AM H- AU- IM <BM 4- BI + AM 4- AI

Or les arcs AM et BM forment la demi-circon£érence ACB, les arcs AI et BI la demi-circonférence AIB, égale à la première (286) : les quatre arcs réunis composent donc une circonférence de grand cercle , laquelle surpasse, par conséquent, la somme des côtés du triangle MAI.

Il est facile de voir que cette proposition résulte aussi des iiP' 226 et 288.

THÉORÈME

292. Si y par le centre d'un cercle quelconque D(xFH, (racé sur la sphère, on élève une perpendiculaire AE, elle passera par le centre de la sphère , et la coupera en deux points A e^ B , dont chacun sera également éloigné de tous ceux de la circonférence DGFH.

Démonstration. — En eflet, il est évident, par le

' n^ 200, que la perpendiculaire AE doit passer par une

suite de points tels, que chacun soit a égale distance des

points de la circonférence DGFH, décrite du pied E de

<;elte perpendiculaire comme centre. Or le point O,

aOO ÉLÉMENTS

centre de la sphère , ayant la même propriété , doit , par conséquent, se trouver sur AE, et les points A et B, on AE rencontre la sphère , doivent être chacun à égale distance des points de la circonférence DGFH : bien entendu que la distance de ces derniers au point A n'est égale à leur distance au point B que quand le point E tombe en O, ou qu'il s'agit d'un grand cercle CILK.

11 est visible que les arcs AD, AG, AF, AH ayant pour cordes les distances du point A à chacun des points de la circonférence DGFH , et étant pris sur des grands cercles qui ont tous même rayon, sont égaux.

293. Corollaire. — 11 suit de ce qui précède que les points A et B peuvent servir à décrire le cercle DGFH, sans qu'il soit besoin de connaître son centre , placé dans l'intérieur de la sphère , puisqu'il suffit de marquer tous les points dont les distances au point A ou au point B , mesurées sur la surface sphérique par les arcs de grand cercle AD et AG ou BD et BG , sont égales à celle que l'on a choisie pour décrire le cercle proposé.

Les points A et B se nomment', en conséquence, les pôles du cercle DGFH , et la droite AE en est Vaxe.

THEOREME.

294. Le plan mené par un point de la surface de la sphère, perpendiculairement au rajon qui passe par ce point, est tangent à la sphère^ et i-éciproquement , le plan tangent à un point quelconque de la surface sphérique est perpendiculaire à V extrémité du rayon .

Démonstration, — Le plan AB [fig. *5o), étant perpendiculaire sur le rayon OC, au point C, a tous ses autres points plus éloignés du centre O de la sphère que ne Test le point C , puisque les obliques quelconques OD, OE, etc., sont plus longues que la perpendiculaire OC (200) : donc les points D, E, etc. , sont hors de la

I)K GÉOMÉTRlt:. 20 f

sphère, et le plan AB, n'ayant qu'un seul point C de commun avec la surface de cette sphère , lui est tangent. , Réciproquement, le plan tangent à la sphère en C ne peut être que le plan AB, perpendiculaire sur le rayon OC-, car ce plan n'ayant de commun avec la sphère que le point de contact C , et tous ses autres points étant plus éloignés du centre que celui-ci , il s'ensuit que le rayon OC est la plus courte ligne qu'on puisse mener du centre au plan tangent, et que, par conséquent, il est perpendiculaire à ce plan.

THÉORÈME

295. Si Ton inscrit et si l'on circonsciit à un arc quelconque iVun derrù'-cercle deux portions de polygones réguliers du même nombre de côtés ^ et qu^on fasse tourner le demi-cercle autour de son diamètre , avec les ponions de polygones, il sera toujours possible de rendre la différence entre Vaire du corps décnt par la portion inscrite, et l'aire du corps décrit par la portion circonscnte, aussi petite qu'on voudra.

