I -^ cas a
12. Lorsqu'ane ligne sera donnée par Tintersectioti de deux cylindres > on déduira de l'équation précédente le rayon de courbure en un point quelconque de la ligne d'intersection. En effet, la tangente à cette ligne ^ et la nor« male à l'un des cylindres, déterminent une section normale de ce cylindre y dont on trouvera le rayon de courbure par l'équation
"^ î 4* cas 2 Jt
Car dans cette équation , r est le rayon de courbure de la section droite dudylindre, et A est l'angle connu des plana qui contiennent les sections normales des rayons r etf. On aura de même pour le second cylindre :
*^ I + cosOkA'
hes cercles de courbure et les rayons de courbure p et p' des sections cylindriques , sont les centres et les rayons de deux sphères 9 dont le cercle d'intersection est le cercle osculateur de la ligne d'intersection des deux cylindres.
On construira de la même manière le cercle osculateur de la ligne d'intersection de deux surfaces développables ^ en un point donné de cette ligne , lorsque les rayons de Courbure r etr' des sections normales à ces surfiicesy dont les plans sont perpendiculaires aux deux droites qui se croisent au point donnée seront connus.
Cothparaùon dés éîémens d'une surface quelconque à ' Vélàmenù d'une surface du seco/id degré,
i5. Lesï'ayons àe coarbure {)rîncîpaux A et r d'an élé* ment de surface étant donnée, on connaît une ellipàe ou une bjpërbole qui aurait ^ t pour l'un de ses axes princi-* paax, et pouk* secôUd axe principal une droite 2a^ telle que le rayon de courbure à rextrémité du premier axe 2 r soit égal à jR. On satiâfait à celte condijtion (art. 8 et 10). €0 supposant
B = --f ou ^s= V Rr.
La cqturbe du second degré , qui à pour axes principaux
2 r et 2 ^R r^étantconsidéréecomme la génératrice d'une
ellipsoïde ou d'un byperboloïde de révolution autour de l'axe
2 ^ Rr , un plan perpendiculaire sur le milieu de cet axe de réTolutîon, coupe la surface ^suivant un cercle du rayon rj À chaque point de ce cercle correspond un élément de sur-* face dont les rayons de courbure principaux sont évidemtaent A et r .; d'où il suit ( art. 3 ) qu'il y a identité entre cet élément et celui de toute autre surface qui a pour rayoniï de courbure principaux les mêmes quantités R etr. Si le rayonne courbure R est infini , rhypertoloide de révolu» tton devient un cylindre droit à base circulaire du di^imèr tre :2 r. n n'y a donc aucun élément de surface quvn ait son égal en courbure et en direction de courbure sur l'une des trois surfaces du second degré: ^ellipsoïde, Thypei^boldid» de ré voliAtioii^f et le cylindre droil; à base Qirculaire*
De FBlUpsoîdc et de T Hyperboloîde de révolution.
1 4. Soîl -rf ^ B (fig. 9 et ï o , pi. 2) la «ectîon méridienne généralriee de relHpsoide ou de rhyperboloide de rëvolulion • O le centre de cette section ; ^ O jB Taxe de rëvolutîon. Le ^\vû. E O F C mené par le centre O pcrpendiculairement au plan du méridien A CB y coupe la surface suivant une ellipse JE O C\ qui a pour grand axe E j; et pour petit aïe une droite égale à 2 C O.
SoitOiJ = ^, OÇ^i^^Btig\eCOF=J;Of:xzjri. Ff=x: considérant rellipsoide ( fig. 9) , on a pour l'é-
quaiion de Tellipse A CB:
h^ Y cos A
^ ,*^ a* ^ ^ sm A
donc x^ {a^ cos* A -^ h^ ^in^ ^)r=i à^ b^ sin^ A ,
cos * ^ \ x^
Mettant pour jj' sa valeur ;
^ ^ a" cos^ ^ 4- ^ ^ J^r>* \A Le rayon de courbure de leUîpse JE Oi?' C îbu senamet C
est î
TTO^ CO ~a^cos^A + b* si/^'A^ nommant f ce rayon de courbure , on aura :
^ a*cos''AJ^ù^sfn*A .Les deux sections principales de rellîpsoïctè an point C «ont le cercle du rayon C O , et l'cUipse mé?îdieûne qui a pwur demi-axes principaux O u^ et OC. Nommant R
le rayt>n de courbure de cette ellipse au point Cj et r le demi-axe O Ct=:b^ on aura (art. 8 )
R=z—— t= — ; ce qui donne a» =: /{ r , et à cause
équation d'Enler (a).
