LE M ME
La surface con^^exe d'un prisme droit est égale au périmètre de sa base multiplié par sa hauteur.
H' 2^2. Car cette surface est égale à la somme des rectangles AFGB, DGHC, GHID, etc. dont elle est composée: or les hauteurs AF, BG, CH, etc. de ^e& rectangles sont égales à la hauteur du prisme; leurs bases AB, BC, CD, etc. prises ensemble, font le périmètre de la base du prisme. Donc la somme de ces rectangles ou la surface convexe du prisme est égale au périmètre de sa b^e multipiié par sa hauteur.
Corollaire, Si deux prismes droits ont la même hauteur, les surfaces convexes de ces prismes seront filtre elles comme les Ejérimètres de leurs bases.
PROPOSITION ÏII;
La surface convexe du cylindre est plus grande yu6 la surface convexe de toutpîisnie inscrit^ et plus petite que la surface convexe de tout prisme circonscrit.
Car l^.«ui&c6 convexe du cylindre et celle du fig.sSa. pri&oie io^ciit ABCDEF peuvent être considérées comme ayant même longueur, puisque toute section faite dans lune et dans l'autre parallèlement à AF est égale à AF ; et si pour avoir les largeurs de ces surfaces on les coupe par des plans parallèles à la ba$e ou perpendiculaires à larâte AF, les sections seront égales, Tuno à la circonférence de la base> lautre au contour du polygone ABCDE plus petit que cette circonférence : donc , puisqu'à longueur égale la .^argeur de la surface cylindrique est plus grande que celle de la surface prismatique, il s ensuit que la première surface est plus grande que U seconde.
Par un raisonnement entièrement semblable on A^. 263. prouvera que la surface convexe du cylindre est plus petite que celle de tout prisme circonscrit BCDKLH.
PROPOSITION IV
vnB0R.âiis.
La surface convexe d*un cylindre est égale à la circonférence de sa base multipliée par sa hauteur.
Soit CA le rayon de la ba^e du cylindre donné, fi«r. ^ss, H sa hauteur ; si on représente par cire. CA la ejrconférence qui a jpour rayon CA , je dis que
!à48 GEOMÉTAIB.
cire. CAx H Mra la surfisice coiiTexe de ce cylindre. Car , si on nie cette proposition , il faudra que cire. CA X H soit la surface d'un cylindre plus grand ou plus petit; et d*abord supposons quelle soit la «urface d'un cylindre plus petit, par exemple, du cylindre dont CD est le rayon de la base et H la hauteur.
Circonscrivez au cercle dont le rayon est CD un polygone régulier 6HIP , dont les côtés ne rencon« trent pas la circonférence qui a CA pour rayon ; imaginez ensuite un prisme droit qui ait pour hauteur H, et pour base le polygone 6HIP, La surface con* Tcxe de ce prisme sera égale au contour du polygone s. 6HIP multiplié par la hauteur H ^ : ce contour est plus petit que la circonférence dont le rayon est CA; donc la surface convexe du prisme est plus petite que cire. CA X H. Mais cire. CA X H est , par hypo« thèse, la siuface convexe du cylindre dont CD est le rayon de la base , lequel cylindre est inscrit dans le prisme ; donc la surface convexe du prisme serait plus petite que celle du cylindre inscrit. Or, au contraire, 'S. elle doit être plus grande^ ; donc Thypothèse doii l'on est parti est absurde: donc, i^ la circonférence de la base d^un cylindre multipliée par sa hauteur ne peut mesurer la surface connexe d^un cylindre plus petit.
Je dis en second lieu que ce même produit ne peut mesurer la surface dun cylindre plus grand. Car, pour ne pas changer de figure , soit CD le rayon de la base du cylindre donné, et soit, s*il e$t possible, cwc. CDxH la surface convexe d'un cylindre qui, avec la même hauteur, aurait pour base un cercle plus grand, par exemple, le cercle dont le rayon est CA. On fera la même construction que dans la première hypothèse, et la sur&ce convexe du prisme sera toujours égale au contour du polygone GHIP
LIVEB VlIX. ^49
multiplié par la hauteur H. Mais ce contour est plus grand que cire. CD; donc la surface du prisme serait plus grande que cire. GDxH y qui, par hypothèse, est la surface du cjlindre de même hauteur dont CA est le rayon de la base. Donc la surface du prisme écrait plus grande que celle de ce cylindre. Mais, quand même le prisme serait inscrit dans le cylindre , sa surface serait plus petite que celle du cylindre * ; * 1 à plus forte raison .est -elle plus petite lorsque le prisme ne s étend pas jusqu'au cylindre. Donc la se« conde hypothèse ne saurait avoir lieu; donc a^ la circonférence de la base d^un cylindre multipliée par sa hauteur ne peut mesurer la surface d*un cjlindre plus grand.
Donc enGn la surface conrexe dun cylindre est égale à la circonférence de sa base multipliée par sa hauteur.
PROPOSITION V
THBOAâMB.
La solidité d^un cône est égale au produit de sa base par le tiers de sa hauteur.
Soit SO la hauteur du cane donné, AO le rayon fig. 359. de la base; si on désigne par surf. AO la surface de la base , je dis que la solidité de ce cône sera égale à 5tf^A0xiS0.
En effet, supposons i ^ que surf. AO X ^ SO soit la solidité d'un cône plus grand, par exemple, du cône dont SO est toujours la hauteur , mais dont OB , plus grand que AO , est le rayon de la base.