Démonstration, — L'aire du corps décrit par la portion de polygone abcd (Jig, i3i )? quand elle tourne avec l'arc ad autour du diamètre ap , se compose des aires que décrit en particulier chacun de ses côtés. Le premier ab décrit un cône entier , et les autres des troncs de cône ayant pour bases les cercles engendrés par les per^ pendiculaires be^ cj\ dg^ abaissées des points £, c, d sur l'axe aO (267). L'aire de l'un de ces corps, de celui que décrit cd par exemple, s'obtient en abaissant du milieu de ce côté , sur aO , la perpendiculaire Iq^ et est égale à cd X cire. Iq (272); mais cette expression peut être transformée en une autre ne ^contenant pluç le facteur cire, /y, qui change à chaque cône. Pour cela, on abaisse cr perpendiculaire sur dg^ on lire 10 j et les

20'à KLKMtNTS

triangles ilcr et «y/O, semblables coiiime ayant les colés

perpendiculaires chacun à chacun (65), donnent

cd : cr y, /O : fq» '

Mais cr est égal à fg^ et les circonférences des cercles étant entre elles comme leurs rayons , on peut substituer au rapport de 10 à Iq celui des circonférences de cercle dont ces lignes seraient les rayons , et Ton aura

cd : fg :: cire, /o : cire, if/ y

d'où Ton conclura

cd X cire. Iq riz/g'X cire. /O ;

donc Faire du cône décrit par cd aura aussi pour expression ^g: X cire. /O, c'est-à-dire le produit de sa hauteur par la circonférence du cercle inscrit au polygone dont son côté fait paitie . Il en est de même des aires des cônes décrits par les autres côtés et dont les hauteurs sont ef et ae. La circonférence du cercle inscrit étant un facteur commun à toutes ces aires, leur somme, ou l'aire du corps décrit par la portion abcd du polygone inscrit, sera donc égale à la somme des lignes fg^ ef ac, c'està-dire à la partie ag de l'axe comprise entre l'extrémité a du premier côté et la perpendiculaire abaissée sur cet axe par l'extrémité du dernier coté , multipliée par la circonférence du cercle inscrit , ou à «gf X cire, /O.

Par la même raison , l'aire du corps décrit par la portion ABCD du polygone circonscrit aura pour expression AG X cire. LO. Cette dernière quantité surpassera toujours la première, d'abord parce que cire. LO sera toujours plus grande que cire. /O, ensuite parce que AG surpasse ag. En effet , on a

AG = ^G 4- ka et ngz=z aO -^^Qg,

d'où il résulte

A G — a g = Aa — G^ = Dd — G^' ,

DE GÉOMÉTRIE. îio3

ptusquc ha == Drf; mais îl est visible que Gg <^ Dr/, et qu'on peut rendre ha ou Drf aussi petit qu'on voudra , en multipliant suffisamment le nombre des côtés des polygones : il en sera donc de même de la différence des lignes D^ et Gg", nécessairement moindre que la plus grande de ces lignes. Par conséquent , AG surpassera toujours ag^, et pourra en approcher d'aussi près qu'on voudra (i). Dans cette circonstance, LO et /O s'approchant également de plus en plus, cire. LO diffère de moins en moins de cire. /O : on pourra donc rendre la différence AG X cire. LO — ûgf X <^îrc. /O moindre qu'une grandeur donnée , quelque petite qu'elle soit , en considérant cette différence comme celle de deux rectangles dont les bases et les hauteurs peuvent être aussi près que l'on voudra de l'égalité.

296. Corollaire, — L'expression AG — ag = Dd — Gg montre aussi que AG diminue en même temps que Drf, car la hauteur ag est commune à tous les polygones inscrits à l'arc ad'^ et LO demeurant aussi le même, il en résulte que l'aire du corps décrit par la portion ABCD diminue en se rapprochant de la sphère. L' augmentation de 10 dans la même circonstance prouve que l'aire du corps décrit par abcd croît alors, et que, par conséquent, l'aire de la portion de sphère décrite par oLd est moindre que celle du premier de ces corps , et plus grande que celle du second. Il suit de là qu'on peut assigner deux corps de ce genre, dont l'aîre diffère aussi peu que

(i) Le triangle DOG donne (^9)

ce qui prouve encore que G^ < Dd, puisque gO n'est que Fun des côlea du triangle rectangle dont dO est Thypolénuse. De plus, le point g étant rcxtrémité commune de toutes les portions de polygones inscrits à Tare adf les lignes ^O et dO ne changent point, non plus que leur rapport: G^;^ diminua donc en mémo temps que T)d.

ao4 ÉLÉMENTS

Ton voudra de celle de la portion de la sphère décrite pai

Tare.