pu trouverait par le même calcul ^ pour rfajrpcrbôloïde
de révolution ( fig. lo ) ,
. R^ ^ .ju^
^ Rcos^A-^rsin^Â ^ ^
- X 5. Puisque la courbure d'un élément de surface quelconque ne dépend, d'après le théorème d'Euler, que des rayons de courbure de deux sections principales^ il est bien évident qu'il n'y a aucune surface qui n'ait pour surface osculatrice en un point quelconque , ou un ellipsoïde de révolution , ou un hy^rboloïde de révolution, ou un cylindre droit (i)^ Les constantes nécessaires pour la déSnition de ces surfaces osculatrices étant exprimées au moyen des deux rayons de courbure principaux d'une surface qùelcon-^ que «9 y toutes les relations entre ces constantes, qui ré-» «ultent des propriétés des surfaces du aecond degré , expriment d'autres propriétés plus ou moins intéressantes , relatives à la courbure de la surface S, Parmi ces propriétés , il en e$t une trës-remarquable , qui a été le
— ■ Il ■ ■ I ■ 1 1 >■ I l
(l) Mensnier / dans le Mémoire snr la conrbare des surfaces , In eu 1^76 et pablië dans le^vDlume des savani étraugers , tome 1 , anne'é I785 y 9 f^u voir ga^on pouvait comparer tons les élëmens de surfaces à Télémeat de la surface du second d^gré , représetuce par Téquatioa t
saîet d'an mémoire nouTellement pabUé (i). Un cylindre étant inscrit ou circonscrit à un hjperboloïde ou uo e11i[>.<^ soïde de réyolution, on sait que la courbe de contact de . €e8i surfaces est plane | et son plan , qui passe par le centre de la surface de rëyolution , est perpendiculaire au plan méridien parallèle à la droite génératrice du cylindre ; c'est sur cette propriété qu'est fondée la théorie des tangentes réciproques, que nou3 allons exposer.
Des Tangentes réciproques sur un ellipsoïde ou un
hyperboloîde de révolution.
i6. Soit (fig. 1 1 , pi. 3) ABCD TelUpse, et ECF la demi-byperbole qui tourne autour de l'axe A B pour engendrer l'ellipsoïde et l'hyperboloïde de révolution. Un cylindre circonscrit ou inscrit h chacune de ces surfaces la touche suivant une courbe. Pour trouver le plan de cette courbe , imaginons par l'axe A B ei par une droite parallèle à la génératrice du cylindre un plan , et supposons que ce plan soit horizontal et celui de la fig. (11).
00 étant la parallèle à la génératrice du cylindre mené par le centre 0,de la surface , soient HL et KM les deux tangentes à l'ellipie ABCD parallèles à celte droite OG^ qui touchent l'ellrpseaux points Hei K. Le diamètre HK est/sur le plan de cette courbe supposé horizontal , la trace . du plan vertical qui contient la couYbe de contact de l'ellipsoïde de révolution , et du cylindre circonscrit à cet ellipsoïde^ dont la génératrice est parallèle au demi-dia* vaètre O G conjugué au demi-diamètre O H* Cette courbe de contact est une ellipse qui a potir grand axe la droite
( I ) Voye* page 4t des Dé^eloppemtM d9 Céaméiria , p*r M. Dapiq y P«rU , I0i3.
K OH^ et ponr petit axe une droite ëga!e aa petit axe CD de l'ellipse méridienne AB CD. '
Si l'on mène les deux tangentes à l'hyperbole VH%K^M\ parallèles à la droite OG, qui touchent cette hyperbole aux points K'y H\ le diamètre K* H' est ^sur le plan de cette oourbe, la trace du plan vertical qui contient la ligne de contact de l'hyperboloïdeet du cylindre circonscrit. Cette ligne est une ellipse qui a ponr grand axe la droite K* O H\ et pour petit axe une droite ëgale à l'axe transversal C D de l'hyperbole mëridienne AB CD. Cette propriété est une conséquence de la proposition démontrée dans ce traité des surfaces du second degré ^ page 25 1 ( Voyez aussi, la Géométrie descriptive de Monge^ art. ii8) >. <A qu'un cylindre ou un cône qui enveloppe une surface du second, degré , la touche suivant une courbe plane. *A
Concevons maintenant que le sommet commun C de l'ellipse et de l'hyperbole ait tourné autour de l'axe AB d'ua qaart derévoluiion^ et désignons-le dans sa nouvelle position par la lettre C . Le plan tangent au point C de rellipsoïde ou de l'hyperbôloïde de révolution est évidemment parallèle au plan du méridien {ABCD). Une parallèle & la droite G y menée par le point C, pourra être considérée conimela' génératrice d'un cylindre circonscrit à l'ellipsoïde ou inscrit à l'hyperbôloïde ; or, les plans A"^ et K'H'des cour* bes de contact de ces.surfacesy coupent le plan tangent en C' suivant des parallèles aces droites KffeiK'H' : don(^ces parallèles sont des tangentes aux courbes de contact.
