PROBLEME
22. Connaissant les rayons de courbure de trois sections normales d'une surface en un point donné de celte surface, et deux des trois angles que les plans de ces sections fout entre eux , trouyer la COurbe du second degré ^li est
On aarâ donc pour rayons de courbure principaux de Té* lément de surface ^ ou pour rayons de courbure de la sur^* face au point que Ton considère, les droites FSelFs^ que nous ayons toujours désignées , dans cet appendice f par les lettres r et R. Il est bien évident que si ces deux rayons sont connus on a ^ pour construire la^courbe du second degré , les deux foyers et la longueur de l'axe principal sur lequel se trouyent ces deux foyers.
Cette courbesera encore déterminée lorsqu'on aura (a** cas, art. 21 ) l'un des rayons principaux y F S , par exemple y un autre rayon FM et l'angle S F M de ces deux rayons; car on aura pour déterminer un point K de la directrice , les proportions suivantes :
FS:FM;:SA:MG V.KSiKM^ MG^SAxSA llKM^KSzJCS} Donc; KSxsSA><,SM : M G-^SAÊ.
Connaissant le point JiC , la perpendiculaire K A abai$« sée de ce point sur le rayon douQé JP«S, sera la directrice.
Le troisième cas ( art. 21 ) à considérer est celui o& Ton donnerait les deux rayons de courbure F My F m et les deux angles M F A , m FA , qu'ils font ayec le rayon principal F S perpendiculaire à la directrice K H. On aurait dans ce cas les proportions suivantes : Fm\ FM \ : mg : MGf
ce qui détermine un point G de la directrice , et par coU'séquent la directrice QAK perpendiculaire au rayon principal dont la direction est connue.
Enfin le caa le plus simple et le premie/^ ( art. 21) serait celui ou l'on connaîtrait les deux rayons principaux F S et F s y représentés par les lettres il et r; on aurait fe
feyer et. te grand axe d*ane section conrqae , pour eons« traire cette section ; ce qui ne présenté aueone difBettlté.
2^. Supposons que les deux rayons dé courbure donnés ( S* oas , artb 25) correspondent i deux tangentes véorpro-^ (p^ c'ëst-à-dlre, que ces rayons appartiennent aux seeiioQS normales qui passent pat les tangentes réciproques^ (art. 16);. l'un de ces rayons étant F 7n( fig. 12) ^l'antre iera nécessairement d^xne longueur égale à mf^ telle quela lomme de ces rayons on leuc déférence est ^ale (afrt. 1 9) à l»^ tomme jPiS -f- Jf'^ , ou S la différence Fs — P^. Où con* ialt par hypothèse Fangle SFm du rayon principal FSy et ia rayon Fm :■ donc si du po4nt m comme centre arec m/ fwxtrujom^ >en.déerit vm arade cerisle qui coupe W droite FS au point y^ on connaîtra les deux foyers JPy/et l'axe Ss^ de Iffnoikiid^ ^ ms*
Si Vont donnait les deux gayons> priagipam FS»Fs et «a sa^on qM^t^Bq«ie f^meorrespondani à l'une dias tan-^ gefttfis iBétàgtfHj/Hfi^^ y mf serait: le. vayon CQO'respondant à ïaoïtn^ tangent^ le point m^ extrémité d'une droite F m^ jgate et parallèle à m/appar tiendrait a la courBe S m s^ et h moitié d^Jangté mi'Vrz' serait égal à Tangle des tangentea^cééiproqnes.
' ^5: Eersqâe'^ ies^ deux rayons de courbure donnés ( 5* €aSi art.: aS);appartlennent iudes sections normales dont les plans sont perpendiculaires entre eox^ Tua de ces rayons. F m ( fig^ ;iat),.. faisant ayec^ le rayon principal l'angle donné S J^m^^ l'autre est F rri* dans le prolongement iu premier , puisque dans cette courbe Sms , l'angle dedeux rayons yecteurs est douille (art. 5 de l'Appendice } Je Tangle des sections normales dont les rayons de eourbure^^ Kmi égf»ix axes rayons vectenra. On aura donc pour dé^
terminer «a pmnt ZT de la directrice tor le prclongement: de h droite m F ni\ les proportions, taivantes :.
Fm — Fm^^FmilLm—LmfiLm:! ^ '*"*
Fmw^Fm^
TuA perpendîcnlaire L JST abaissée d'un point L sar !£ iS^ est la directrice de la courbe S m s.
26. Conclusion. Soit un ellipsoïde de révolution cscu-^ kteur d'uue surfisice quelconque , dont Tellipse génératrice a pour axes principaux 2 a et a 3 ( le premier a a étant dirigé suivant Taxe de révolution)* Les rayons de courbure prîa-^< cipauz ii et r de Tellipsoïde ^ en un ppint quelconque da
cercle du rayon 6 j sont (art. iS) t- et i , en sorte qm'on a a
Ji = 7- » r=r b j et par conséquent a ;s: r JS r, £=sr.
Les sections normales dont les plans passent par le même point de ce cercle > ont des rayons de courbure qui sont les rayons vecteurs d'une elKpse dont les deminixes prin»
çipaux a' , V sont respectivement égaux h V lir et -■ '' *
Lorsque l'un des rayons de courbure principaux, r par exemple , est négatif , cette ellipse devient une hyperbole dont Taxe transversal et réel est égal à A — r. Taxe ima-^
ginaire étant aV — An La grandeur et ta direction des rayons de courbure principaux A et r en un point déter-^ miné d'une surface quelconque , déterminent donc l'eDij^-^ soîde ou l'byperboloïde osculateur au même point.
