre compris entre six plans parallèles deux à deux est un parallélépipède.

Démonstration. — 1 *^. Le plan ABFE coupant les deux plans parallèles ABCD et EFGH suivant les droites AB et EF parallèles entre elles (215) , et les plans parallèles ADHE et BCGF suivant les droites AE et BF parallèles entre elles, la figure ABFE est nécessairement un parallélogramme. On montrerait de la même manière que chacune des autres faces du polyèdre AG est un parallélogramme. '2^ Les côtés AB et DC, étant opposés dans le

DE GÉOMÉTRIE. l€î

parallélogramme ABCD , sont égaux ^ les côtés HIXet AE^ CG et BF le sont aussi comme opposés dans les parallélogrammes ADHE, BCGF^ enfin, les angles CDH et BAE, DCG et ABF sont égaux comme ayant leurs côtés parallèles et leur ouverture tournée dans le jnéme sens (205) : les parallélogrammes opposés , ABFE et CDHG , ayant ainsi chacun à chacun trois côtés et deux angles égaux^ seront donc égaux (85).

THÉORÈME

240. Si les angles trièdres B et B' des prismes AI et A!V (fig. 128) sont composés de polygones égaux et semblablement disposés, ces prismes seront égaux.

Démonstration, — 11 est visible que lorsque la coïncidence des angles trièdres B et B' sera établie (224) , les faces ABCDE et A'B'C'D'E', BCHG et B^C'H'G' se trouvant confondues , les droites CD et CD', CH et C H', coïncideront nécessairement, à cause de l'égalité de ces faces. Mais les lignes CD et CH déterminant la face CDIH, et les lignes CD' et CH' la face correspondante CD'I'H', il s'ensuit que ces faces coïncideront aussi. On prouverait de même que tous les autres parallélogrammes du prisme AI doivent se confondre avec ceux du prisme A'l'5 d'où il résulte que les polygones FGHIK et F'G'H'I'K' coïncideront aussi, puisque les côtés du premier se trouveront confondus avec ceux du second (1).

241. Remarijue. — Je passe maintenant aux polyèdres de figure quelconque. On peut toujours , en jpignant par des droites le sommet d^un de leurs angles à tous les autres, et divisant toutes leurs faces en triangles, les

(i) II serait aisé de prouver que légalité de^ prismes se changerait ea similitude, si les polygones assemblés au mémi) angle trièdre étsîeni seulement semUab1«s et semblablement disposés.

GÉOMÉTRIE, 16* édit, II

l()9. ÉLÉMENTS

partager en pyramides triangulaires qui ont pour faces (les plans menés de ce point aux arêtes et aux diagonales (les faces du corps proposé. L'inspection de la fig, i3o rend la chose évidente. Le polyèdre ABCDEFG se trouve partagé dans Jes cinq pyramides

GABC, GABF, GAEF, GAEC, GEDC,

dont le sommet est au point G, et qui se forment en joignant d'abord ce point avec les sommets A , B , C , D , K des autres angles polyèdres , ce qui donne les pyramides GABCDE, GABF, GAEF, .ayant pour bases les diverses faces qui ne font point partie de l'angle polyèdre G^ et partageant ensuite en triangles celles de ces faces qui ont plus de trois côtés, on a les bases des pyramides triangulaires désignées précédemment.

Je ne m'arrêterai pas à prouver que deux corps composés d'un même nombre de pyramides triangulaires égales et semblablement disposées sont égaux ; mais je ferai remarquer, par analogie avec ce qui a été dit sur les polygou( s , dans le n" 91 , qu'un polyèdre quelconque est déterminé en donnant les sommets de trois de ses angles polyèdres, et leurs distances à tous les autres (227). 11 suit de là que N désignant le nombre des angles du polyèdre, sa détermination absolue dépend des 3(N — 3) lignes menées aux angles du triangle pris pour base , et des trois côtés de ce triangle, ce qui fait en tout 3N — 6 données (i).

(i) Lo nombre des angles d'un polyèdre, celui de ses faces et celui de ses arêtes, roraplissent une condition remarquable découverte par Euler, et que voici : S désignant le nombre des angles polyèdres, H celui des faces , A. celui des arêtes , on a toujours S H- H = A -h 2. Pour le cube par exemple ,S = 8, H = 6, A = ia. ÇVoyez le i6® cahier du Journal de VÉcoln Polytechnique, dans lequel M. Cauchy a donné des théorèmes nouveaux et curieux à ce sujet, et \^ Annales de Mathématiques, par M. Gergonne, tome XIX, p. 333.)