Maison considérant A^^ comme fa parallèle à la génératrice d*^nn cylindre circonscrit à l'ellipsoïde de révolution , lâv droite de ce cylindre et la tangente à lacourbede contact qui se croisent au poiat C^ seront respectivement paflillèles aujt
àroiiesKIfet G'G: donc Tangle de ces deox diamètres con<« juguës de Tellipse gënëratrîce de l'ellipsoïde de rëyolutîoA sera l'angle des tangentes rëciproques de la surface. Elles sont rëciproques dans ce sens que Tune des tangentes ëtant la génératrice d'un cylindre quienreloppela surface, l'aotre est la tangente à la courbe de contact de cette sur&ce et du cjlindre. Par la même raison , les diamètres conjugues K'M* et G G' de l'hyperbole ECFE' DP' sont parallèles è deux tangentes rëciproques menées par le point C de Thyper* boloïde de révolution.
Du plus grand angle des tangentes réciproques en un point quelconque du cercle de V ellipsoïde de révolu» tion , dont le plan passe par le centre de cet ellip» ^oïde (i).
17. Soit AC B {fig, 9) l'ellipse méridienne dont le plan est perpendiculaire au rayon du cercle de l'ellipsoïde qui passe par le point donné de ce cercle*
On sait ( Voy . Essai de Géométrie analytique de M. Biot, 5< édition de i8i5y page i65) que parmi toutes les coI^des menées des extrémités^ et.fi (ûg. 9) de l'axe principal AB d'une ellipse , les cordes égales ACeiBC sont celles qui
(i) M. Monge avait fait usage de la propriété des tangentes conja* gu^es pour tronver , i^ les directions des tangentes des lignes de coor* bare d'une surface quelconque (^ Voyez sa Géométrie descriptive , art. 120) î 2^ les e'qnations des lignes qu*Sla nooamées caractéristiquû cl trajectoire ( f^ojrez son Analyse appliquée k la Géométrie , édition de 1 809 , page 375 ) \ mais M. Dupjn est le premier qui a démontré que les couples de tangentes réciproques en un point d^une snrftco quelconque ctaicni parallèles à d^antres couples de diamètres coujugués d^one courbe du second degré ( Voyez ses Développemens de Géométrie > ^age 4? )•
eomprennent le plus grand angle j et qu'elles sont parallèles
Ji deax diamètres conjugués égaux ; d'où il suit qae de tous
les angles formés par les couples de diamètres conjugués ,
le plus grand est égal à celui des diamètres conjugués éjgaux,
ou à Tangle A CB.luià tangente de Tangle de chacun de
A Q TO8 diamètres avec Taxe CO est évidemment -—- , et
l es rayons de courbure de Fellipsoïde au point donné
{AO\^ aont (artS) : -7077" ^^ ^ ^* ^^ ^^^ Homme (ses ray^i^ da
comi^art R et r, on aura :
"— ^t=SjB, COssirj^O «riï r, et par eonséqueat
Mnt t^S^ 3 1 ^O \/r
u«cJr=: }r Rr: donc la tangente -r--- =: r -— .