Au cercle dont le rayon est AO circonscrivez un polygone régulier MNPT qui ne rencontre pas la circonférence dont le rayon est OB * ; imaginez ei^ * 10, 4* suite ime pyramide qui ait pour base le polygone et pour sommet le point S. La solidité do cette py«
aSo GifMBTAlSr
^19,6. ramide* est égale à Taire "^u polygone MNPT multipliée par le liers de la hauteur SO. 'Mais le polygone est pliis grand que le cercle inscrit représente par swf. AO ; donc la pyramide est plua grande que surf. AO X-^SO , qui ^ par hypothèse , est la mesure du cône dont S est le sommet et OB le rayon de la base. Or , au contraire, la pyramide est plus petite que le cône, puisqu'elle y est contenue; donc i^ il est impossible que la base d'un cône multipliée par le tiers de sa hauteur soit la mesure d'un cône plus grand.
Je dis a^ que ce mAme produit ne peut être la me* sure d'im cône plus petit. Car, pour ne pas changer de figure, soit OB le rayon de la base du cône donné, et soit, s il est possible , ^zi^. OBX7SO la solidité du cône qui a pour hauteur SO et pour base le cercle dont AO est le rayon. On fera la môme con* struction que ci-dessus , et la pyramide SMNPT aura pour mesure Faire MNPT multipliée par \ SO. Mais Taire MNPT est plus petite que surf. OB; donc la pyramide aurait une mesure plus petite que surj. OB X ^ SO , et par conséquent elle serait plus petite que le cône dont AO est le rayon de la base et SO la hauteur. Or, au contraire, la pyra<nide est plus grande que le cône, puisque le cône y est contenu; donc a* il est impossible que la base d*un cône multipliée par le tiers de sa hauteur soit la mesure d*un cône plus petit.
Doue enfin la solidité dun cèno est égale au produit de sa base par le tiers de sa hauteur.
Corollaire, Un cône est le tiers d'un cylindre de même base et de même hauteur ; d où il suit ,
1^ Que les cônes d'égales hauteurs sont entre eux isomnie letu's bases ;
vl!" Que les cônes de bases égales sont entre eux eommo leurs hauteurs;
iivEE viiu aSi
3^ Que les cônes semblables sont comme les cubes
des diamètres de leurs bases, ou comme les cubes de
leurs hauteurs.
Scholie. Soit II le rayon de la base d'un cône , H
sa hauteur; la solidité du cône sera irR* X jH ou
ixtt'IL
PROPOSITION VL
THiORBMB.
Le cône tronqué ADÈB, dont AO^ DP sont les '^s-*^ rayons des bases et PO la hauteur , a pour me-
surekr.. OP. (Â0V.DP + AO x DP).
Soit TFGH une pyramide triangulaire de môme hauteur que le cône SAB, et dont la base FGH soit ë(piiyalente à la base du cône. On peut supposer que ces deux bases sont placées sur un même plan ; alors les soromots S et T seront à égales distances du plan des bases, et le plan £PD prolongé fera dans la pyramide la section IKL. Or je dis que cette section IKL est équÎTalente à la base DE; car les bases AB, DE, sont entre elles comme les quarrés des rayons AO , DP*, ou comme les quarrés des hauteurs SO, SP; *"»4' les triangles FGH, IKL, sont entre eux comme les quarrés de ces mêmes hauteun^; donc les cercles * ^^fi- AB, DE, sont entre eux comme les triangles FGH^ IKL. Mais, par hypothèse, le trifiingle FGH est équivalent au cercle AB ; donc le triangle IKL est équivalent au cercle DE.
Maintenant, la base AB multipliée par jSO est la solidité du cône SAB, et la base FGH multipliée par •iSO est celle de la pyramide TFGH ; donc, à cause des. bases équivalentes, la solidité de la pyramide est égale à celle du cône. Par une raison semblable , la pyrainide TIKL est équivalente au cône SDE; donc
nSa «BOUÉTAifi.
le tronc de cône ADEB est équivalent au tronc de pyramide FGHIKL. Maïs la base FGH, équivalente au cercle dont le rayon est AO, a pour mesure
17X AO^ de même la base IKL=tPxDP, et la
moyenne proportionnelle entre wxAOetirxDP est ic X AO X DP ; donc la solidité du tronc de pyramide , ou celle du tronc de cône , a pour mesure 7OP x
• ao.6. (tu X AO+TC X DP+w X AO X dp)*, qui est la même
chose que^irxOPx(ÂO+DP-|-AOxDP).
PROPOSITION VII
TBBO&BMB«
La surface convexe (fun cône est égale à la circonférence de sa base multipliée par la moi' tié de son côté.
Sg. 169. Soit AO le rayon de la base du cône donné , S son sommet, et SA son côté; je dis que sa surface sera cire. AO X 7 SA. Car soit, s'il est possible , cire. AO X jSA, la surface dun cône qui aurait pour sommet le point S et pour base le cercle décrit du rayon OB plus grand que AO.