Î3E GÉOMÉTRIE. i G3

THÉORÈME

2-12. Deux poljèdj^es qui sont composés d'un même nombre de pyramides semblables et semblablement disposées y sont semblables.

Démonstration . — Soientles deux polyèdres ABCDEFG, abcdefg [fig* i3o), cainpos('s d'un même nombre de pyramides semblables, #

GABCDE et gabcde, GAEF et gaef,

GABF et gabf (i),

dont les sommets sont ^rux points G, g^, et semblablement disposées ; il faut prouver que toutes les faces de l'un des corps sont semblables à celles de l'autre, semblablement disposées, et forment des angles dièdres égaux (229).

En jetant les yeux sur la figure, on voit d'abord que .toutes les faces des deux polyèdres sont ou des faces semblables de pyramides homologues, ou composées d'un même nombre de ces faces, semblablement disposées entre elles.

Les faces telles que ABCDE et abcde sont dans le premier cas, puisqu'elles appartiennent aux pyramides (iABCDE et gabcde^ situées de la même manière dans l'un et dans l'autre polyèdre.

Il en est de même des faces ABF, abf^ communes aux polyèdres et aux tétraèdres GABF et gabj\

La similitude des faces DEFG et defg se rapporte au second cas, parce qu'elles sont respectivement formées (les triangles DEG et EFG, deg et efg^ appartenant aux pyramides GABCDE et GAEF, gabcde et gaef^ dont

(i) Pour aider le lecteur à concevoir les pyramides comprises dans chacun des polyèdres, j'ai placé la première la lettre qui désigne le sommet; les autres font connaître la base.

l()/4 ÉLKMEîNTS

les deux premières sont semblables aux deux dernières. Il en sera de même des faces BFGC et f]fgc , composées des triangles BCG et BFG, hcg et bfg^ appartenant aux pyramides GABCDE et GABF, gabcde et gabf.

Un semblable raisonnement prouverait la similitude de toutes les faces des polyèdres, en quelque nombre qu'elles fussent. •

On s'y prendra de mùme pour reconnaître l'égalité des angles dièdres que ces faces comprennent. Les uns sont égaux parce qu'ils sont communs aux polyèdres et à deux pyramides semblables : tels sont les angles GDEA et gdea^ faisant partie des polyèdres et des pyramides GABCDE et gahcde\ tels sont encore les angles GEFA et gefa^ appartenant aux tétraèdres GAEF et gaef.

Les autres angles sont égaux parce qu'ils sont' formés de la réunion d'un même nombre d'angles égaux comme appartenant à des pyramides semblables : tels sont les angles BFAE et hfae^ composés respectivement des angles BFAG et GFAE, hfag et gfae^ appartenant aux pyra-mides (iABF et GAEF, gabf el gaej\ Le même raisonnement aurait lieu, quel que fût le nombre d'angles des polyèdres. Il pourrait arriver que ces angles fussent composés de plus de deux angles des pyramides , mais la démonstration ne changerait pas dans ce cas : on remarquera d'ailleurs son analogie avec celle du n° 88, qui se rapporte aux polygones.

THÉORÈME

243. Lorsque deuoç polyèdres sont semblables , ils peuvent être partagés en un même nombre de tétraèdres semblables et semblablement disposés.

Démonstration, — Il est d'abord évident que si, dans les faces semblables des polyèdres proposés, on joint les angles homologues par des diagonales, on formera sur ces faces un mémo nombre de triangles semblables et

semblableiuent disposés. Choisissant ensuite sur les deux corps deux faces semblables, et prenant dans chacune un angle homologue pour le joindre à tous les autres angles du corps dont il fait partie, les polyèdres proposés seront partagés en un même nombre de tétraèdres sem* blablement disposés, et dpnt toutes les bases seront semblables.

Ces tétraèdres pourront se diviser eu deux classes. Les uns auront deux faces communes avec les polyèdres , et comprenant entre elles des angles dièdres égaux comme appartenant aux polyèdres : ils seront donc semblables. Dans cette classe sont les tétraèdres GCDE et gcde^ dont les faces GDC et GDE, gdc et gde sont semblables comme triangles homologues des faces semblables DEFG et defg des polyèdres, et comprenant les angles dièdres CGDE, cgde qui appartiennent aux polyèdres.