THÉORÈME

297. L'aire de la portion de sphère y ou calotte sphérique , décrite par un arc qui ne surpasse pas le quart de la circonférence du cercle générateur , est égale au produit de cette circonférence par la partie du diamètre qm mesure la hauteur de la calotte.

Démonstration. — Soit X la vraie mesure de Taire décrite par Tare ad-^ en la comparant à celle du corps décrit par la portion de polygone circonscrit ABGD , on aura les trois quantités

AG X cire. LO , ag X cire. LO , et X ;

la première étant toujours plus grande que les deui autres, dont elle peut approcher d'aussi près que Von voudra, on en conclura , par le n** 186,

X = agX cire. LO.

298. 1®*^ corollaire, — Il suit de là que l'aire de la sphère entière a pour mesure le produit de son diamètre par la circonférence d'un grand cercle, c'est-à-dire ap X cire. LO. En effet , le théorème précédent s'applique au quart de cercle «L/ri, et donne aOxcirc. LO pour l'aire de la demi-sphère qu'il engendre en tournant autour de l'axe «O; pour le second quart de cercle pnm^ on a de même ^O X cire. LO ; la somme de cette quan-* tité et de la précédente est

(aO -^-pO) cire. LO = apX cire. LO.

En général, l'aire d'une portion quelconque de la surface sphérique comprise entre deux plans parallèles, ou d'une zone^ est égale à la hauteur de cette zone , ou à Ii( distance perpendiculaire des plaiisqui la terminent, multipliée par la circonférence d'un grand cercle j, car si de

DE GÉOMÉTRIE. ^ ao5

la calotte décrite par Tare aLm , et dont Fafre est mesurée par aOxcirc.LO, on retranche la calotte décrite par l'arc. aLrf, et dont l'aire est mesurée par ag X cire. LO , on aura

(aO — ag) cire. LO = Og" X cire. LO,

pour l'aire de la zone décrite par l'arc dm.

On trouverait d'une manière analogue que la zone décrite par l'arc mndoit être exprimée parOo X cire. LO ; et en ajoutant ce produit à Og'Xcirc.LO, on aurait, dans le résultat (Oo -h Og) cire. LO = ogf X cire. LO, l'expression de Taire de la zone décrite par l'arc dmn , laquelle comprend le centre de la sphère.

299. 2® corollaire, — 11 suit encore de ce qui précède , que Taire de la surface sphérîque est quadruple de celle de son grand cercle •, car l'aire de ce dernier est exprimée par ^CR, si Ton désigne sa circonférence par C et son rayon par R (187). Mais nommant D le diamètre, on aura R = ^D^ et, par conséquent, ^R = jD; d'où l'on tirera jCD pour l'aire du grand cercle, résultat qui n'est en effet que le quart du produit CD , par lequel se mesure Taire de la sphère (numéro précédent).

THÉORÈME

300. L'aire de la portion ACBIA (fig. i48) comprise entre deux grands cercles qui se coupent, et que l'on nomme fuseau sphérique , est à la surface de la sphère comme Tare CI du cercle CILK, perpendiculaire à Vin^ tersection commune des plans BCA e^ BIA, est à sa circonférence, ou comme l'angle plan qui mesure leur angle dièdre CABI est à quatre droits.

Démonstration. — La proposition est évidente lorsque Tare CI est partie aliquote de la circonférence CILK 5 car si Ton conçoit cette circonférence divisée en effet dans ses parties aliquotes , et que, par les points A , B et par les

ao6 • ÉLÉMENTS

points de division on mène des grands cercles , la surface sphërique sera partagée en autant de fuseaux égaux à ACBIA que le cercle CLLK contient de parties ^ puisqu'il est visible que deux fuseaux de la même sphère sont égaux lorsque les plans des cercles qui les déterminent font le même angle dièdre.

Quand l'arc CI n'est pas aliquote de la circonférence, on prouve, par un raisonnement analogue à celui du n** 1 09 , que le rapport du fuseau ACBIA à la surface entière de la sphère ne peut être ni moindre ni plus grand que celui de l'arc CI à la circonférence CILK.

Le plan CILK étant perpendiculaire à la droite AB, Tangle plan COI mesure évidemment l'angle dièdre CABI; et puisque le rapport de cet angle à quatre droits est le même que celui de l'arc CI qui le mesure avec la circonférence CILK (HO), il s'ensuit nécessairement que Tangle COI est à quatre droits comme l'aire du fuseau ACBIA est à celle de la sphère.