Circonscrivez au petit cercle un polygone régulier MNPT, dont les côtés ne renconti*ent pas la circonférence qui a pour rayon OB; et soit SMNPT la pyramide régulière , qui aurait pour base le polygone^ et pour sommet le point S. Le triangle SMN, l'un de ceux qui composent la siu*face convexe de la pyramide, a pour mesure sa base MN multipliée par la moitié de la hauteur SA, qui est en même temps le côté du cône donné; cette hauteur étant égale dans tous les autres triangles SNP, SPQ, etc. il t s*ensu^ que la surface convexe de la pyramide est égali^ au contour MNPrM multiplié par | SA. Mais
LiVAB VIII. a53
le coûtour MNPTM, est plus grand que cire. AO; donc la surface convexe de la pyramide est plus grande que cire* AOxiSAy et par conséquent plus grande que la surface convexe du cône qui avec le même sommet S aurait pour base le cercle décrit du rayon OÇ. Or, au contraire , la surface convexe du cône est plus grande que celle de la pyramide; car si on adosse base à base la pyramide à une pyramide égale, le cône à un cône égal, la surface des deux cônes enveloppera de toutes parts la siurface des deux pyramides; donc la première surface sera plus grande que la seconde % donc la surface du cône est *leiii.a, plus grande que celle de la pyramide qui y est com* prise. Le contraire était une suite de notre hypothèse; donc cette hypothèse ne peut avoir lieu : donc i^ la circonférence de la base d'un cône multipliée par la moitié de son côté ne peut mesurer la surface d un cône plus grand.
Je dis a^ que le même produit ne peut mesurer la surface d*un cône plus petit. Car soit BO le rayon de la base du côté donné, et soit, s'il est possible, cire. BOx^SB la surface du cône dont S est le sommet , et AO , plus petit que OB , le rayon de la base.
Ayant fait la même construction que ci -dessus, la surface de la pyramide SMNPT sera toujours égale au contour MNFf multiplié par ^ SA. Or le contour MNPT est moindre que cire. BO, SA est moindre que SB; donc par cette double raison la surface convexe de la pyramide est moindre que cire. BO X {SB, qui, par hypothèse , est la surface du cône dont AO est le rayon de la base ; donc la surface de la pyramide serait plus petite que celle du cône inscrit. Or, au contraire, elle est plus grande; car en adossant base à base la pyramide à une pyramide égale, le cône à un cône égal, la surface des deux pyramides enveloppera cellç des deux cônes, et par .
254 GBOMBTillË.
conséquent sera la plus grande. Donc a*^ il est impos- 'sîble que la circonférence de la base d'un cône donné multipliée par la moitié de son côté mesure la surface d un cône plus petit.
Done enfin la sTit&ce convexe dun cône est ëgak à la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son côté.
Scholie. Soit L le côté d'un cône, R le rayon de sa base, la circonférence de cette base sera awR, et la surface du cône aura pour mesure atrRXrl*, ou ttRL»
PROPOSITION VIII
THÉOllBMB,
fig. a6i. La surface convexe du tronc de cône ADEB est égale à son côté AD multiplié par la demi-somme des circonférences de ses deux bases AB, DE.
Dans le plan SAB qui passe par Taxe 50 , menez perpendiculairement à SA la ligne A F, égale à la circonférence qui a pour rayon AO; joignez SF, et menez DH parallèle à AF,
A cause des triangles semblables SAO , SDC, od aura AO:DC :: SA:SD; et à cause des triangles semblables SAF, SDH, on aura AF:DH :: SA:SD;
* 11,1. donc AF : DH : : AO : DC , ou : : cire. AO : cire. DC \ Maïs par construction AF = cire. AO ; donc DH = cire, DC. Cela posé, le triangle SAF, qui a pour mesure AFx-SA, est égal à la surface du cône SAB qui a pour mesure eirc. AOx^SA. Par une raison semblable le triangle SDH est égal à la surface du cône SDE. Donc la surface du tronc ADEB est égale à celle du trapèze ADHF. Celle-ci a pour
f ^, 5. mesure * AD X T^^-^) î donc la surface du
tronc de côno ADEB est éjg[a]e k 9on côté AD mol*
tivRË viir. aSf)
tiplié par la demi-somme des circonférences de ses deux bases.
Corollaire. Par le point I, milieu de AD, menez IKL parallèle à AB, et IM parallèle à AF; on démontrera comme ci-dessus que IM=: c«'rc. IK. Mais le trapèze ADpF= AD xIM= AD xc/rc. IK, Donc on peut dire encore que la surface d'un tronc de cône est égala à son côté multiplié par la circonfé^ rence d*une section faite à égale dislance des deux buses.
Scholie. Si une ligne AD, située tout entiène ^Ma même côté de la ligne OC et dans le même plan, fait une révolution autour de OG, la 3ur« fiice décrite par AD aura pour mesure AD X ^cm:.A0+c/rc.DCj^ OU AD X circ. IKj kd lignes
AO, DC, IK, étant des perpendiculaires abaissées des extrémités et du milieu de la ligne^ AD sur l'axe Oa
Car si on prolonge AD et OG jusqu'à leur ren* contre mutuelle en S, il est clair que la surface dé^ crite par AD est celle d'un cône tronqué dont OA et DC sont les rayons des bases , le cône entier ayant pour sommet le point S. Donc cette surface aura la mesure mentionnée*
- Cette mesure aurait toujours lieu, quand même le .point D tomberait en S, ce qui donnerait un côno entier, et aussi quand la ligne AD serait parallèle à Taxe, ce qui donnerait un cylindre. Dans le premier cas DC serait nulle, dans le second DG serait ^ale à AO et à IK.