Les tétraèdres de la seconde classe sont composés de faces homologues des tétraèdres de la première, et comprenant des angles formés par la dilïerence d'angles égaux de ces tétraèdres , et d'angles égaux des polyèdres. De ce nombre sont les tétraèdres GAEC, gaec. En efl'et, la comparaison des tétraèdres GCDE et gcde, dont la similitude a déjà été démontrée , prouve que les triangles GEC et gec sont semblables , et que les angles dièdres DCGE et dcge sont égaux ^ la comparaison des tétraèdres GABC et gabc^ <jui ont aussi deux faces communes avec les polyèdres, savoir, BCG et ABC pour le premier, bcg et abc pour le second, prouve la similitude des triangles ACG et acg^ ainsi que l'égalité des angles dièdres BCG A et èc^a. Maintenant, si, des angles dièdres BCGD et bcgd^ égaux puisqu'ils sont formés par des faces homologues des polyèdres, on retranche respectivement les angles DCGE et dcge , BCGA et bcga , dont on a déjà montré l'égalité, lés angles dièdres restants, ACGE et acgc j seront égaux ; par conséquent, les tétraèdres GAEC

l66 ÉLÉMKISTS

et gaev seront semblables. De pareilles considérations rendraient évidente la similitude de tous les tétraèdres qui n*ont pas deux faces communes avec les polyèdres.

U est bon de remarquer la similitude des triangles ACG et cLcg^ formés par les diagonales des polyèdres, parce qu'il en résulte que le^ sommets des angles polyèdres, A, (t, C, a^g^ c, homologues dans des faces semblables, sont serablablement placés, les uns par rapport aux autres , dans tous les plans qui ies joignent , et qui sont eux-mêmes semblablement placés et également inclinés par rapport aux faces qu'ils rencontrent. On en conclut que les sommets de ces angles sont semblablement placés dans les deux corps, ainsi que par rapport aux faces homologues , et sont, par conséquent, homologues dans les corps. Cette démonstration est entièrement analogue à celle du n° 89, relative aux polygones.

THÉORÈME

244. Les arêtes homologues des polyèdres semblables sont proportionnelles y ainsi que les diagonales des

faces homologues et les diagonales intérieures aux polyèdres.

Démonstration, — En eflet, si Ton compare successivement les faces homologues BCGF et bcgf et les triangles A(iC et agc^ on aura ces deux suites de rapports égaux :

BC: bc :: bf : bfw ¥G:/g:: BG :bg :: GCi^t, GC : gc :: \C: ac :: ag : ng,

qui se lient (»ntre elles par le rapport commun (iC : gc , et que l'on combinerait de même avec les suites de rapports égaux déduits de la comparaison des autres faces homologues.

245. Remarque. — Je n'entrerai dans aucun détail sur la mesure de Taire des surfaces qui termineur le5

># DE GÉOMÉTHIK. 1 67

polyèdres, puisqu'elles se composent de figures planes, que Ton évaluera par les propositions de la IP section de la F*^ partie. J'observerai seulement cjue la somme des aires des parallélogrammes qui enveloppent un prisme, sans y comprendre les deux bases, est égale au produit de l'une des arêtes AF, BG, CH, etc., de ce prisme {Jlg- 128) , par le contour de la section LMNOP, faite par un plan qui leur est perpendiculaire. En eliet, il suit du n*196, que les côtés LM, MN, NO, etc., de cette section, sont les hauteurs des parallélogrammes ABGF, BCHG, CDIH, etc., en prenant pour bases les arêtes AF, BG , (]H, etc. : on aura donc

ABGF = ÂFXLM, BCHG=:BGxMN, etc.;

et comme les arêtes AF, BG , etc., sont égales entre elles, la somme des aires des parallélogrannnes qui enveloppent le prisme sera égale à Tune d'elles , multipliée

par LM -|- MIN -h

THÉORÈME

246. Les aires des polyèdres semblables sont entre elles comme les carrés des arêtes homologues.

Démonstration , — Chacune des faces du premier polyèdre est à sa correspondante , dans le second , comme le carré de l'un de ses côtés est au carré du côté homologue de l'autre (ITG)--, mais ces côtés, étant des arêtes homologues des polyèdres, sont, d'un polyèdre à F autre, dans le même rapport (244) : leurs carrés formeront donc une suite de rapports égaux ; et ces rapports étant aussi ceux des faces homologues , il en faut conclure que ces derniers sont égaux entre eux. Par conséquent, la somme des faces du premier polyèdre est à la somme des faces du second comme une quelconque des faces de l'un est à la correspondante de l'autre, ou comme le carré d'une arête du premier polyèdre est au carré de l'arête

ï68 ÉLÉMENTS •

homologue du second. Substituant dans cette proportion, à la place des sommes des faces, les aires totales des polyèdres qu'elles forment, il en résultera que ces aires seront entre elles dans le rapport des carrés des arêtes homologues.