THÉORÈME

301 . UcUre d'un triangle sphérique est à celle de la sphSre entière comme la différence entre la somme des trois angles dièdres formés par les cercles qui composent ce triangle et deux angles droits est à huit angles droits.

Démonstration. — Les trois cercles ACBL, CILK et MIFK, qui forment le triangle sphérique CIM, partagent la surface sphérique en huit triangles, parmi lesquels CKM et FIL sont égaux , ainsi que l'on peut s'en convaincre en remarquant que les angles trièdres OCKMet OFIL auxquels Us correspondent (288) ont toutes leurs parties égales (i). Cela posé, en désignant la surface de la sphère

(i) Légalité des parties de ces angles trièdres prouve bien celle des parties des triangles sphcriquos; mais il est facile de voir que les côtés de

par S, et l'angle droit par D , Faire du fuseau ICRMI aura pour expression (numéro précédent)

S X angl CIKM 4D '.

et comme ce fuseau est composé des triangles CIM , CKM , on aura

Taire du fuseau MIFAM étant

S X angl IMFA

on trouvera

enfin, le fuseau CILBC, dont l'aire est exprimée par

SXanglICLB 4D '

ces triangles ne sont pas assemblés de la même manière, et qu^on ne peut , par conséquent, les appliquer Tun sur Tautre (225).

Cavalleri, à qui Ton doit la proposition ci-des&us (Directorium générale uranometricum; Bononiae, i63a, page3i6), et les auteurs qui Tont suivi ont regardé Pégalité des triangles sphériques dont les cdtés sont égaux chacun à chacun comme analogue à celle des triangles rectilignes , sans Caire attention qu^on ne pouvait pas retourner la surface sphérique comme le plan ; mais au fond cette difficulté est plus apparente que réelle, et il y a plusieurs nuinières de se convaincre de Tégalité des aires des triangles dont il s^agit En voici dVilleurs une démonstration.

Si par les sommets des angles de chacun des triangles proposés on fait passer un cercle, et que par son pôle on mène des arcs de grand eerde aux angles des triangles proposés, ces arcs seront égaux (895); on formera par ce moyen sur chaque côté des triangles proposés un triangle sphérique isocèle. Les triangles rectilignes formés par les cordes des côtés des triangles sphériques proposés étant égaux (99), les cevelès dolut on vient de parler seront aussi égaux (119), et auront leurs pôles placés aux mêmes distances de leur circonfért^nce ; par conséquent, les trois triangles sphériques isocèles du premier des triangles proposés seront évidemment égaux aux droits du second, chacun à chacun, et les aires des triangles pro|H>sés seront formées de la même manière avec celles des nouveaux triangles.

ao8 K:léments

donnera

aM4-MIL = «-><f"-f;-ï^^».

Si Ton met à la place du triangle CKM son égal FIL,

et qu'on ajoute ces expressions , en observant que

CIM -h CIF -h FIL -h MIL composent la moitié de la

surface sphérique située en avant du plan ÂCBT. , ou

V hémisphère lACBL , il viendra

g 2 CIM -h T S = ,-g (angl CIKM -+- angl IMFA + angl ICLB).

Les trois angles dièdres CIKM, IMFA, ICLB sont évidemment ceux que forment en Ire eux les plans des côtés du triangle sphérique CIM 5 et, pour abréger, je les désignerai par une seule lettre de leur arête, savoir, celle qui se trouve à l'intersection des deux côtés du triangle : de cette manière les angles CIKM, IMFA, ICLB seront respectivement les angles I, M, C, et, par conséquent ,

2 CIM 4- i S = ^ (I -h M-j- C).

Retranchant de part et d'autre f S , on obtiendra

.CIM = i(il^MH:C).S; 4D

réduisant ensuite au même dénominateur tous les termes de cette expression de 2 CIM, et prenant la moitié du résultat , il viendra

S(I4-M-+-C-2D) CIM = g-j^-

ce qui donnera

CIM:S :: i4-M-t-c — 2D :8d(i).

