LIVRE VU. ai

Scholie, L'égalitë ile ces triangles n^est cependant pas une égalité absolue ou de superposition , car il serait impossible de les appliquer l'un sur lautre exactement, à moins qu'ils ne fussent isoscèles. L'éga- Jitë dont i] s agit est ce que nous avons déjà appelé une égalité par sjrrnmétrie^ et par cette raison nou3 appellerons les triangles ACB, ADB, triangles sjrmr métriques.

PROPOSITION XII

THBOaiMB.

Deux triangles situés sur la même sphère^ ou sur des sphères égales y sont égaux dans toutes leurs parties y lorsqu'ils ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun.

Soit le côté AB=EF, le côté AC=EG, et l'angle ^g»3o. BAG=:F£G, le triangle EFG pourra être placé sui* le triangle ABC ou sur son symmétrique ABD, de la même manière qu'on superpose deux triangles recti* lignes qui ont un angle égal compris entre côtés égaux. Donc toutes les parties du triangle EFG seront égales à celles du triangle ABC, c'est-à-dire qu'outre les trois parties qui sont supposées égales, on aura le côté BC = FG, l'angle ABC =EFG, et l'angle ACB =:EGF.

PROPOSITION XIII

THBOaÂMB.

Deux triangles situés sur la même sphère , ou sur des sphères égales ^ sont égaux dans toutes leurs parties y lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun.

Car Fun de ces triangles peut être placé sur l'autre ou sur son symmétrique , comme on le fait dans le cas pareil des triangles Tectilignçs* Vqjre^prop. VII ^ UvJ,

ftl4 6É01f«THlS.

PROPOSITION XIV

THBORÂMB.

iSV deux triangles sifyés sur la même sj^hère, ou sur des sphères égales, sont éqailatéraux entre eux, ils seront aussi équiangles , et les angles égaux seront opposés aux côtés égaux.

%• 329. Cela est manifeste par la proposition xi, oii Ton a vu qu'avec trois côté* donnés AB, AC, BC, on ne peut fai^-e que deux triangles ACB, ABD, différents quant à U position des parties, mais égaux quant à la grandeur de ces mêmes parties. Donc deux triangles équilatéraux entre eux sont ou absolument égaux, on au moins égaux par symmétrie ; dans lun et l'autrç cas ils sont équiangles , et les angles égaux sont opposés aux côtés égaux.

PROPOSITION XV

Dans tout triangle sphéri^ue ùoscèle les angles opposés au90 côtés égaux sont égaux; et réciproquement^ si deux angles d'un triangle sphérique sont égaux, le triangfe sera iso^cèle^ fig. 23i. I** Soit le côté AB= AC ; je dis qu'on aura Tangle G=B : car si du sommet A au point D, milieu de la base, on mène Ffirc AD, l^ deMx trUagl^ APD, ADC, auront les trpi» côtés égaux cliitçun à cbacmi; savoir, AD commun , BD= DQ, et AB=AC ' donc, par le théorème précédent, ces triangles auront les apgles égaux, et ou aura B=C.

a^ Soit l'angle B = C ; je dis qu'on aura AC=AB ; côr si le côté AB nV»st pas égal à AC , soit AB le plus

grand de* deux, prenez BO = AC, et joignez OC. Les deux c&iià BO, BG, sont éguux aux deux AG, BC . Tangle compris par les premiers OBG est égal à Tangle compris par les seconds ACB. Dqnc les deux triangles 60G| ACB^ ont les autres parties égales *, et on a **'^ l'angle OCB::= ABC : mais Tangle ABC, par hypothèse = ACB j donc on aurait 0GB = ACB, ce qui est impossible ; donc on ne peut supposer AB diflerent de AC; donc les côtés AB, AC, opposés aux angles égaux B et C, sont égaux.

Scholie, La même démonstration piou^e que Tangle BAD=DAC , et que l'angle BDA= ADC. Donc ces deux durnien «ont droits ) donc Parc mené du 9om^ met cTwi triangle sphérique isoscèU au milieu d^ sa base est perpendiculaire à cette base ^ et divise C angle du sommet en deux parties égales.

PROPOSITION XVL YHjâomixii.

