AD X DC X AG=4R X ADC

Ajoutanti il vient :

AG X (AB xBG+AD X DC) =4R X ABGD.

Mais si Ton décomposait le quadrilatère en triangles par la diagonale BD , on trouverait de même :

BD X (AB X AD+BG x DC)= 4R x ABCD,

d'où

ACx(ABxBG+ADxDC)=BDx(ABxAD+BCxDC), ce qui donne la proportion

AC:BD::ABxAD4-BCxDC:ABxBC+ADxDC.

Problèmes relatifs au liçre IIL

FaOBLXn PASMtSK.

Owiser une ligne droite donnée en tant de parties égales qu'on voutlra, ou en parties proportionnelles à des lignes données.

fig. c37. 1® Soit proposé de diviser la ligne AB en cinq parties égales; par Textrémité A on mènera la droite indéfinie AG, et prenant AC d'une grandeur quelconque, on portera AG cinq fois sur AG. On joindra le dernier point de division G et l'extrémité B par la ligne GB, puis on mènera CI parallèle à GB ; je dis que AI sera la cinquième partie de la ligne AB, et qu'ainsi en portant AI cinq fois sur AB, la ligne AB sera divisée en cinq parties égales.

Car^ puisque CI est parallèle à GB, les côtétf AG, AB^ * i6. SQOt coupés proportionnellement en G et I ^* Mais AC est la cinquième partie de AG; donc AI est la cinquième partie de AB.

Ll^VAE JII. 95

ft"" Soit proposé de diviser 1^ ligoe AB eu parties prô- fig. i38. portioanelles aux lignes données P, Q, R« Par Textrémité A on tirera Tindéfinie AG, an prendra AC = P, CD=Q, D£==sR, on joindra les extrémités £ et B^ et par les points G, D, 00 mènera CI, DK, parallèles à.£B; je dis que la ligne AB sera divisée en^ parties AI, IK, RB^ proporttonneUes aux lignes dopnées P, Q ^ B^

Car^ à cause des parallèles CI, DK, EB, les parties Al, IK y KB, sont proportionnelles aux parties AQ CD, DE *;* i^et par cofliatruclîon celles-ci sont égales aux lignes, données P, Q^ R.

PEOBLBIIE II.

lYou^r une quatrième proportionnelle à trois lignes données A, B, C.

Tirex les deux lignes indéfinies DE, DF, sous un angle fig. i3g. quelconque. Sur DE prenez D A = A et DB ==: B , sur DF prenez DC = C, joignez AC, et par le point B menez^BX parallèle à AC; je dis que DX sera la quatrième proportionnelle demandée : car, puisque BX est parallèle à AC , on a la proportion DA:DB;: DC:DX; pr| les trois premiers termes de cette proportion sont égaux aux trois lignes données; donc DX est la quatrième proportionnelle demandée.

Corollaire. On trouvera de méitie une troisième proportionnelle aux deux lignes données A, B, car elle sera la même que la quatrième proportionnelle aux trois lignes A, B, B.

PROBLEME III

Trouver une moyenne proportionnelle entre deux ^nes données A ^ B# Sur la ligne indéfinie DF prenez D£ = A, et £F=B; fig. 140*

^6 GBOM^TRIK.

sur la ligne totale DF comme diamètre , décrivez la demicîrcoiïférence DGF; au point E ëlevcz sur le diamètre la perpendiculaire EG, qui rencontre la circonférence en G; je dis que EG sera la moyenne proportionnelle cherchée.

Car In perpendiculaire GE, abaissée d'trit point de la circonférence sur le diamètre , est moyenne proportion- • 25. nelle entre les deux segments du diamètrë'DE, EF *: or, ces segments sont égaux aux lignes données A et fi.

Deuxième construction. Prenez DF=::A, DE=:Bj et décrivez une circonférence sur DF comme ctiamètre; élevez EG perpendiculaire sur DF, et joignez le point G au point D ; la ligne GD sera moyenne proportionnelle entre A et B.

Troisième construction. Prenez OC =i= A, OD = B; par

les points D et G faites paseer une circonférence quelcpn-

r,g. i3a, que, et par le point O menez une tangente OA à cette

circonférence; la ligne OA sera moyenne proportionnelle

entre A et B.

PROBLEME IV

Par lui point donné A dans l'angle donné BCD , tirer, la ligne Bt) de manière que les parties AB , AU , comprises entre le point k et les deux côtés de t angle y

soient égales

lig. i4a. Par le point A menez AE parallèle à CD, prenez BE=CE, et par les points B, et A tirez BAD, qui sera la ligne demandée.

Car, AE étant parallèle à CD, on a B£:EC::BA:AD;

H' U3. or BE = EC ; donc BA = AD.

raOBLBME V.

Faire un carré équivalent à un pamllélogfumnke ou

a un triangle donné;'