LES POLYÈDRES RÉGULIERS

PROPOSITION PREMIÈRE

THEOEÂMB.

Il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers.

Car on a défini polyèdres réguliers ceux dont toutes l«i faces sont des polygones réguliers égaux , et dont tous les angles solides sont égaux entre eux. Ces conditions ne peuvent avoir lieu que dans un petit nombre de cas.

i' Si les faces sont des triangles équilatéraux , on peut former chaque angle solide du polyèdre avec trois angles de ces triangles , on avec quatre , ou avec cinq : de là naissent trois corps régidiers , qui sont le tétraèdre , Toctaêdre , et l*icosaèdre. On n'en peut pas former nn plus grand nombre avec des triangles équilatéraux , car six angles de ces triangles valent quatre angles droits , et ne peuvent former SI , 5. d*angle solide*.

2* Si les faces sont des quarrés , on peut assembler leurs angles trois à trois ; et de là résulte l'hexaèdre on cnbe.

Quatre angles de quarrés valent quatre angles droits , et ne peuvent former d*angle solide.

3* Enfin , si le'f faces sont des pentagones réguliers , on pourra encore assembler leurs angles trois à trois y et il en résultera le dodécaèdre régulier.

On ne peut aller plus loin ; car trou angles d'hexagones réguliers valent quatre angles droits , et trois d'heptagones encore plus.

Donc il ne pent y avoir que cinq polyèdres réguliers | trois formés avec des triangles équilatéraux , un avec des quarrés , et un avec des pentagones.

ScàoUe. On va prouver dans la proposition suivante que

LivRB VII. d33

ces rînq polyèdres existent réellement , et qu'on peut en déterminer toutes les dimensions lorsqu'on connaît une de leurs faces. '^

PROPOSITION II

PEOBIiAmB.

EtMFit donnée Pune des faces d* un polyèdre réffiUer, ou seulement son côté, construire le polyèdre.

Ce problème en présente cinq qui vont être résolus suc* cessiTement.

Construction du tétraèdre*

Soit ABC le triangle équilatéral qui doit être une des faces fig. 941. du tétraèdre ; au point O , centre de ce triangle, élevez OS perpendiculaire au plan ABC; terminez cette perpendiculaire au point S , de sorte que AS= AB ; joignez SB , SC , et la pyramide SABC sera le tétraèdre requis.

Car» à cause des distances égales OA , OB , OC , les obliqiies SA , SB , se , s'écartent également de la perpendiculaire SO et sont égales. L'une d'elles SA = AB; donc les quatre faces de la pyramide SABC sont des triangles égaux au triangle donné ABC. D'ailleurs les angles solides de cette pyramide sont égaux entre eux , puisqu'ils sont formés clia« cnn ayec trois angles plans égaux ; donc cette pyramide est un tétraèdre régulier.

Construction de l'hexaèdre,

Sdt ABCD un quarré donné : sur la base ABCD constmi- fig. 144. ses un prisme droit dont la hauteur A£ soit égale au c6té AB. Il est dair que les faces de ce prisme sont des quarrés égaux , et que ses angles solides sont égaux entre eux comme étant formés chacun avec trois angles droits ; donc ceprisme est un Hexaèdre régulier ou cube.

Construction de Voctaêdre.

Soit AUB un triangle équilatéral donné : sur le c6té Afi fig t4^* décriyez le quarré ABCD ; au point O , centre de ce quarré, élevez sur son plan la perpendiculaire TS , terminée de part et d'autre en T et S, de manière que OT = OS = AO

a34 GBOMBTAlg.

joignez eLâuit« SA^ SB , TA » «te. , vouft ftUMs an mImU SARCDT ^ composé de deux pjrattides quadrangulairet S ABCD , T ABCD , adossées par leur base commune ABGD « ce solide sera Toctacdre régaUer demandé.

En effet, le triangle AOS est rectangle eu O, ainsi qne le triangle AOD ; les c6téi AO , OS » OD , sont égaux ; donc ces triangles sont égaux , donc AS = AD. On démontrera de même que tons les autres triangles rectangles AOT, BOS, COT , etc. , sont égaux au triangle AOD ; donc tous les côtés AB , AS , AT, etc. sont égaux entre eux , et par conséquent le solide SABCDT est compris sous huit trianglei égaux au triangle équUatéral donné ABM. Je dis de plus que les angles solides du polyèdre sont égaux entre eux : par exemple, Tangle S est égal à Tangle B.

Car il est visible que le triangle SAC est égal au triangle DAC , et qu'ainsi l'angle ASC est droit ; donc la figure SATC est un quarré égal au quarré ABCD. Mais si on compare la pyramide BASCT à la pyramide SABCD , la base ASCT de la première peut se placer sur la base ABCD de la seconde ; alors le point O étant un centre commun , la hauleur OB de la première coïncidera avec la hauteur OS de la seconde , et les deux pyramides se confondront en une seule; donc Tangle solide S est égal à l'angle solide B v donc le solide SABCDT est un octaèdre régulier.