956 céOMBTAIB.
PROPOSITION lî.
LfiXKB.
«g. »6î. Soient AB , BC, CD , plusieurs côtés successifs (Vun polygone régulier y O son centre y et OI le rayon du cercle inscrit; si on suppose que la portion de polygone ABCD , située tout entière d'un même côté du diamètre FG, fasse une ré- ¥olution autour de ce diamètre ^ la surface décrite par ABCD aura pour mesure MQ x cire. 01, MQ étant la hauteur de cette surface ou la partie de Vaxe comprise entre les perpendiculaires AM, DQ,
Le point I étant milieu de AB, et IK étant une perpendiculaire à l'axe ababsée du point I, la sur» • 8. face décrite par AB aura pour mesure AB Xitrc. IK*, Menez AX parallèle à Taxe, les triangles ABX, QIK, auront les cdtés perpendiculaires chacun à chacun , saToir 01 à AB, IK à AX, et OK à BX; donc ces triangles sont semblables et donnent la proportîott AB : AX ou MN :: 01 : IK, ou :: cire. OI : cire. IK; donc AB X ctîc. IK=MN X cire. OI. D'où l'on roît que la surface décrite par AB est égale à sa hauteur MN multipliée par la circonférence du cercle inscrit. De même la surface décrite par BC, =NP Xcm?. OI, la surface décrite par CD, r=:PQxc/rc. OI. Donc la surface décrite par la portion de polygone ABCD, a pour mesure (MN + NP + PQ) X ci/r. OI, ou MQ X cire. OI ; donc elle est égale à sa hauteur multipliée par la circonférence du cercle inscrit.
Corollaire. Si le polygone entier est d'un nombre de côtes pair, et que l'axe FG passe par deux som* mets opposés F et G, la surface entière décrite parla
révolution du demi-polygone FACG sera égale à son axe F6 multiplié par la circonférence du cercle inscrit* Cet axe F6 sera en même temps le^diamètre du cercle circonscrit,
PROPOSITION X
THBOaÂMB.
La surface de la sphère est égale à son dia^ mètre multiplié par la circonférence d'un grand cercle.
Je dis i*' que le diamètre d^une sphère, multiplié par la circonférence de son grand cercle, ne peut mesurer la surface d'une sphère phis grande. Car . soit, sll est possible, AB X cire. AG la surface de la s^, ^53^ sphère qui a pour rayon CDl
Au cercle dont le rayon est GA , circonscrivez un polygone régulier d'un nombre pair de côtés qui ne rencontre pas la circonférence dont CD est le rayon ; soient M et S deux sommets opposés de ce polygone; et autour du diamètre MS faites tourner le denii^po. lygone MPS. La surface décrite par ce polygone aura pour mesiu'e MS X cire. AG* : mais MS est plus grand *^. que AB ; donc la surface décrite par le polygone est plus grande que AB x cire. AG, et par conséquent plus grande que la surface de la sphère dont le rayon <2St CD. Or, au contraire, la surface de la sphère est plus grande que la surface décrite par le polygone t puisque la première enveloppe la seconde de toutes parts. Donc i^\e diamètre d'une sphère muItipUé par la circonférence de son grand cercle ne peut mesurer U surJace d'une sphère plus grande. >
Je dis 2° que ce même produit ne peut mesurer la surface d'un^ sphère pkis petite. Car soit, s'il cs^
S58 G^QHBTIIIS,
possible, DExcjrc- CD la surfape de la sphère quia pour rayon CA.. On fera la même construction que dans le premier cas, et la surface du solide engendré par le polygone sera toujours égale à MSxcirc^ AC* Mais MS est plus petit que DE, et cire. AC plus petite que cire. CD ; donc , par ces deux raisons , la surlace du solide décrit par le polygone serait plus petite que DE X cire. CD, et par conséquent plus petite que la surface de la sphère dont le rayon est AC. Or, au contraire, la surface décfite par le polygone est plos grande que la surface de la sphère dont le rayon ett AC, puisque la première surface enveloppe la seconde ; donc 2» le diamètre d\ine sphère multiplié par la circonférence de son grand cercle ne peut mesurer la surface d une sphère plus petite.
Donc la surface de la sphère est égale à son diamètre multiplié par la circonférence de son grand cercle.
Corollaire. La surface du grand cercle se mesure en multipliant sa circonférence par la moitié du rayon ou le quart du diamètre ^ donc la surface de la spiire est quadruple de celle d^un grand cercle*
Scholie, La surface de la sphère étant ainsi mesurée et comparée à des surfaces planes, il sera facile dWoir la valeur absolue des fuseaux et triangles sphériqnes dont on a déterminé ci-dessus le rapport avec la sur* face entière de la sphère.