° CO r
Ainsi , l'angle des tangentes réciproques en un point du cercle donné sur rellipsoïde de révolution , est un maxi^ fnum y lorsqu'elles font avec la tangente au cercle mené par le point donné un angle dont la tangente trîgonomé-
trique est : ^^> ou V il ^ d'où il suit que le plus gi«&d
angle de ces tangentes réciproques, qui est double de i angle précédent , a pour tangente trigoàomélrique , ^
{r) On obtient lo même, méspli^t f>af 1« cdcol differeatiel ( F'oyi te BuUetin de laSociété Phlonuitique , année 1816, page i65 )•
( iS6 )
à caase de la formule connue :
/ I JLN tang.a^tang.b ^ ^ 1 — tang.atang.h
De V Angle des tangentes réciproques enunpdni donné
d*une surface quelconque.
i8. Supposons que les rajons de courbure de la surface aa point donné soient connus et désignés par les lettres il et r • On regardera ce point comme appartenant au cercle d'an ellipsoïde de résolution , dont le rayon est r, et dont l'ellipse méridienne a pour axes principaux 2 r et 2 K £ r.
Le rayon de courbure de cette ellipse è rextrémité de Vvf^f^ a r, ser^ (art. ^ 5)' égal ii A. L'ellipsoïde sera (art« i4) osculateur de la surface au point donné , et tous les couples des tangentes réciproques seVont parallèles ii deç. couples de diamètres conjugués de Tellipse méridienne»
Or , en nommant 2 /z et 2 & les axes principaax dNxne ellipse \ T et T\ les tangentes trigonométriques deç apglea que deux diamètres conjugués d'une ellipse font avec Taxe d ^ , on a ( Traité des Surfaces dn second degré ) (i) s -
(i) VoY,y p. a55 de ce traité^ les é^putions (1) ec (^) ^ elles donnent : Sabstitaant la Talenr de''-â , dans PëqnStîon (4) y on s; ;
(<t*5in^^— .^^cosA/S) $vnACOi<L . ^ ^
h^ cos^ 4 — a* «m* « oii(a^ «ia A «in ^8^6^ ûos ctcoê0) (00s «tsinfi — si/i« co«)8} =0 ^ <^tt a^ to/i^. « teng* /l -f» 6' ss o«
rTi
Or 9 clans Tellipse génératrice de l'eUipsoïde ^
, ^':=r» et a*:=sRr; Donc on aura:
yar'r*4-ilr=:o,ou rT' = — -.
La tangente de l'angle de deux tangentes réciproques est :
Lorsque cet angle est un maximum, il a ( art. 17 ) pour
, 2t/57 tangente, ■>• ,
î)es Rayons de courbure des sections normales doni les plans passent par deux tangentes réciproques.
19* Soient A et A' les angles que les deux tangentes réciproques font ayec la tangente à la section principale du rayon r; p , p' les rayons de courbure des sections normales dont les plans passent par les tangentes réciproques \ on "a par le théorème d'EuIer :
}^^L.cos-A^^sin^A, {A)
|, = ^coj'^'+^^,V^'; (a)
p r - XL
«t parce que les tangentes sont réciproques ,on a (art. 18) :
Jf?
tan§. A tang. -^' c=3 {b)
. Des équations {A) , {a) et {b) , on tire :
Rr , Rr
^^ Rcos^A+rsin^A' ^ ^ R cos- A'+ r sin^ A'
.^„^ ^,^ ^RcosA tang. A' es ■■ — 7—-
rsinA
Les formules de trigonométrie donnent :
1 4- ^^«ér. A! I + ^/2«gr.» -/i
R'cos^A+r'sin^A
, ., r^nn'A
cos'^Ai
' R^cos^'A+r^sin^A Substituant ces râleurs dans ceUe de / 1 oa a*?
^ ilr' JzV^4-il» rcos^'A jR cos"" A^r sin'' A
, , Rr{sm^A+cos^A) + R^cos^A+r^sùf:^^ ^^^ Rcos^A + rsm^A
R (R cos^ A+r sin* A) + r{Rcos'' A+rsin^ A) :
JJ3Î! I II ■» Il ■ I ■■ I ■ n ■ ■ I I I I I II I — ^— ^H»— — »»^^^M»^i.^p4»»^l»—
R cos^ j± J^r sia* A
donc p -f* p' =^ ^ + '^ ** ' • W
c'est-à-dire que la somme des rayons de courbure p et p' des sections normales dont les plans pas^ot par deux tangentes réciproques , est égale a la somme des rayons de courbure principaux de I9 surface qui ccMrrespondent au point de contact de cette surface et des tangentes. J^ous nous serrirons 1 de cette propriété (i) pour construire fangledes tangentes réciproques en un point donné d'une surface.
Des Rayons de courbure des sections normales dtuhâ surface dont les plans sont perpendiculaires ent^reeux.