Dans un triangle sphérique ABC, si V angle A fig.aSa; est plus grand que V angle B , le côté BC opposé à Fangle A sera plus grand que le côté AC opposé à l'angle B ; réciproquement^ si le côté BC est plus grand que CA , V angle A sera plus grand que Vangy B.

i» S^it TaBgle A > B, faites îan|^ BAD;=B, vous aurçi AP:;s:D]H ^ ; oiaîs AD -^ DC ost plus grand que * i5. AC î à U place de AD mettait DB, on aura DB+ DC ouBG>AC.

a^ Si on suppose BC> AC,Je dis que l'angle BAC se}*a plus grand que ABC : car , si BAC était égal à ABC^on aurait BC=AC ; et si on avait BAG< ABC , il ftVnsuivrait , par ce qui vient d'être démontré, qu'on a BC<AC; ce qui est contre la suppasiiîon. Doiic \*aBg1e BAC est plus grand quo ABC*

lt() GBOMÉtAlB.

PROPOSITION XVII

THBOEâME.

dg. a33. Si les deux côtés AB, ÂC, du triangle sphérique ABC sont égaux aux deux côtés HE, DP , du triangle DEF tracé sur une sphère égale , si en même temps V angle A est plus grand que V angle Ti y je dis que le troisième côté BC du premier triangle sera plus grand que le troisième EF du second,

La démonstration est absolument semblable à ceUe de la prop. x, livre i.

PROPOSITION XVIII

THBOaiMB.

Si deux triangles tracés sur la même sphère ou sur des sphères égales sont équiangles entre eux y ils seront aussi équilatéraux.

Soient A et B les deux triangles donnés, P et Q leurs triangles polaires. Puisque les angles sont égaux dans les triangles A et B, les côtés seront égaux dans les po*

* 10. laires P et Q"^ : mais de ce que les triangles P et Q sont

équilatéraux entre eux, il s'ensuit qu'ils sont aussi

* 14. équiangles * ; enfin , de ce que les angles sont ^nx

* lo. dans les triangles P et Q, il s'ensuit * que les côtés sont

égaux dans leurs polaires A et B. Donc les triangles équiangles A et B sont en même temps équilatéraux entre eux.

On peut encore démontrer la même proposition sans

le secours des triangles polaires de la manière suivante.

fig* ft34. Soient ABC , DEF, deux triangles équiangles entre

eux , de sorte qu'on ait A=D, B=:E, C=F; je dis

qu'on aura le côté AB=:DE, AC=DF, BC=:EF.

LivRB VII. ai7

Sur le prolongement des côtés AB^AC, prenez A6 s=DE; et AH =DF; joignez 6H et prolongez les arcs BC, GH , jusqu'à ce quils se rencontrent en I et K.

Les deux côtés A6, AH, sont par construction égaux aux deux DF, DE; l'angle compris GAH=BAG = EDF; donc * les triangles AGH, DEF, sont égaux ♦»*. dans toutes leurs parties, donc l'angle AGH == DEF ==:ABC, et l'angle AHG=DFE= ACB,

Dans les triangles IBG, KBG, le côté BG est commun , l'angle IGB=:GBK ; et puisque IGB+ BGK est égal à deux droits, ainsi que GBK+IBG, il s'ensuit que BGK=IBG. Donc les triangles IB6, GBK, sont égaux * , donc IG =BK, et 1B=GK. * '^

Pareillement, de ce que Tangle AHG=:ACB, on conclura que les triangles ICH , HCK, ont un côté égal adjacent à deux angles ^aux ; donc ils sont égaux ; donc IH=CK, et HK=IC.

Maintenant, si des égales BK, IG, on retranche les égales CK, IH, les restes BC, GH, seront ^ux. D'ailleurs l'angle BCA=AHG, et Pangle ABC=:.AGH. Donc les triangles ABC, AHG, ont un coté égal adjacent à deux angles égaux ; donc ils sont égaux : mais le triangle DEF est égal dans toutes ses parties au triangle AHG ; donc il est égal aussi au triangle ABC, et on aura AB=DE, AC=DF, BC=EF; <iouc, si deux triangles sphériques sont équiangles entre eux, les côtés opposés aux angles égaux seront égaux.