DVoord le fuseau dont l'angle est A, est à la sur&co de la sphère comme langle A est à quatre angles *ao,7. droits*, ou comme lare de grand cercle qui mesura Tangle A est à la circonférence de ce même grand cercle. Mais la surface de la sphère est égale à cette circonférence multipliée par le diamètre; donc la surface du fuseau est égale à Tare qui mesure l'angle ^e ce fuseau multiplié par le diamètre.
iiVRB VIfî, 289
En second lieu tout triangle «phérlque est équivalent à un fuseau dont Fangle est égal à la moitié de Texcëfl de la somme de ses trois angles sur deux angles droits*. Soient donc P, Q, R, les arcs de •«3,7. grand cercle qui mesurent les trois angles du triangle ; soit G la circonférence dHin grand cercle et D son diamètre ; le triangle sphérique sera équivalent au fuseau dont l'angle a pour mesura
PH-Q4-R— i^C . ^
^ ^ et par cQosoqnont sa surface sera
Ainsi f dans le cas du triangle tri-reetapgle, chacun des arcs P, Q, R, est égal à ~G, leur somme est jC, l'excès de cette somme sur 7 G est <-G, et Is^ moitié de cet excès = jG ; donc la surface du triangle tri-rectangle =:^GxD) ce qui est la huitième partie de la surface totale de la sphère.
lia mesure des polygones sphériques suit immédia* tement celle des triangles, et d'ailleurs elle es( entièrement déterminée par la prop. xxiv, Uv. vu, puisque l'unité de mesure, qui est le triangle tri« rectangle, yient d'être évaluée en surface plane.
PROPOSITION XI
THBOaâMB.
La surface d'une zone sphérique quelconque est égale à la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle.
Soit EF un aro quelconque plus petit ou plus grand fi^, a69, que le quart de circonférence , et soit abaissée F6 perpendieulaire sur le rayon BG ; je dis que la «one à une
a6o G^OMBTRIB.
base, décrite par la révolution de Tare EF autour de £G , aura pour mesure £G x cire. EC.
Car supposons d'abord que cette zone ait une me» sure plus petite , et soit, s'il est possible , cette mesvre =£6 X cire. GA. Inscrivez dans Parc EF une portion de polygone régulier EMNOPF dont les côtés n'at^ teignent pas la circonférence décrite du rayon CA^ et abaissez CI perpendiculaire sur £M^ la surface décrite par le polygone EMF tournant autour de EC,
^9* aura pour mesure EGx cirt;. GI^ Gette quantité est plus grande que E6 Xcirc. AC, qui, par hypotlièse, est la mesure de la zone décrite par Tare EF. Donc h surface décrite par le polygone EMNOPF serait plus grande que la surface décrite par Tare circonscrit EF; or, au contraire, cette dernière surface est plus grande que la première, puisqu'elle l'enveloppe de toutes parts ; donc i<> la mesure de toute zone sphériqoe à une base ne peut être plus petite que la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle.
Je dis en second lieu que la mesure de la même zone ne peut être plus grande que la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle* Car supposons qu'il s'agisse de la zone décrite par Tare AB autour de AG, et soit , s'il est possible, zone AB > AD X cire. AG. La surface entière de la sphère, composée des deux zones AB, BH, a pour mesure
•fo. AH X cire. AG*,ou AD x cire. AC+DHxci/r. AG; si donc on a zone AB > AD x cire. AG , il faudra qu'on ait zone BH < DH x cire. AG ; ce qui est contraire à la première partie déjà démontrée. Donc 2^ la mesure d'une zone sphérique à une base ne peut être plus grande que la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle. Donc enfin toute zone sphérique à une base a pour
LI VRB VIII. 26t
mesure la hauteur de cette zone multipliée par la cir« conférence d'un grand cercle.
Considérons maintenant une zone quelconque, a deux bases , décrite par la révolution de l'arc FH H- *^®autour du diamètre DE , et soient abaissées les perpendiculaires FO , HQ sur ce diamètre. La zone décrite par l'arc Ftl est la différence des deux zones décrites par les arcs DH et DF ; celles-ci ont pour mesures DQ x cire. CD et DO X cire, CD ; donc la zone décrite par FH a pour mesure (DQ — DO)x cire. CD ou OQ X cire. CD.
Donc toute zone sphériquc à une ou à deux bases a pour mesure la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle.
Corollaire, Deux zones prises dans une même sphère ou dans des sphères égales , sont entre elles comme leurs hauteurs , et une zone quelconque est à la surface de la sphère comme la hauteur de cette zone est au, diamètre.
PROPOSITION XII
THÉORâMB.
Si le triangle BAC et le rectangle BGEF de "f J^* même base et de même hauteur tournent simultanément autour dé la base commune BC , le solide décrit par la révolution du triangle sera le tiers du cylindre décrit par la révolution du rectangle.
Abaissez sur l'axe la perpendiculaire AD ; le cône gg. ^^, décrit par le triangle ABD est le tiers du cylindre décrit par le rectangle AFBD*, de même le côpe décrit *S.
202 O^OMBTAIB.
par le triangle ADG est le liera du cjUnilre dëcrit pir ]c rectangle ADCE ; donc la somme des deux côneson le solide décrit par ABC est le tiers de la somme des deux cylindres ou du cylindre décrit par le rectangle BCEF.
fig.a65. Si la perpendiculaire AD tombe au «dehors du triangle , alors le solide décrit par ABC sera la différence des cônes décrits par ABD et ACD; mais en même temps le cylindre décrit par BCEF sera h différence des cylindres décrits par AFBD, A£CD. Donc le solide décrit par la réTolution du triangle sera toujours le tiers du cylindre décrit par la révolutio& du rectangle de même base et de mêine hauteur. Schoiic, Le cercle dont AD est le rayon a pour
surface Tr X AD ; donc ir X AD X BC est la mesure da cylindre décrit par BCEF, et jTtx ADxBC est ceik du solide décrit par le triangle ABC.