De 1» mesare de» YOlumes.

247. L'espace renfermé par la surface d'im polyèdre., ou occupé par ce corps, est généralement désigné sous le nom de Dolwne (i). Quand on considère un vase ou un corps creux, on désigne encore le volume par le mot capacitc. Parmi des corps de formes très-diflérentes, il s'en trouve d'équivalents en volume ou en capacité , comme il y a des figures planes de formes différentes et d'aires équivalentes (159).

THÉORÈME

248. Deux parallérèpipèdes constinits sur la même base, et terminés supéneurem>ent par le même plan parallèle à leur base, sont équii^alents en volume.

Démonstration, — H y a deux cas à considérer. Dans l'un^ que représentent les deux^g:» i3i, et dont je m'occuperai d'abord^ les parallélépipèdes proposés, AG et A'L , sont renfermés latéralement entre les mêmes plans parallèles AR et DL. Par cet état de choses, il est visible que les prismes triangulaires AEIDHM et BFKCGL sont

Ci) Ce mot, compris par totis ceux qui entendent la langue française, m'a paru préférable au moi solidiié, qui, dans Tusage ordinaire, est employé dans une autre acception. Ce n'est que lorsque îa langue n'offre pas de mots propres à rendre une idée, qu'il peut être permis d'en créer de nouveaux^ ou de détourner de sa signification quelque mot connu. La muN titude des termes techniques étant un des plus grands obstacles qui s'opposent à la propagation d(?s sciences, on ne saurait trop en diminuer Je nombre. Puisque tout le monde comprend ce que c'est que le volume d'un corps, pourquoi le désigner par le mot solidité, qui rappelle plutôt l'idée de la résistance aux dÎTerses causes de destruction?

DE 6É0MJ|^1Ë. 169

égaux (240) ; car les triangleslHB et BFK , qui leur servent de bases, sont égaux (16), à cause des parallèles AE et BF, AI et BK, et les parallélogrammes AEHD et BFGC , AIMD et BKLC sont aussi égaux (238). Si donc on retranche du polyèdre AL, d'une part le prisme BFKCGL, et de l'autre le prisme AEIDHM, les parallélépipèdes restants ABCDEFGH et ABCDIKLM , ou AG et AL, seront équivalents.

Le second cas se trouve représenté dans la ^g^. iSa^ où les deux parallélépipèdes ABCDIKLM et ABCDNOPQ n'ont de commun que leur base inférieure ABCD et le plan qui contient leurs bases supérieures IKLM etNOPQ* On ramène ce cas au précédent en prolongeant les plans ABIR et DCLM , en même temps que les plans ADQN et BCPO,pourformerleparallélépipède ABCDEFGH (239), qui se trouve premièrement équivalent au parallélépipède ABCDIKLM , comme étant renfermé latéralement entre les plans parallèles AK et DL. Le même parallélépipède ABCDEFGH, considéré comme compris entre les plans parallèles BP et AQ, est aussi équivalent au parallélépipède ABCDNOPQ : les parallélépipèdes ABCDIKLM et ABCDNOPQ, ou AL et AP, sont donc équivalents entre eux.

249. Corollaire. — Par le moyen du théorème précédent, on prouve que tout parallélépipède AL dont les arêtes AI, BK, CL, DM sont inclinées sur sa base est équivalent à un autre , AP, construit sur la même base, mais dont les arêtes AN, BO, CP, DQ sont perpendiculaires sur cette base, '^

On peut ensuite transformer ce dernier {fig- 133) eh un autre, ABRSNOTU ou AT, ayant pour base le rectangle ABRS équivalent au parallélogramme ABCD , et dont les arêtes soient encore perpendiculaires sur sa baac ^ car si Ton considère les parallélépipèdes AP et AT comme