Scholie. Cette proposition n'a pas lieu dans les triangles rectilignes , où de l'égalité des angles on ne peut conclure que la proportionnalité des côtés. Mais il est aisé de rendre compte de la différence qui se trouve à cet égard entre les triangles rectilignes et les triangles sphériques. Dans la proposition présente, ainsi que dans les prop. xii, xiii, xiy et xvir, où il s agit de la comparaison des triangles , il est dit

9l8 Gio||«9KlB.

eipreM^menl ^ve oe» triangle» «ont tvacén sur la oiime sphère ou sur des sphères égales. Ok \m arcs sei^l)lab|es sont proportionnels au^ rajpns; donc, sur des sphères égales^ deux triantes ne peuwnt étTf seqablalUes saus être égaux. Il n'est donc pas surprenant que l'égalité des angles entraîne Vagaliié des côtés.

Il en serait autrement ai le» triangles étaietit tracés sur des sphères inégales; alora les angles étant égaux, les triangles seraient semblables ^ et les côtés horncb» logues seraient entre eunp qpniine les rajons des sphères.

TROPOSITION XIX.

tn iQnâxs.

La somme des angles de tout triangle sphèriqne est moindre que six et plus grande que deux angles droite.

Car i<> chaque angle d'un triangle sphérique est moindre que deux angles droita {voy&u k tcholis ci' ^pres)\ donc la sonune des Ifois angles est luoindie que m angles droits.

%^ I^a mesure de chaque angle d'un triangle sphérique est égale à la demi «•circonférence moins le côté *xo. correspondant du triangle polaire^; donc la somme des trois angles a pour mesyire trois demi -circonférences moins la somme des côtés du triangle polairt?- Or cette dernière somnie est plus petite quune cir- *4. conférence*; donc, en la reti^nchant de trois denûcirconférences, le reste sera plus grand qu'une demi* circoiiféreace , qui est la mesure de deux angl^ droits; donc a^ la somme des trois angles d'un triangle aphérique est plus grande que deux anglçs droiu.

Cofollaire I, L»a somme des angles d'un triangle sphérique n'est pas constante comme celle des ui-

angles rectiligne^ ; elle vi^rie depuU detu angles droi^ ju5<|u à aii^i w^ pouvoir être ég»le à Time pi à Vautre limite* Ainsi deux angles dunnés ne fpnt pas connaître |e troisième.

Corollaire II. Un triangle sph^rique peut avoir deux ou trois angles droits, deux ou trois angles obtus.

Si le triangle APG est bi^tectanglç^ c'est- à- dire fig. siSS. ft il a deux angles droits B et G, le sommet A sera le pôle de la hase BG^; et les côtés AB, AC, seront des *6. quadrants,

Si en outre Tangle A est droit , le triangle ASC sera tri^rectangle y ses angles seront tous droits et ses côtés des quadrants. Le triangle tri -rectangle est contenu huit fois dans la surface de la sphère ; c'est ce que Ton voit par la fig. 236 y en supposant l'arc MN égal à xin quadrant.

Scholie. Nous avons supposé dans tout ce qui précède, et conformément à la définit, vi, que les triangles sphériques ont leurs côtés toujours plus petits que la demi - circonférence ; alors il sVnsuit que les angles sont toujours plus petits que deux angles droits : ear, si le côté AB est moindre que la demi-cîrfon£é- fig- ^Arenée, ainsi que AC, ces arcs' doivent être prolongés tous deux pour se rencontrer en D. Or les deux angles ABC, CBD , pris ensemble, valent deux angles droits; dono Vangle ABG tout seul est moindre que deqx angles droits.

Nous observerons cependant qu'il existe des triangles spiiérlqiies dent oertains eôlés sont plus grands que la demi - oiixH>nférence , el certains angles plus grands que deux angles droits. Gar, si on prolonge le eôté AC en une circonférence entièi*e ACE, ce qui reste, en retranchant de la demi'* sphère le triangle ABC, est un nouveau triangle, qu'on peut désigner aussi par ABC, et dont les côtés sont AB, BC, AEDG.

'* 920 GéûMBTRtE.

On voit donc que le côte AEDG est plus grand que la demi-circonfërence AED ; mais en même temps Tan* gle opposé en B surpasse deux angles droits de la quantité CBD.

