LES TROIS CORPS RONDS
DEFINITIONS
6g. »5o. 1. (j w appelle cylindre le solide produit par la rérolutioD d'un rectangle ABGD, qu'on imagine tourner autour du côté immobile AB.
Dans ce mouvement les côtés AD, BC, restant
toujours perpendiculaires à AB, décrivent des plans
, circulaires égaux DHP, CGQ, qu'on appelle les
bases du cylindre y et le côté CD en décrit la surface
coni^exe,
La ligne immobile AB s'appelle Vaxe du cylindre.
Toute section KLM, faite dans le cylindre perpendiculairement à l'axe, est un cercle égal à chacune des bases : car pendant que le rectangle ABCD tourne autour de AB, la ligne IK, perpendiculaire à AB, décrit un plan circulaire égal à la hase, et ce plan n'est autre chose que la section faite pei'pendiculairement à Taxe au point I.
Toute section PQ6H, faite suivant l'axe, est un rectangle double du rectangle générateur ABCD. fig.aSc. IL On appelle cône le solide produit par la révolution du triangle rectangle SAB , qu'on imagine tour* ner autour du côté immobile SA.
Dans ce mouvement le côté AB décrit un plan circulaire BDGE, qu'on appelle la base du cône, et l'hypoténuse SB en décrit la surface convexe.
Le point S s appelle le sommet du cône, SA Paxe ou la hauteur, et SB le côté ou Papothems.
Toute section HKFI, faite perpendiculairement à l'axe, est un cercle; toute section SDE, faite sui«
tITRB TItl. a4i
▼ani Taxe^ est un triangle isoscèle double du triangle générateur SAB.
IIL Si du cône SCDB on retranche , par une section parallèle à la base, le cône SFKH, le solide restant CBHF s'appelle .cône tronqué ou tronc dç cône.
On peut supposer quHl est décrit par la révolution du trapèze ABHG, dont les angles A et G sont droits , autour du côté AG. La ligne immobile AG s'appelle taxe ou la hauteur du tronc ^ les cercles BDC, ÏIFK , en sont les bases, et BH en est le coté.
IV. Deux cylindres ou deux cônes sont semblables lorsque leurs axes sont entre eux comme les diamètres de leurs bases.
V. Si, dans le cercle AGD qui sert de base à un fig. aSa. cylindre, on inscrit un polygone ABCDE, et que sur
la base ABCDË on élève un prisme droit égal en liauteur au cylindre, le piîsme est dit inscrit dans le cylindre j ou le cylindre circonscrit au prisme.
Il est clair que les arêtes AF , B6 , CH , etc. du prisme, étant perpendiculaires au plan de la base, sont comprises dans la surface convexe du cylindre; donc le prisme et le cylindre se touchent suivant ces arêtes.
YI. Pareillement , si ABGD est un polygone circon- Sg. «53. scrit à la base d'un cylindre, et que sur la base ABCD on construise un prisme droit égal en hauteur au cy-^ lindre, le prisme est dit circonscrit au cjrlindre, ou le cylindre inscrit dans le prisme.
Soient M, N, etc. les points de contact des côtés AB, BC, etc. et soient élevées par les points M, N, etc. les perpendiculaires MX, NY, etc. au plan de la base; il est clair que ces perpendiculaires seront à-lafois dai^ la surface du cylindre et dans celle du prisme circonscrit; donc elles seront leurs lignes de contact.
Jf. B. Va oyliodre , 1« cAim , et la tphèit , lont Ici fiMr jmpi Ton^t 4ont Qa •*oecope dam Ici éUmcnU.
^42 èJÎOMéttttfi.
Lemmes préliminaires sur lès surfaces.
£g. 254, ^^^ surface plane OABCD est plus petite que toute autre surface PABCD ^ terminée au même contour ABCD.
Cette proposition est assez évidente pour être ran« gée au nombre des axiomes; car on pourrait supposer que le plan est parmi les surfaces ce que la Ligne droite est parmi les lignes : la ligne droite est la plus courte entre deux points donnés, de même le plan est la surface la plus petite entre toutes celles qui ont un même contour. Cependant comme il convient de réduire les axiomes au plus petit nombre possible, voici un raisonnement qui ne laissera aucun doute sur cette proposition.
Une surface étant une étendue en longueur ^ en largeur, on ne peut concevoir qu'une surface, soit . plus grande qu ime autre, à moins que les dimensions de la première n'excèdent dans qu^elques sexx^ celles de la seconde; et s'il arrive que les dimensions d'une surface soient en tous sens plus'petites que les dimensions d'une autre surface^ il est évident que la pre* mière surface sera la plus petite des deux. Or, dans quelque sen? qu'on fasse passer le plan BPD , qui coupera la surface plane suivant BD, et l'autre surface suivant BPD , la ligne droite BD sera toujours plus petite que BPD ; donc la surface plane OABGD est plus petite que la surface environnante PABCD«
fig. a55. Toute surface convexe OABCD est moindre qu^une autre surface quelconque qui em^oppe» raii ia pretnivi^ en s'appujrant sur le métne c^n^ tour ABCD,
NouB tëpëterons ici que nous entendons par iwr- - j face coTwtxe une surface qui ne peut être rencontrée par une ligne droite en plus de deux points : et ce» pendant il est possible qu'une ligne droite s'applique exadtement dans un certain sens sur une surface convexe; on en voit des exemples dans les surfaces du cône et du cylindre. Nous obsei*verons aussi que la dénoBÛnation de surface convexe n'est pas bornée aux seules surfaces courbes ; elle comprend lei; sur«> faces polyédrales ou composées de plusieurs plans^ et aussi les surfaces en partie courbes , en partie po*lyédrales*
Cela posé, si la surface OÀBCD n'est pas plus petite que toutes celles qui l'enveloppent, soit parmi celles-ci PÂBCD la surface la plus petite qui sera au plus égale à OABCD. Par un point quelconque 0, faites passer un plan qui touche la surface OABCD sans la couper; ce plan rencontrera la surface PABCD, et la partie qu il en retranchera sera plus grande que le plan t^rmiiié à la même sujface^ : donc, en çon- *]em.i; servant le reste de la surface PABCD, on pourrait substituer le plan à la partie retranchée, et on aurait une nouvelle surfiifce qui envelopperait toujours la sur- . * face OABCD , et qui serait plus petite que PABCD.