PROPOSITION XIII
PROBLEME
fig. ïG6. Le triangle CAB étant supposé faire une rés^olution autour de la ligne CD, menée coninieon voudra hors du triangle par son sommet C y trouver la mesure du solide ainsi engendré. ,
Prolongez le côté AB jusqu'à ce qu'il fenconlre l'axe CD en D , des points A et B abaissez sur l'iid les perpendiculaires AM, BN.
Le solide décrit par le triangle CAD a pour me-
*ia. sure* jitxAMxCD le solide décrit par le triaji^l^ CBD a pour mesure fiv x BN x CD; donc la diffé*
iittAB Yitt. a63
rence de ces solides ou le solide décrit par ABC aura pour mesure ^ir. (ÂM — Bn ) ^ ^^•
On peut donner à cette expression une auti^ forme. Du point I, milieu de AB, menez IK perpcndiculaife à CD, et par le point B menez BO parallèle à CD^ on aura AM+BN=2lK*et AM— BN=AO; donc, * 7.^-
( AM 4- BN) X ( AM— BN) , ou Ââl — BN = 2IK X ^ AO*. La mesure du solide dont il s'agît est donc *°' exprimée aussi par |ir X IRx A0 X CD. Mais si on abaisse CP perpendiculaire sur AB, les triangles ABO, DCP, seront semblables, et donneront la proportion AO : CP : : AB : CD ; d'où résulte AO X CD =: CP x AB ; d'ailleurs CP X AB est le double de l'aire du triangle ABC; ainsi on a AOxCD = aABC; donc le solide décrit par le triangle ABC a aussi pour mesure^ ir X ABC X IK, ou, ce qui est la même chose, ABCX.|ci>c. IK; (car cire. IK = 27r. IK.) Donc le solide décrit par la révolution du triangle ABC, a pour mesure Vairc de ce triangle multipliée par les deux tiers de la circonférence que décrit le point I milieu de sa base.
Corollaire. Si le c6lé AC = CB, la ligne Cl sei» t^-a);. perpendiculaire à AB, l'aife ABC sera égale à ABx ^CI, et la solidité \v X ABC X IK dcvientlra \v X ABxIKxGI. Mais les triangles ABO, CIK, son semblables et donnent la proportion AB : BO ou MN :: GI : IR ; donc AB X IK = MN X CI ; donc le solide décrit par le triangle isoscèle ABC aura pour
mesure |* X MN X CI.
Scholie. La solution générale pinaît supposer que la ligne AB prolongée rencontre l'axe ; mais les résultats n'en seraient pas moins vrais , quand b ligne AB serait parallèle à Taxe.
^64 GBOMivaiB.
^s.268. Eneflet, le cylindre décrit par AMNB a pour me*
«lire ir. AM. MN, le cône décrit par ACM=iir. AM
CM, et le cône décrit par BCN=yic. AM.CN. Ajoutant les deux premiers solides et retranchant le troisième , on aura pour le solide décrit par ABC ^
Iv.Âm' (MN + iCM— iCN) : et puisque CN— CM
= MN , cette expression se réduit à ir. AM .|MW, oa
fiT.CP. MN, ce qui s^accorde avec les résultats déjà trouvés.
PROPOSITION XIV
TUBORÂMB*
If. «(te. Soient AB, BC, CD, plusieurs côtés successifs d*un polygone régulier y G son centre ^ et CI & rayon du cercle inscrit; si on imagine que 7e secteur polygonal AOD , situe d*un même côté du diamètre FG, fasse une révolution autour de ce diamètre f le solide décrit aura pour mesure
jW.OLMQ, MQ étant la portion de Vaxe terminée par les perpendiculaires extrêmes AM, DQ. En effet 9 puisque le polygone est régidier, tous les triangles AOB, BOC, etc. sont ^ux et isoscèles. Or, suivant le corollaire de la proposition précé« dente, le solide produit par le triangle isoscèle AGE a pour mesure fir.OI.MN, le solide décrit par le Criangle BOC a pour mesure jTt.OKNP, et le solide décrit par le triangle COD a pour mesure jTt.OI. PQ ; donc la somme de ces solides , ou le solide entier décrit par le secteiu* polygonal AOD, aura pour mesure f ir. 01. (MN + NP + PQ) ou |irTÔl . MQ.
LIVEB Vllt. 26$
PROPOSITION XV
THiORiMB.
Tout secteur sphérique a pour mesure la zone qui lui sert de base multipliée par le tiers du rayon j et la sphère entière a pour mesure sa surface multipliée par le tiers du rayon.
Soit ABC le secteur circulaise qui, par sa révo* ff0.26g» lution autour de AG, décrit le secleur sphérique; la zone décrite par AB étant ADXci/ic, AC ou air. AG. AD^, je dis que le secteur sphérique aura pour me- * 11.
sure cette zone multipliée par ^AG , ou f ir • AG • AD.
En effet, i^ supposons, s'il est possible, que celte quantité |ir • AG • AD soit la mesure d'un secteur sphérique plus grand, par exemple, du secteur sphérique décrit par le secteur circulaire EGF semblable * à AGB.