Au reste, si on a exclu delà dé6nition les triangles dont les cdtés et les angles sont si grands y c'est qua leur résolution ou la détermination de leurs parties se réduit toujours à celle des triangles renfermés dans la définition. En effet, on voit aisément que si on connaît les angles et les côtés du triangle ABC, on connaîtra immédiatement les angles et les côtes du triangle de même nom qui est le l'esté de la demi-sphère.

PROPOSITION XX

THBOaâlEB.

fif. a56. Le fuseau AMENA est à la surface de la sphère comme C angle M AN de ce fuseau est à quatre angles droits, ou comme Varc MN qui mesure cet angle est à la circonférence.

Supposons d'abord que Tare MN soit i la circonférence MNPQ dans im rapport rationnel , par exemple, comme 5 est à éfi. On divisera la circonférence MNPQ en 48 parties égales, dont MN contiendra 5; joignant ensuite le pôle A et les points de division par autant de quarts de circonférence, on aura 48 triangles dans la demi-sphère AMNPQ, lesquels seroot tous égaux entre eux, puisqu'ils auit>nt toutes leurs parties égales. La sphère entière contiendra donc 96 de ces triangles partiels, et le fuseau AMBNA en contiendra 10 ; donc le fuseau est à la sphère comme 10 est à 96, ou comme 5 est à 48, c*esi>4-dire comme l'arc MN est à la circonférence.

Si lare MN n est pas commensurable avec la circonférence , on prouvera par le même raisonnement

LITAB VII. ait

dont on a déjà tu beaucoup d'exemples , que le fuseau est toujours à la sphère comme lare MN est à la cir« conférence.

Corollaire I. Deux fuseaux sont entre eux comme leurs angles respectifs.

Corollaire II. On a déjà vu que la surface entière de la sphère est égale à huit triangles tri-rectangles*; * 19. donc, si l'aire d'un de ces triangles est prise pour Tunité, la surface de la sphère sera représentée par 8. Cela posé , la surface du fuseau dont l'angle est A sera exprimée par a A (si toutefois l'angle A est évalué ^ en prenant l'angle droit pour unité) ; car on a aA : 8 :: A: 4- Il 7 a donc ici deux unités différentes ; l'une pour les angles f c'est l'angle droit ; l'autre pour les Surfaces 9 c'est le triangle sphérique ti*i- rectangle, ou ' celui dont tous les angles sont droits , et les côtés des quarts de circonférence.

SchoUf. L'onglet sphérique compris par les plans AMB, ANB, est au solide entier de la sphère comme l'angle A est à quatre angles droits. Car les fuseaux étant égaux, les onglets sphériques seront pareille^ ment égaux : donc deux onglets sphériques sont entre eux comme les angles formés par les plans qui les comprennent.

PROPOSITION XXI

THBORÂMB.

Deux triangles sphériques sjrmmétriques sont égaux en sur/ace.

Soient ABC , DEF deux triangles symmétriques , c'est-à-dire, deux triangles qui ont les côtés égaux, AB £g. «Sy. = DE, AG=:DF, CB = EF, et qui cependant ne pourraient être superposés ; je dis que la surface ABC est égale à la surface DEF,

2^a GfiOHETtllÊ.

Soit P le pôle du petit cercle qui passerait par lei trois points A, B, C (t) ; de ce point soient menés les *«• arcs égaux * PA, PB, PC ; au point F faites Tangîe DFQ=ACP, Varc FQ±±CP, et joigne» DQ," EQ.

Les côtés DF, FQ, sont égaux âUx côtés AC, CP, l'angle DFQ=ACP ; donc les deux triangles DFQ, ' i4. ACP, sont égaux dans toutes léUrs parties* ; donc le côté DQ=AP, et ranglê DQF=APC.

Dans les triangles proposés DFË, AfiC, lés angles DFfi, ACB, opposés aux tôtés égâul DE, Aft, ^tatit ^ IX, égaux *, si on en fretraftchë les ahgles DFQ, ACPi égaux par construction, il restera Tatigle QFE égala PCB. D'ailleurs les côtés QF, FE, sont é^aux aux côtés PC, CB ; dortd les deut triangles FQË, CPB, sont égaux dans toutes leurs parties ; dont le côté QE=PB, et l'angle FQE=:CPB.