SchoUe. Si trois droites égales , AC , BD » ST, sont perpendiculaires entre elles et se coupent dans leur milieu , les extrémités de ces droites seront les sommets d'un octaèdre régulier.

Co/utruction du dodécaèdre.

fis. 246. ^^^ ABCDE un pentagone régulier donné ; soint ABP, CBP , deux angles plans ^uz à l'angle ABC t aveo ces angles plans formea l'angle solide B , et détermine» par la proposition xxiY, livre ▼, l'inclinaison mutuelle de dciu de ces plsns , inclinaison que j'appelle K. Formez semblablemcnt aux points C, D, E, A, àt% angles solides égaux â Tangle solide B , et situés de la même manière : le plan CBP sera le même avec le plan BCG , puisqu'ils sont inclinés l'un et Tanlj^ de la même quantité K sur le plan ABCD. On peut donc dans le plan PBCG décrire k pentagone BCGFP égel

LIVRB Vil. 2ii

au pentagone ABCD£. Si on fait de même dans chacun deê autres plans CDI , DEL , etc. , on aura une surface convexe PFGH , etc. composée de six pentagones réguliers égaux «t inclinas chacun sur son adjacent de la môme quantité K. Soit pfffh , etc. une seconde surface égale à PFGH , etc. , je dis que ces deux surfaces peuvent être réunies de manière à ne former qu'une seule surface convexe continue. En effet, Tangle op/, par exemple, peut se joindre aux deux angles OPB , BPF , pour faire un angle solide P égal à Tangle B ; et dans cette jonction il ne sera rien change à Tinclinaison des plans BPF, BPO , puisque cette inclinaison est telle qu^ll le faut pour la formation de l'angle solide. Mais en même temps que Tangle solide P se forme , le côtéy{/*s 'appliquera sur son égal PF, et au point F se trouveront réunis trois angles plans VTGjj?fe, efg^ qui formeront un angle solide égal à chacun des angles déjà formés ^ cette jonction se fera sans rien changer ni à l'état de l'angle P, ni à celui de la surface ejgh, etc. ; car les plans PFG, efp, déjà réunis en P, ont entre eux l'inclinaison convenable K, ainsi que les plans efg^ efp. Continuant ainsi de proche en proche, on voit que les deux surfaces s'ajusteront mutuellement l'une avec Tautre, pour ne former qu'une seule surface continue cl ren*» trantc sur elle-même : cette surface sera celle d'un do<lé« cnèdre régulier , puisqu'elle est composée de douze pentagones réguliers égaux , et que tous ses angles solides sont égaux entre eux.

Construction de l'icosoédre.

Soit ABC une de ses faces ; il faut d*abord former un angle solide avec cinq plans égaux au plan AB C et égale- ^' ^^^* ment inclinés chacun sur son adjacent. Pour cela , sur le côté B'CS égal à BC, faites le pentagone régulier B'Cll'i'D'; au centre de ce pentagone élevez sur son plan une perpendiculaire , que vous terminerez en A' de manière qu«3 B' A'=:r B'C ; joignez AX', A'U' , AT , A'D' , et l'angle soUde A\ formé par les cinq plans fi'A'C , C'A'H', etc. , sera 1 angle solide requis. Car les obliques A'B' , A'C , etc. sont égales 9 et Tune d'elles A'B' est égale au côté B'C; donc tous le» triangles B'A'C, C'A'H', etc. sont égaux entre eux et au triangle donné ABC*

^36 ^ ' gbométeie.

Il est visible d'ailleurs que les plans B'A'C, C'A' H', tUu sont ëgalemeot inclinés chacun sur son adjacent ; car les angles solides B', C, etc. sont égaux entre eux, puisqu'ils sont formés chacun avec deux angles de triangles éqnilatéraux et un de pentagone régulier. Appelons K l'indinaison des deux plans où sont les angles égaux , inclinaison qu*on peut déterminer par la proposition xxit, Ut. y; Tangle K Sera en même temps Tinclinaison de chacun des plans qui composent l'angle solide A' sur son adjacent.

Cela posé, si on fait aux points A, B, C , des angles solides égaux chacun à Taiigle A' on aura une surface convexe DEFG , etc. composée de dix triangles équilatéranx , dont chacun sera incliné sur son adjacent de la quantité R; et les angles D, £, F, etc. de son contour réuniront alternativement trois et deux angles de triangles équilatéraux. Imaginez une seconde surface égale à la surface DEFG , etc. ; ces deux surfaces pourront s'adapter mutuellement , en joignant chaque angle triple àe Tune à un angle double de l'autre; et , comme les plans de ces angles ont déjà entre eux l'inclinaison K nécessaire pour former un angle solide quintuple égal à l'angle A , il ne sera rien changé dans cette jonction à l'état de chaque surface en particulier, et les deux ensemble formeront une seule surface continue , composée de vingt triangles équilatéraux. Cette surface sera celle de Ticosaèdre régulier, puisque d'ailleurs tous les angles solides sont égaux entre eux.

PROPOSITION III

PROBLÂMB.

Trouver ^inclinaison de deux faces adjacentes d*un polyèdre régulier.

