OC:OA::OA;OD

qui donne OÂ = OC X OD.

Scolie. Cette proposition peut se déduire de la précédente, en considérant la tangente OA comme la limite des positions que prendrait une sécante tournant autour du point O»

PROPOSITION xxxn.

TH8ORBMB.

Si sur deux droites AC, AE qui se coupent en k y on a quatre points^ B, C, D, E, tels que AC x AB=AD x AE, ces quatre points sont sur une même circonfcrence.

Car si la circonférence qui passe par les points C^B^D rencontrait la ligne AE au point M, on aurait

ABxAC=ADxAM, Mais on a déjà

ABxAC:^ADxAE.

D*où Ton conclurait ADxAM=ADx AE^ ce qui est absurde.

Et si l'on supposait que la circonférence passant par les points C, B) D f&t tangente au point D à la droite AE, on aurait

ABxAC=ÂD.

£t comme on a par hypothèse

ABxAC=ADxAE, on en déduirait At)=±:AG.

PROPOSITION XXXIII

THÉORÈME

fi^. i3'». Dans tout triangle ABC , le rectangle des deux côtes AB, AC, est égal au rectangle cçrn pris par le diamè^ tre CE du cercle circonscrit et la perpendiculaire tS^ abaissée sur le troisième côté BC.

Car, en joignant AE, les triangles ABD, AEC, sont rectangles, Tun en D, lautre en A ; de plus, l^hgle B=E; donc ces triangles sont semblables , et ils donnent la proportion AB : CE :: AD: AC; d'où résulte ABx ACr=CEx AD.

Corollaire. Si on multiplie ces quantités égales par la

même quantité BC, on aura AB X AC X BC=:CE X AD x BC.

*6. Or, AD X BC est le double de la surface du triangle* ; donc

le produit des trois côtés J!un triangle est égal a sa surface

multipliée par le double du diamètre du cercle circonscrit.

Le produit de trois lignes s'appelle quelquefois un solide, par une raison qu on verra ci-après. Sa valeur se conçoit aisément, en imaginant que les lignes sont réduite^ en nombres, et multipliant les nombres dont il s'agit.

Scolie, On peut démontrer aussi que la surface d*un triangle est égale à son périmètre multiplié par la moitié du rayon du cercle inscrit.

(ig. 87. Car les triangles AOB, BOC, AOC,qui ont leur sommet commun en O, ont pour hauteur commune le rayon du cercle inscrit; donc la somme de ces triangles sera égale à ta somme des bases AB, BC, AC, multipliée par la moitié du rayon OD; donc la surface du triangle ABC est égale à son périmètre multiplié par la moitié du rayon du cercle inscrit.

LIVRÉ IJf. 9

PROPOSITION XXXIV

XHBORBME.

Dans tout quadrilatère inscrit ABCD, le rectangle fig. i35. des .deux diagonules AC, BD, est égal à lu somme iles rectangles des côtés opposés, de sorte qu^on a AC X BD=;AB X CD+ AD x BC.

Prenez l'arc GO = AD, et tirez BO qui , rencontre la diagonale AC enl.

L'angle ABD = CBI, puisque Tun a pour mesure la moitié de AD, et l'autre la moitié de CO égal à AD. L angle ADB=trBCI, parce qu'ils sont inscrits dans le même segment AOB; donc le triangle ABD est semblable au triangle IBC, eton a la proportion AD : CI : : BD : BC ; d'où résulte AD X BG-iiiCI X BD. Je dis maintenant que le triangle ABI est semblable au triangle BDC; car l'arc AD étant égal à CO, si on ajoute de part et d autre OD, on aura l'arc A0=: DC ; donc l'angle ABI = DBG ; de plus, l'angle BAI =BDC, parce qu'ils sont inscrits dans le même segment ; donc les triangles ABI, DBG, sont semblables, et les côtés homologues donnent la proportion AB : BD : : AI :CD, d'où résulte ABxGD=AIxBD.

Ajoutant les deux résultats trouvés, et observant que AlxBD-f-CIxBD=(AI+CI)xBD=ACxBD,on aura APxBC+ABxCD=ACxBD,

PROPOSITION XXXV

THEOREME.

Ij^s diagonales d'un quadrilatère inscrit sont entre elles comme les sommes des rectangles des côtés qui aLoutiJsent à leurs extrémités.

Le quadrilatère ABCD est décomposé en deux triangles fig. i3j.

94 G£OMiTRl£.

*33. ABC, AJ)G par la diagonale AG; or, en désignant par R le rayon du cercle circonscrit , on a* :

AB X BG X AC=4R X ABG, * et