Inscriyez dans Tare EF la portion de poljgone
régulier EMNF dont les côtés ne rencontrent pas
Tare AB, imaginez ensuite que le secteur polygonal
ENFG tourne autour de EG en même temps que le
secteur circulaire EGF* Soit GI le rayon du cercle
inscrit dans le polygone, et soit abaissée FG perpen*
diculaire sur EG. Le solide décrit par le secteur
polygonal aura pour meswre fi?. GI. EG* : or GI
est plus grand que AG par construction , et EG est phu grand que AD : car, joignant AB, EF, les triangles EFG, ABD, qui sont semblables, donnent la proportion EG : AD :: FG : BD :: GF : GB ; donc EG >AD.
Par cette double raison fir. GI. E6 est plus
ù66 «BOIIBTAIS.
grand que |ir. CA. AD : la première expression est la mesure du solide décria par le secteur polygonal, la seconde est par hypothèse celle du secteur sphérique décrit par le secteur circulaire £CF; donc le solide décrit par le secteur polygonal serait plus grand que le secteur sphérique décrit par le secteur circulaire. Or, au cotitrait^e, le solide dôht il s'agit est môitidré cfué lé set^teur sphérique ^ pUisquHl y est contenu; donc l'hypothèse d^où on est patti ne sau^ rait subsister; donc i^ la «one ou base d'un seeteur sphérique multipliée par le tiers du rayon ne peut mesiiter uh set;tèur sphériqtie plus grand.
Jfe dis 2<* que le même produit ne peut mesurer un secteur sphérique plus petit. Car, soit CËF le secteur circulaire qui par sa révolution proauit le secteur sphérique donné, et supposohs, sHi est possible, que
jTt.CE. EG soit la mesure d'un sitcteur sphérique plus petit, par exemple, de celui qui provient du secteur circulaire ACB.
La construction précédente restant là même , le solide décrit par le secteur polygoual aura toujours
pour mesure yir. CI. EO. Mais CI est moindre que
CE; donc le solide est inoindre que}*. CE. E(i, qUi, par hypothèse, est la hiesure du stJctcUr sphérique décrit ptir le secCeUl* circulaire AdB. Donc le solide dof rit par le secteur polygonal serait moindre que le sectcuf sphérique décrit par AGI). Or, aii contraire, le solide dont il sagit est plus grand que le secteur sphérique, puisque celui-ci est contenu dans raatrc. Donc 2^ il est impossible que la zone d'un secteur sphérique multipliée par le tiers du rayon soit la mesure d\m secteur sphérique plus petit.
Donc tout secteur sphérique a pour mesure lasone qui lui sert de base nmltipliée <par le tiers du rayon.
LITAB VIII. 26y
Un secteur circulaire ACB peut augmenter jiigquà devenir égal au ilemi*cercle | alors le secteur sphérique décrit par sa révolution est la sphère entière« Donc la solidité de la sphère est égale a sa sur^* face multipliée par le tiers de son rayon.
Corollaire. Les surfaces des sphères étant comme les quarrés de leurs rayons, ces surfaces multipliées par les rayons sont comme les cubes des rayons. Donc les solidités des deux sphères sont comme les cubes de leurs rayons^ ou comme les cubes de leurs diamètres,
Scholie, Soit R le rayon dune sphère, sa surface sera 4^ R% et sa solidité 4''^ R' X^R, oujiu IV\ Si on appelle D le diamètre, on aura R = 7D, et R^=:|D^; donc la solidité s'exprimera aussi par fir XîD%ou^7^D^
PROPOSITION XVI
THEOREME.
La sur/ace de la sphère est à la surface totale du cylindi^e cirœnscrit ( en y comprenant ses bases) comme %€sià'i. Les solidités de ces deux corps sont entre elles dans le même rapport.
Soit MPNQ le grand cercle de la sphère , ABCD fig- 270. le quarrc circonscrit ; si on fait tourner à la fois le demi-cercle PMQ et le demi-quané PADQ autour du diamètre PQ, le demi-cercle décrira la sphèrci et le demi-quarré décrira le cylindre circonscrit à la sphère.
La hauteur AD de ce cylindre est égale au diamètre PQ, la base du cylindre est égale au giand cercle, puisqu'elle a pour diamètre AB égale à AIN ; donc la surface convexe du cylindre * est égale à la ♦4.
a68 GEOMETRIE.
circonférence du grand cercle multipliée par son diamètre. Cette mesure est la même que celle de ♦la la surface de la sphère* : doù il suit que la sur^ face de la sphère est égale a la surface corwexe du cylindre circonscrit.
Mais la surface de la sphère est égale à quatre grands cercles ; donc la surface conyexe du cylindre circon- Bcrit est égale aussi à quatre grands cercles : si on y joint les deux bases qui valent deux grands cercles, la surface toule du cylindre circonscrit sera égale à six grands cercles; donc la surface de la sphère est à la surface totale du cylindre circonscrit comme /^estii 6 ) ou comme 2 est à 3. C est le premier point qu'il s'agissait de démontrer.
En second lieu , puisque la base du cylindre circonscrit est égale à un grand cercle et sa hauteur au diamètre, la solidité du cylindre sera égale au grand ^1* cercle multiplié par le diamètre*. Mais la solidité de la sphère est égale à quatre grands cercles multipliés *]$, par le tiers du rayon*, ce qui revient à un grand cercle multiplié par 4 du rayon , ou f du diamètre; donc la sphère est au cylindre circonscrit comme . a est à 3) et par conséquent les solidités de ces deux corps sont entre elles comme leurs surfaces.