Si on observe maintenant que les triangles DPQ, * ACP, qui ont les côtés égaux chacun à chacun, sont en même temps isosceles, oh verra quUls peuvetit s^ap' pliquer Fun sur l'autre } car ^ ay<int placé PA sur sofi égal QF, le côté PC tombera sur son égal QD, ei ainsi les deux triangles seront confondus en Un seul î donc ils sont égaux, donc la surface DQFtt=APC. Par une raison semblable la surface FQE:=±CPB, et la surface DQE=APB ; donc on a DQF + FQE — DQE=APC+CPB— APB; ou DFE=ABC; donc les deux triangles symmétriques ABC, DEF, sont égaux en surface.

SchoUe. Les pôles P et Q pourraient être situés tudedans des triangles ABC , DEF ; alors il faudrait ajouter les trois triangles DQF,FQE, DQE, pour

(r) Le eercle qui passe par les trois points A, B, C, 6ii qu eit circonscrit «u triaagle ABC, nepeutétre qu'un petit «ércli de la sphère | car , si c'était un grand cercle i les trois oÀlés Ai| BC , AC , seraient situés dans on même plan i et le trianf le ABC le réduirait ii un de ses Gôt黫

tlVUfc Tlt. 123

«n composer le ttîangle DEF, et pareillement II faudrait ajouter les trois triangles APC , CPB , APB , pour en composer le triangle ABC; d*ailleurs la dëmonstmtiou et la conclusion seraient toujours les mêmes.

PROPOSITION XXÏI.

t&jiOAittÉ.

Si deupc grdhâs cercles AOB , CCD , se coupent fiç. ass. comme on i^oudm dans Vhémisphère A OCBD> ia sommé des triangtes opposés AOC , BOD , sera égale aufiiseau dont Pangle est BOD/

Car, en prolongeant les arcs OB, CD, dans l'autre hémisphère jusqu'à leur rencontre en N , O^ sera une demi-tîrconWrencë, ainsi que AOB ; retranchant de part et d'autre OB, on aura BN = AO. Par une raison semblable on a Dlf = CO , et BD i= AC j donc lés deux triangles AOC, BDN, ont les trois côtes égaux d*ailleurs leur position est telle ^ulb sont sjmmétriques Tun de Tautre; donc ils sont égaux en surface* * »u et la somme des triangles AOC, BOt), est équivalente au fuseau OBNDO dont l'angle est BOD.

Seholie. Il est clair aruBsi que les deux pyramides sphériques qui ont pour bases les triangles AOC, BOD , prises ensemble , équivalent à Tonglet sphé. riqùe dont Tangle Cst BOD.

PROPOSITION XXIII

^ruiôiiittÉ.

£ci sur/ma d'un tfiakgle sphérique quelconque a pour mêêure r«»cès de la somme de ses trois angles wr dettâ^ angles droits.

Soit ABC le triangle pi^oposé; prolotigiit M cdtël i^g.tSg*

a!l4 «BOMISTRIB.

jusqu a ce qu'ils rencontrent le grand cercle DEPG , mené comme on voudra hors du triangle. En yertu du théorème précédent , les deux triangles ADE, AGH, pris ensemble , équivalent au fuseau dont l'angle est A, et qui a pour mesure a A* : ainsi on aura ADE + A6H=:aA; par une raison semblable B6F + BID = aB y CIH + GFE == 2C. Mais la somme de. ces six triangles excède la demi-sphère de deux fois le triangle ABC, d'ailleurs la demi-sphère est représentée par 4; donc le double du triangle ABC est égal à aA + aB + aC — 4> ®t P^^ conséquent ABC = A+ B +C — a ; donc tout triangle sphérique a pour mesure la somme de ses angles moins deux angles droits.

Corollaire I. Autant il y aura d'angles droits dans cette mesure, autant le triangle proposé contiendra de triangles tri-rectangles ou de huitièmes de sphère qui sont funité de surface*. Par exemple, si les angles sont égaux chacun aux'j dun angle droit, alors les trois angles vaudront 4 angles droits, et le triangle proposé sera représenté par 4 — a ou a ; donc il sera égal à deux triangles tri-rectangles ou au quart de la surface de la sphère.