Mais celle-ci est la plus petite de toutes par hypothèse; donc cette hypothèse ne saurait subsister, donc la surface convexe OABCD est plus petite que toute autre surface qui envelopperait OABCD, et qui serait terminée au même contour ABCD.
Scholie* Par un raisonnement entièrement semblable on prouvera,
I* Que, si une surface convexe terminée par deux 69. sMj iM>ntours ABC , D£F , est enveloppée par une autre surface quelconque terminée aux nièmes contoursi \^ %\3i3&9M enTeloppée ^ra la plus petite «les «kux.
û44 uiouàtM^ii*
fig.957. 2^ Que y si une surface convexe AB est enveloppée de toutes parts par une autre surface MN, soit qu^elles aient des points , des lignes ou des plans communs^ soit qu'elles n*aient aucun point de commun , la surface enveloppée sera toujours plus petite que la surface enveloppante.
Car parmi celles-*ci il ne peut y en avoir aucune qui soit la plus petite de toutes, puisque dans tous les •cas on pourrait toujours mener le plan CD tangent à la surface convexe , lequel plan serait plus petit
*iem.t. que la surface GMD^; et ainsi la surface CND serait plus petite que MN, ce qui est contraire à Thypotlièse que MN est la plus petite de toutes. Donc la sur&ice convexe AB est plus petite que toutes celles qui Ten* veloppent,
PROPOSITION PREMIÈRE
TRBOaâMB.
La solidité d'un cylindre est égale au produit de sa base par sa hauteur.
Ag. ftSS., Soit CA le rayon de la base du cylindre donné, H sa hauteur; représentons par siirf. CA la sur&ce du cercle dont le rayon est CA ; je dis que la
,. solidité du cylindre sera surf. CA X H. Car , si
surf. CAxH n'est pas la mesure du cylindre donné, ce produit sera la mesure d'un cylindre plus grand ou plus petit. Et d'abord supposons quil soit la mesure d'un cylindre plus petit, par exemple, du cylindre dont CD est le rayon de la base et H la hauteur.
Circonscrivez au cercle dont le rayon est CD, un
polygone régulier GHIP, dout les côtés ne rencon-
♦lu, 4. trent pas la circonférence dont CA est le rayon * ;
imaginez ensuite un prisme droit qui ait pour base le
LITAS VIXZ. 2k4S
polygone GUIP, et pour hauteur H^ lequel prisme sera circonscrit au cylindre dont CD est le rajon de la base. Cela posé, la solidité du prisme^ est égale à sa base 6HIP, multipliée par la hauteur H; la base GHIP est plus petite que le cercle dont GA est l€{ rayon : donc la solidité du prisme est plus petite que 5w/, CAxH. Mais surf. CAxH est, par hypothèse» la solidité du cylindre inscrit dans le prisme; donc le prisme serait plus petit que le cylindre : or , au contraire^ le cylindre est plus petit que le prisme y puisqu^il y est contenu ; donc il est impossible que surf. CAxH soit la mesure du cylindre dont CD est le rayon de la base et H la hauteur; ou, en termes plus généraux , le produit de la base d'un cylindre par sa hauteur ne peut mesurer un cjrlindre plus petit.
Je dis en second lieu que ce même produit ne peut mesurer un cylindre plus grand: car, pour ne pas multiplier les figures , soit CD le rayon de la base du cylindre donné, et soit, s'il est possible , surf. CD X H la mesure dun cylindre plus grand, par exemple, du cylindre dont CA est le rayon de la base et H la hauteur.
Si on fait la même construction que dans le premier cas, le prisme circonscrit au cylindre donné aura pour mesure GHIP X H : Taii'e GHIP est plus grande que surf. CD ; donc la solidité du prisme dont 11 s'agit est plus grande que surf CD X H : le prisme serait donc plus grand que le cylindre de même hauteur qui a pour base surf. CA. Or, au contraire, le prisme est plus petit que le cylindre, puisqu^il y est contenu ; donc il est impossible que la base d*an cjr^ lindre multipliée par sa luiuteur soit la mesure d'un cylindre plus grand.
Donc enfin la solidité d'un cylindre est égale au produit de sa bfise par sa hfititf^urf
a4Ô ûi0M£V&IB.
Corollaire h Le5 cylindres de m^me Lauteur sont entre eux comme leurs bases, et les cylindres de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.
Corollaire II. Les cylindres semblables sont comme les cubes des hauteurs, ou comme les cubes des dia* mètres des bases. Car les bases sont comme les quarrés de leurs diamètres ; et puisque les cylindres sont semblables, les diamètres des bases sont comme les »dë/.4< hauteui's* : donc les bases sont comme les quarrés des hauteurs ; donc les bases multipliées par les hau* teurs, ou les cylindres eux-mêmes, sont comme les cubes des hauteurs.
SchoUe. Soit R le rayon de la base d'un cylindre, * 11, 4. H sa hauteur, la surface de la base sera 'JrR* *, et la solidité du cylindre sera ttR' X H, ou iîR'H.
PROPOSITION II
