AC

; ac

: : cire. AC : cire, ac.

kS!"\aa''\

:ÂC':

; ac

: : cerc. AC : eerc. ac.

Enfin, les cercles étant des figures semblables, les sphères sont aussi des ^corps semblables.

THÉORÈME

309. Les aires des cônes semblables sont comme les carrés des côtés de ces cônes, et leurs volumes comme les cubes de ces mêmes côtés.

Démonstration. — i". Si Fort multiplie par ordre les

Q I 4 RLÉMENTS

rieux proportions {Jig- i40

cire. AC : cire. A'C :: AS : A'S,

.^AS : -i-A's :: AS : a'S,

il viendra

lASXcire.AC: | A'S X eire. A'C :: ÂS' : ÂTs' ,

proportion dont les deux premiers termes expriment les aires des cônes SADR et S'A'D'B' (271).

2**. Si Ton multiplie par ordre les deux proportions

cere. AC : eere. A'C :: ÂS' : Â^' ,

|CS: ^C's :: as : a's,

on aura

j es X eere. AC : | C'S X eere, A'C : : AS* : I^* ,

proportion dont les deux premiers termes expriment les volumes des cônes proposés, SADB, S'A'D'B' (275).

THÉORÈME

310. Les aires de deux cylindres semblables sont comme les carrés de leurs côtés, et leurs ^volumes comme les cubes.

Démonstration. — i". En multipliant par ordre les deux proportions (Jig- i45)

cire. AC : cire, ac :: AA' : aa' (308), A A' : «a' : : AA' : aa' , il en résultera

AA' X eirc. AC : aa' X cire, ac :: AA'^ : aa'^ ,

proportion dont les deux preniiers termes expriment les ainîs des cylindres proposés (280).

->/". Si l'on multiplie par ordre les deux proportions

vcrc. AC : {-(TC. ar y. A\'' l an' (308), AA' : aa' \\ AA' : na' ^

DE GÉOMÉTRIE. il 5

on aura

AA' X cerc. AC : aa* X cerc ac : : AA' : aa^ ,

proportion dont les deux premiers termes expriment les volumes des cylindres proposés (283).

THÉORÈME

31 1 . Les cures de deux sphères sont comme les carrés de leu/*s rayons ou de leurs diamètres, et leurs volumes comme les cubes de ces mêmes lignes.

Démonstration, — Soient R et R' les rayons des sphères proposées , D et D' leurs diamètres , S et S' leurs aires , C et C les circonférences de leurs grands cercles; on aura, i°.

multipliant cette proportion par la proportion évidente

D : D' :: d: d', il viendra

CD : CD' :: D' : d'^

Or CD et CD' désignent les aires des sphères ^298); donc

en observant que D = 2 R et D' = 2 R'.

2^. Si l'on multiplie par ordre les deux proportions

S : S' : : R- : R'% iRi^R':: R :R', on aura

}RS : iR'S' :: R^ : R",

proportion dont les deux premiers termes expriment les volumes dçs sphères proposées (305); et comme

ai6 ÉLÉMENTS

R' : R''* :: 0=* : D'% ou aura pareillemeut

3i 2. Remarque. — On compare ordinairement la sphère avec le cylindre circonscrit, c'est-à-dire avec le cylindre FGG'F' [fig* i5o) , dont les bases sont égales au grand cercle de la sphère OCC, et dont la hauteur FF' est égale au diamètre de cette môme sphère. L'aire de ce cylindre étant mesurée par FF' X cire. FC (280) , est égale à celle de la sphère (298) , puisque FF' = CC, et cire. FC = cire. CO.

Le volume du même cylindre, exprimé par FF' x cerc. FC (283), étant comparé h celui de la sphère, mesuré par fCC'xcerc.CO (305), il en résulte que ce dernier n'est que les deux tiers de Tautre.

CONCLLSION.

313. Je n*ai donné dans ce qui précède que les propositions nécessaires à la mesure des aires et des volumes; mais la manière d'effectuer les multiplications prescrites par les énoncés ou formules générales , qui complète les règles du toisé tant des surfaces que des corps, est suffisamment indiquée dans les art. vin et suivants du Supplément au Traité élémentaire d* Arithmétique, placé en tête du présent Ouvrage. Pour connaître la théorie des intersections des plans et des surfaces courbes qui forme le Complément des Éléments de Géométrie envisagés dans toute leur étendue, les lecteurs pourront recourir aux Essais de Géométrie sur les plans et les surfaces courbes (ou Éléments de Géométrie descriptis^e)^ ô*' édition.

Quant aux corps réguliers , ou polyèdres terminés par des polygones réguliers égaux formant des angles dièdres égaux, ils sont traités avec beaucoup de détail dans la Géométrie de Lcgendre. Je me bornerai à montrer ici

que le nombre de ces corps ne saurait surpasser cinq , et qu'ils ne peuvent être formés que par des triangles équilatéraux, ou des carrés, ou des pentagones. Cela se voit en observant que puisque la somme des angles plans qui composent un angle polyèdre doit être moindre que quatre droits (226), on ne peut, avec trois hexagones seulement, former un angle trièdre-, car la somme des trois angles plans serait alors égale à quatre droits (82) : à plus forte raison , ne saurait-on employer plus de trois hexagones ou des polygones d'un plus grand nombre de côtés. Il suit de là que l'on peut assembler trois, quatre ou cinq triangles équilatéraux pour former chaque angle polyèdre , et seulement trois carrés ou trois pentagones , ce qui fournît en effet cinq corps.

Celui dont les angles sont trièdres et les faces triangulaires , est le tétraèdre régulier, formé de quatre triangles équilatéraux {fig* i52).

1.^ octaèdre régulier a ses angles tétraèdres , et est formé par huit triangles équilatéraux [fig> i53).

JJ'ùocaèdre a ses angles pentaèdres , et est formé par vingt triangles équilatéraux (Jig' i54).

h^héxaèdre ou cube a ses angles trièdres , et est formé par six carrés égaux (/ig- i55).

Le dodécaèdre a aussi ses angles trièdres , et est formé par douze pentagones (fig* i56).

FJN