Corollaire II. Le triangle sphérique^ABC est équi-

valent au fuseau dont l'angle' est i ; de

même la pyramide sphérique , dont la base est ABC , équivaut à longlet sphérique dont l'angle est A + B+C

Scholie. En même temps qu^on compare le triangle sphérique ABC au triangle tri -rectangle, la pyramide sphérique qui a pour base ABC se compare avec la pyramide tri-recungle , et il en résulte la même proportion. L angle solide au sommet de la pyramide se compare de même avec l'angle solide au sommet de la pyramide tri -rectangle : en effet la comparai*

LIYRB TII. aaS

son s'établit par la coïncidence des parties. Or, si les bases des pyramides coïncident, il est évident que les pyramides elles-mêmes coïncideront, ainsi que les angles solides à leur sommet. De là résultent plusieurs conséquences.

i^ Deux pyramides triangulaires sphériques sont entre elles comme leurs bases; et, puisqu'une pyra-' mide polygonale peut se partager en plusieurs pp'a'mides triangulaires , il s'ensuit que deux pyramides spbériques quelconques sont entre elles comme les polygones qui leur servent de bases.

2^ Les angles solides au sommet des mêmes pyramides sont également dans la proportion des bases • donc, pour comparer deux angles solides quelconques , il faut placer leurs sommets au centre de deux splières égales, et ces angles solides seront entre eux comme les polygones sphériques interceptés entre leurs plans ou faces.

L'angle au sommet de la pyramide tri-rectangle est formé par trois plans perpendiculaires entre eux : cet angle, qu'on peut appeler angle solide droite est trèspropre à servir d'unité de mesure aux autres angle^ solides. Gela posé, le même nombre qui donne Taire d'un polygone sphérique donnera la mesure de l'angle solide correspondant. Par exemple , si Faire du polygone sphérique est \ , c'est-à-dire , s'il est les \ du triangle tri -rectangle, l'angle solide correspondant sera aussi les \ de l'angle solide droit.

PROPOSITION XXIV

THBOaBMS.

La surface d'un polygone sphérique a pour mesure la somme de ses angles, moim le prO'

aâé C^OH^TRIB.

duit de deux angles droits par le nombre des côtés du polygone moins deux.

g. a4o. -D^jjj^ même commet A soient menées à tous les autres sommets les diagonales AG , AD ; le polygone ABGDE sera partagé en autant de triangles moins deux quUI a de côtés. Mais la surface de chaque triangle a pour mesure la somme de ses angles moins deux angles droits , et il est clair que la somme de tous les angles des triangles est égale à la somme des angles du polygone : donc la surface du polygone est égale à la somme de ses angles diminuée d'autant de fois deux angles droits qu*il a de côtés moins deux.

Scholie. Soit s la somme des angles d'un polygone sphdrique , n le nombre de ses côtés ; Fangle droit étant' supposé Funité , la surface du polygone aun pour mesure s — 2 (n — 2) ou s — 2;i-f-4«

PROPOSITION XXV

VHliORAvH.

Soit s le nombre des angles solides dunpofyèdre, B ie nombre de ses faces ,À.le nombre de ses arêtes; Je dis qu*oR aura toujours S -|- H= A+ a.

Prenez au-dedans du polyèdre un point d*otL vous mènerez des lignes droites aux sonunets de tous ses angles ; imaginez ^isuite que du même point comme centre on dëcriTe une surface sphérîque qui soit rencontrée par tontes cet lignes en autant de points ; joignez ces points par des arcs de grands cercles , de manière à former sur la surface de la sphère des polygones correspondants et en même nombre ayec les faces du polyèdre. Soit ABCDE un de ces polygones fig. »4o. et soit n le nombre de ses côtés ; sa surface sera x— aJi + 4, /étant la somme des angles A, B , C , D , £, Si on évalue temblablcment la surface de chacun des autres polygones sphériques , et qu*on les ojoute toutes ensemble , on en conclura que leur somme « ou la surface de la sphère représente par 8, est égaje à la lomme de tous les angles des polygoncf