(i) Les angles 1 , M et C sont les angles mômes du Iriangle sphérique. {Voyes le Traité élémentaire de Trigonométrie et d'application de PAlgèhre à la Géométrie, chap. 11 . )

DE GÉOMÉTRIE. ^Ot)

THÉORÈME

302. Si, par les extrémités des portions correspondantes de polygones réguliers, inscrites et circonscrites au même arCj on tire deux rayons, on formera deux secteurs polygonaux qui, en tournant autour de l'un de ces rayons, engendreront des volumes' dont la différence peut dei^enir aussi petite qu on ^voudra, lorsqu'on multipliera suffisamment le nombre des côtés des polygones.

Démonstration. — En tî ranlles rayons BO, CO{fig» 1 5 1 ), on voit que le corps engendré par la figure abcdO^ en tournant autour de l'axe aO, se compose de ceux qu'engendrent les triangles abO , hcO , cdO , et qu'il faut évaluer séparément. Cela posé, si l'on abaisse sur aO la perpendiculaire be , on reconnaîtra que la corde ai et le rayon Oi, en tournant autour de «O, engendrent deux cônes ayant l'un et l'autre pour base le cercle décrit par la perpendiculaire be : la somme de leurs volumes , ou le volume du corps engendré par le triangle abO , sera donc exprimée par {aO X cerc. be (27S). Cette expression se transforme en une autre où ne se trouve plus le cercle be. On observe d'abord que Faire du cône engendré par la corde ab 9 pour expression ^ a J X cire, be (271); on a aussi (187)

cerc. be=:\ be^ cire, be ,

et il résulte de là

aire du cône ab : cerc. be : : ^abyc^ cire, be \ 1 èr X cire, be^

W ab \ be^

en divisant les deux termes du second rapport par ^ cire, be. Si maintenant on abaisse 0/i, perpendiculaire sur ab^ et que Ton compare entre eux les triangles abe et ahO semblables , puisqu'ils sont rectangles l'un et l'autre , et qu'ils ont de plus un angle commun en rt, on obtiendra la pro- GEOMRT&iE, i6* cdit, i4

2IO KI.KMKNTS

portion

ah : hf :: r/O : O//,

où se trouve riicoie le rapport (th \ ac^ ainsi

aire du cône ah : cere. bc \\ nO : Oh ,

et , par eonséquenl ,

^'^ il

cerc. oc z=: -— X ane du cone^/^.

Par le moyen de eette expression, le volume du <!orps engendré par le triangle afeO, et égal à \aO X cerc. be^ deviendra

-^O^ X aire du cône ab-,

d'où il résulte que le ^volume d'un corps {iccrit par un triangle qui tourne autour de Vun de ses côtésy a pour mesure le tiers de l'aire du cône engendré par l'un lie ses deux autres côtésy multiplié par la peipendiculaù^ abaissée sur ce côté, de l'angle opposé.

A regard du second triangle icO, il faut prolonger bc jusqu'à la rencontre de KD; et, d'après ce qui précède, le volume du corps engendré par le triangle ctO étant ~ Oi X aire du cône cf , tandis que celui du corps engendré par le triangle btO est '^Oix aire du cône bt^ la différence de ces expressions ou la mesure du corps engendré par le triangle bcO sera visiblement égale à jOz X la différence entre l'aire du cône et et celle du cône bt^ différence qui est précisément l'aire du cône tronqué décrit par le côté bc. Les mêmes raisonnements prouveraient aussi que le volume du corps engendré par le triangle crIO est mesuré par ^0/ X aire du cône tronqué décrit par cd. En continuant ainsi de proche en proche et en observant que les perpendiculaires 0/î , Oz, O/, etc., sont toutes égales, on voit que, quel que soit le nombre des côtés ah^ bc, cd ^ elr., le volume du corps engendré par le secleur polygonal ahcdO aura pour mesun^ ^ 0/ X la somme

DK GÉOMÉTIUK. .2 I 1

des aires décrites par les côtés ab^ bc ^ cd^ etc., somme qui n'est autre chose que l'aire décrite par la portion de polygone abcd.

En appliquant ce résultat au secteur polygonal circonscrit ABCDO, on trouvera que le volume du corps qu'il engendre est égal à jOL X aire décrite par la portion de polygone ABCD; et comme il a été prouvé (295) que les aires décrites par les portions correspondantes de polygones réguliers , inscrits et circonscrits , peuvent s'approcher d'aussi près qu'on le voudra, tandis que la différence des apothèmes OL et Ol diminue sans cesse, il en résiilte évidemment que les volumes engendrés par le secteur polygonal inscrit et par le secteur polygonal circonscrit, correspondants, tendent aussi sans cesse vers l'égalité , et peuvent en approcher aussi près qu'on voudra.