^ Scholie. Si on imagine. im polyèdre dont toutes les
faces touchent la sphère, ce polyèdre pourra être considéré comme composé de pyramides qui ont toutes pour sommet le centre de la sphère, et dont les bases sont les différentes faces du polyèdre. Or il est clair que toutes ces pyramides auront pour hauteur commune le rayon de la sphère, de sorte que chaque pyramide sera égale à la face du polyèdre qui lui sert de base , multipliée par le tiers du rayon : donc le polyèdre entier^ sera égal à sa
^ surface nmltipliée par le tiers du rayon de la sphère
► ' inscrite.
IIVRE VIII. d6p
On voit par là que les solidités des polyèdres ciiconscrits à la sphère sont entre elles comme les surfaces de ces mêmes polyèdres. Ainsi, la propriété que nous avons démontrée pour le cylindre circonscrit est commune à une infinité d'autres corps*
On aurait pu remarquer également que les sur* faces des polygones circonscrits au cercle sont entre elles comme leurs contours.
PROPOSITION XVII
PROBLÂMS.
Le segment circulaire BMD étant supposé gg.ayti faire une révolution autour d'un diamètre ex» térieurà ce segment y trouver la valeur du solide engendré.
Abaissez sur Taxe les perpendiculaires BE, DF; div centre C menez CI perpendiculaire sur la corde BD, et tirez les rayons CB, CD.
Le solide décrit par le secteur BCA = f ic . CB, AE*; le solide décrit par le secteur DCA = f ip. * »^-
CB.AF; donc la différence de ces deux solides, ou le
solide décrit par le secteur DCB = | ir. CB.'( AF — ^
AE) = ~ it . CB . EF. Mais le solide décrit par le trian-
— — • gle isoscèle DCB a pour mesure l-it. Cl. EF*; donc *i4.
le solide décrit par le segment BMD = j tt. EF, ( CB* — Cl j. Or dans le triangle rectangle CIB, on a CB"— ci = ÏÏÎ = ^ BD*; donc le solide décrit par le segment BMD aura pour mesure f ir. EF. 7 BD, ouiir . BD.EF.
2yo GBOMISTRlfi.
SchoUe. Le soliile décrit par le segment BMD esta
■ i« la sphère qui a pour diamètre BD, comme ^ir. BD.
£F est à i ir. BD Tôu : : £F : BD.
PROPOSITION XVIII
Tout segment de sphère^ compris entre deux
plans parallhles , a potir mesure la demi-somme
de ses bases multipliée par sa hauteur^ plus la
- solidité de la sphère dont cette même hauteur
est le diamètre.
6g. 17x4 Soient BE, DF, les rayons des bases du s^^ment, EF sa hauteur, de sorte que le segment soit produit par la révolution de l'espace circulaire BMDFE autour de Taxe FE. Le solide décrit par le seg-
*»7i ment BMD * =f w. Bd!eF| la tronc de cône décrit
t^e. parletrapèzeBDFE*=|iç.EF.(BÊVDFVBK DF)î donc le segment de sphère qui est la somme de ces
deux 8olides=:r^iç. EF.{a BÊ+ % DF+a BE, BF-|-"bd} . Alais , en menant BO parallèle à EF , on aura DO =;
^ ^ DF— BE, D0="DF— aDF. BE+BÊ*, et parconsé-
quent BD=B5 + D0"=ÊF+DF^a DF X BE-hBÊ!
Mettant cette valeur à la place de BD dans Texpres* sion du segment , et effaçant ce qui se détruit , on aura pour la solidité du segment ,
^it.EF.(3BEV3DFVlF), expression qui se décompose en deux parties ; l^me
^i?,EF,(3BE + 3Î)F), ou EF, ( *'"»g+^'^^) est la demi*somme des bases multipliée par la hauteur {
tIVRE viiî. ajt
laulre fie . EF représente la sphère dont EF est le diamètre^ : donc tout segment de sphère, etc. *i5.8cb;
Corollaire. Si Tune des bases est nulle, le segment dont il s'agit devient un segment sphérique à une seule base ; donc tout segment sphérique à une base équwaut à la moitié du cylindre de même base et de même hauteur, plus la sphère dont cette hauteur est le diamètre.
Scholie généraL
Soit R le rayon de la base d'un cylindre, H sa hauteur ; la solidité du cylindre sera ttR^xH, ou ir R* H.
Soit R le rayon de la base d'un cône, H sa hauteur; la solidité du cône sera wR*. ^H, ou-j7wR*H.
Soient A et B les rayons des bases d'un cône tronqué , H sa hauteur ; la solidité du tronc de cône sera ii7H(A-+B" + AB).
Soit R le rayon d'une sphère ; sa solidité sera |7;R\
Soit R le rayon d'un secteur sphérique, H la hauteur de la zone qui lui sert de base ; la solidité du secteur sera -f ir R* H.
Soient P et Q les deux bases d'un segment sphérique, H sa hauteur, la solidité de ce segment sera
(i:±S).H+iH.
Si le sèment sphérique n'a qu'une base P, l'autre étant nulle, sa solidité sera fPH -H | ir IV.
PtS9 DES étÉMCNTS DE C^OMl^TRlC.
Xîrjim:i> 12^ frjJISB
Elémens de^ Géonvéirie^ FI, i .
are JLLê^mns d^ (jeorftecrie/ jtl. ^.
endre Elémens de Oéométrie^ PI. 3.
, Arc Elémens de^ (reû/nêlru PI. 4 •