Cette inclinaison se déduit immédiatement de la construction qui vient d'être donnée des cinq polyèdres réguliers; à quoi il faut ajouter la proposition xxrv , liv. v, par laquelle étant donnés les trois angles plans qui forment un angle solide , on détermine l'angle que deux de ces plans font entre eux.

6g. «43, Dans le tétraèdre. Chaque angle solide est formé de trois

HVEB VII. aSy

angles de triangles ëquilatëraux : il faut donc chercher par le problème cité l'angle que deux de ces plans font entre eux , cet angle sera rindinaison de deux faces adjacentes du tétraèdre.

Don/ Vhexaèdre. L'angle de deux faces adjacentes est un lig. 344. angle droit.

Dans Voctaèdre. Formes un angle solide avec deux an- fig. 145. gles de triangles ëquilatëraux et un angle droit ; rindinaison des deux plans ou sont les angles des triangles sera celle de deux faces adjacentes de l'octaèdre.

Dans le dodécaèdre. Chaque angle solide est forme aTCC fig. «40. trois angles de pentagones réguliers^ ainsi l'inclinaison des plans de deux de ces angles sera celle de deux faces-adjacentes du dodëcaèdre.

Dans Vicosaèdre, Formez un angle solide avec deux an* fig. 147. gles de triangles ëquilatëraux et un angle de pentagone régulier , l'inclinaison des deux plans où sont les angles des triangles sera celle de deux faces adjacentes de Ticosacdre*

PROPOSITION IV

PaOBLâMB.

Etant donné le côté d'un polyèdre régulier ^ trouver le rayon de la spfière insente et celui de la sphère circonscrite au polyèdre.

Il faut d'abord démontrer que tout polyèdre régulier peut fig. 948. être inscrit dans la sphère , et qu'il peut lui être drconscrit.

Soit Afi le c6té commun à deux faces adjacentes ; soient C et £ les centres de ces deux faces , et CD , FJ), les perpendiculaires abaissées de ces centres sur le côté commun AB , lesquelles tomberont au point D, milieu de ce côté. Les deux pei*pendiculaircs CD , DE , font entre elles un angle connu , qui est égal à l'inclinaison de deux faces adjacentes, déter» minée par le problème précédent. Or si, dans le plan CDE, perpendiculaire à AB , on mène sur CD et £D les perpendiculaires indéfinies CD et £0, qui se rencontrent en O, je dîs que le point O sera le centre de la sphère inscrite et celui de la sphère circonscrite ; le rayon de la première étant OC, et celui de la seconde OA.

d38 céoMéTiiis.

En effet , puisque les apothèmes CD , DE , sont égales, el ^liypoténuse DO commune , le triangle rectangle CDO est

*i8,i. égal au triangle rectangle ODE * et la perpendiculaire OC est égale à la perpendiculaire 0£. Mais AB étant perpendiculaire au plan CDE , le plan ABC est perpendiculaire à

'ï7, 5. CDE* , ou CDE à ABC ; d'ailleurs CO , dans le plan CDE^ est perpendiculaire a CD , intersection commune des plans

*j8, 5. CDE , ABC ; donc CO * est perpendiculaire au plan ABC. Par la même raison EO est perpendiculaire au plan ABE ; donc les deux perpendiculaires CO , £0 , menées aux plans de deux faces adjacentes par les centres de ces faces , se rencontrent en un môme point O et sont égales. Supposons maintenant que ABC et ABE représentent deux autres faces adjacentes quelconques , l'apothème CD. restera toujours de la même grandeur , ainsi que l'angle CDO, moitié de CDE; donc le triangle rectangle CDO et son côté CO seront égaux pour tontes les faces du polyèdre ; donc, si du point 0 comme centre et du rayon OC on décrit une sphère, cette sphère touchera toutes les faces du polyèdre dans leurs ceiitres (car les plans ABC , ABE , seront perpendiculaires à Textréraité d'un rayon) , et la sphère sera inscrite dans le polyèdre, ou le polyèdre circonscrit à la sphère.

Joignez OA, OB; à cause de CA := CB , les deux obliques OA, OB, s'écartant également de la perpendiculaire, seront égales ; il en sera de même de deux autres lignes quelconques menées du centre O aux extrémités d'un même côté; donc tontes ces lignes sont égales entre elles ; donc si da point O comme centre et du rayon OA on décrit nne surface sphérique , cette surface passera par les sommets de ions les angles solides du polyèdre, et la sphère sera circonscrite au polyèdre ou le polyèdre inscrit dans la sphère. Cela posé , la solution du problême proposé n'a plus aucune difficulté, et peut s'effectuer ainsi :

0S«a49» Étant donné le côté d'une face. du polyèdre, décrives cette face , et soit CD son apothème. Cherchez par le problême précédent Tinclinaison de deux faces adjacentes da polyèdre , et faites l'angle CDE égal à celte inclinaison. Prenez DE égale à CD ^ menez CO et £0 perpendiculaires ^ CD et £D; ces deux perpendiculaires le rencontreront