303. Corollaire, — Il est visible que le corps décrit par le secteur circulaire aLrfO, et qu'on nomme secteur sphé-^ rique, est moindre que le corps décrit par le secteur polygonal circonscrit, ^t plus grand que celui que décrit le secteur polygonal inscrit. Il suit donc du théorème précédent , que la différence entre le volume du premier corps et celui de l'un quelconque des deux autres peut être rendue aussi petite que l'on voudra , en multipliant suffisamment les côtés des polygones.

THÉORÈME

304-. Le "volume d'un secteur sphérique est égal à Vaire de la calotte sur laquelle il s'appuie, multipliée par le tiers du rayon ou à ^SR, S désignant cette aire et R le rayon .

Démonstration. — Si P représente Taire décri le [)ar la portion de polygone circonscrit ABCD, le volume du corps engendré parle secteur polyi^OMal AIK'DO sera (302)

' 1*XtO% ou ^Plli

21 a ÉLÉMENTS

nommant a rordinaire X la vraie mesure du volume du secteur sphérique, on aura les trois quantités 7PR, f SR et X placées dans les circonstances du n^ 186, et l'on en conclura nécessairement X :^ j SB.

Il est évident que l'on connaît par ce résultat le volume du secteur sphérique , puisque son aire S est celle de la calotte décrite par l'arc ad.

305. I®*" coroîlaii^, — Il suit de là que le volume de la sphère est égal à son aire multipliée par le tiers du rayoti) puisque si l'on prend, au lieu de Tare ad^ le quart de la

. circonférence ou «w, le secteur sphérique deviendra égal à la demi- sphère , parce que le rayon mO, perpendiculaire sur ûO, décrira un plan qui partagera la sphère en deux également , et l'on aura pour la moitié ou l'hémisphère supérieur -J S X \niO^ en prenant S pour Taire de la sphère entière: réunissant les deux moitiés ^ le total S X î TnO sera le volume de la sphère.

L'aire de la sphère étant égale à quatre fois celle d'un de ses grands cercles , ou à quatre cercles , son volume deviendra | R X cercle , ou | D x cercle , c'est-4-dire que le volume de la sphère est égal à faire de son grand ceivle, multipliée par les deux tiers du diamètre.

306. 2^ corollaire. — Si l'on voulait obtenir le volume engendré par un secteur aOn , plus grand que le quart de cercle, on retrancherait de la sphère entière le secteur engendré par nOp , et égal à j mO X aire de la calotte décrite par l'arc np\, la différence serait \mO multiplié par la différence entre l'aire entière de la sphère et celle de la calotte décrite par np , différence qui est l'aire décrite par l'arc amn^ ou celle de la calotte qui sert de base au secteur proposé.

307. '6'' corollaire. — Le volume de la portion de sphère engendrée par le demi-segment circulaire ahdg^ et que i'ou nomme segment spliérifflke , s'obtiendra en reIran-

DE GÉOMÉTRIE. ai3

chant du volume du secteur sphériquc décrit par le secteur circulaire aLelO^ celui du cône décrit par le triangle dgO,

Quant au volume renfermé entre la zone engendrée par l'arc dLc et les plans que décrivent les perpendiculaires dg, cf, on l'obtiendra en retranchant le segment sphérique décrit par le demi-segment circulaire ocf, de celui que décrit adg.

De la comparaison des corps ronds*

308. Les corps ronds semblables sont ceux qui sont engendrés par des figures semblables : tels sont les cônes SADB çt SA'D'B' (fig- i40î engendrés par les triangles semblables ACS, A'C'S.

Il suit du n? 267 , que les côtés , les hauteurs et les circonférences des bases des cônes semblables sont proportionnels , et que les aires de leurs bases sont comme les carrés de leurs lignes homologues.

Les cylindres ADB A' D' W et adba'd'b' {Jig, i45), engendrés par les rectangles semblables ACC'A', ace' cl ^ sont aussi semblables; et la similitude de ces figures donnera encore les rapports égaux

AA' : aa' \ \