20. Soient^ p et p' les deux sections nonnales dont les plans sont perpendiculaires entre eux.
(i) Cette propriété, trou vc'e par M. Dopin, a M publiée en 1806 dam la Correspondance sur V École Polytechnique , iome 1*% page i84«
Oa a , par lè théorème d'Euler :
— :=3 —cos^ A-^—^z sîrû A (A)
p r ' jti
—7=: — JiV A^-^ cos* A.
' Ajoutant ensemble ces Jeux équations , on a :
c'est-à-dire que la somme des rayons Ae courbure de deux sections normale^ quelconques en un point délerminé d'une surface , est égale à la somme des rayons de courbure prîncipaax de la surface au même point.
Lorsque deux cylindres doiit les arêtes sont perpendiculaires entre ellek se pénètrent^ il peutarriyer qu'ils aient même plan tangent en un point de leur ligne d'intersection. Si Ton nomme r et r' les rayons de courbure des sections droites des cylindres pour ce point de contact 7 p le rayon de courbure des sections normales aux deux cylindres dont le plan passe par la droite qui touche la ligne d'intersection au même point ; p' le rairon de courbure de là ligne d'intersection ; Q l'angle du'plaa osculateur de cette ligne et des sections norn^ales dttr^on p, on aura ( art. 7^ E)
pour chaque section normale : p = ^ ^ et art. 1 1 :
— s=: — Cos^ A,; — es — > sin.^ A , p r e r^
d'où, l'on tire cette relation : p 5=3 r + r' ;=3 — — ;•
^ ' cos 9
Lorsqu'on projette une courbe quelconque orthogonalement sur deux plans rectangulaires qui passent par le rayon de courbure de cette courbe ^ les droites qui la projettent appartiennent h deux surfaces cylindriques dont la courbe
projetée est l'intersection , et qui a pour sections droites les projections de cette courbe. Le rayon de courbure de la courbe ëtant dirigé suivant une normale aux deux cj" lindres^ ces deux surfaces se touchent au point de la courbe que l'on considère. Dans cette hypothèse, on a p=:p' 9 vos £=: I , et Fëquation précédente devient : p ==t r-^ r'; relation que M. Dupin a démontrée ( page 88 de ses Déve^ loppemens de Géométrie) : elle exprime que le rayon de courbure circulaire d*une courbe est égal à la somme des rayons de courbure des deux lignes qu'on obtient en projetant cette courbe sur deux plans rectangulaires parallèles au premier rayon.
Construction géométrique des rayons de courbure âes sections d^une surface dont les plans passent par un . point donné de cette surface.
21. Le théorème d'EuIer (^) donne les rayons de cour-* buce des sections normales d'une surface en un point donné de cette surface ; et par le théorème de Meusnier ( art. 77 E.) y on en déduit les rayons des sections obliques dont les plans passent par le même point.
Le premier théorème , exprimé par l'équation
^t=i^cos^A^^sin^Aj ' (A)
fait voir que tous les rayons de courbure p des sections normales correspondantes aux angles donnés uf, seront déterminés^
i<>. Par les rayons de courbure R et r de la surface ,. au point donné sur cette surface ;
2**. Par l'un des rayons de courbure principaux jR ou r , et par un autre rayon de courbure p' , correspondant h un
a«gle déterminé A* , de telle manière que le rayon prînci* pal inconnu , R par exemple , soit donné par l'éqaation
— :=: — coj» -^' + -^ sin^ A' ; p /* /i
5^ Par deux rayons p'> p", correspondans aux deux angles donnés A* , A" , en-sorte qu'on ait pour dé terminer R et ries deux équations suivantes :
i. p= - co*» ^'4-4 •fw* ^' f or si
i^= -L cos^ A" + 4 Jï«'^"; P /■ , jfi
4*. Enfin par trois rayons donnés p' , p" , p'" , correspondans aux trois, angles A ^ A^,A" ^ dont on connaît seule-^ ment les différences A* "-^ A ^ A" *- ^ , auquel cas on a les trois équations
-7 s=: — cos^ A^-rzr si/i* A , P r ^A
Au moyen de ces trois équations y on calculé les rayons de courbure principaux il et r , l'angle ^ ^ et les angles A\ A^y qui différent du premier A de quantités connu es r
Ce dernier cas est celui que nous allons d'abord exami-^ ner , et il sera facile d'y ramener les trois précédens.
