LIVRE IV. t

Corollaire, Les périmètres de deux polygones réguliers d'un tnèihe nombre de eôtés sont entre eux comnië les côtés homologues 9 et leurs surfaces sont comme les carrîéà de ces mêmes côtés.

Seolie^ L'angle d'un polygone régulier se détenfiihk par le nombre de ses cotés comme celui d'un polygonb éqUiangle.

PROPOSITION IL

THÉORÈMB.

Toui polygone régulier peut être in^rit dans le cercle^ et peut lui être circonscrit.

Soit ABGDE, etc., le polygone dont il s'agit, itna^neï ^^ 155, qu'on fasse passer une circonférence par tes troiè poiitls A,B, C; soit O son centre, et OP la perpendiculaire abaissée sur le milieu du côté BG ; joigne!2 AO et OD.

Le quadrilatère OPGD et le quadrilatère OPBA peuvent être superposés : en effet le côté OP est commun , l'ahgle OPC = OPB, puisqu'ils sont droits; donc lé côté PC s'appliquera sur son égal PB, et le point C tombera en B. De plus, par la nature du polygone, )*angle PCD=:PBA, donc CD prendra la direction B A , et puisque CD = BA , le point D tombera en A, et les d^ux quadrilatères coïncideront entièrement l'un avec l'autre. La distance OD est donc égalé à AO^ et par conséquent la circonférence qui passe par les trois points A, B, G, passera aussi par le point D : mars, parul^ raisonnement Semblable, on prouvera que U circoniërence qui passe par les trois sommets B, C^ D, passera par le sommet suivant £, et ainsi de suite; donc la même circonférence qui passe par les points A, B, C, passe par tous les sommets des angles du polygone, et le polygone est inscrit dans cette circonférence.

En second lieu, par rapport à cette circonférence, tous les côtés AB,BC, CD, etc., sont des cordes égales; elles

108 GEOMKTAIE.

«8, X sont donc également éloignées du centre ^j donc si du point O, comme centre, et du rayon OP, on décrit une circonférence, cette circonférence touchera le coté BG et tous les autres côtés du polygone, chacun dans son milieu, et la circonférence sera inscrite dans le polygone, ou le polygone circonscrit à la circonférence.

Scolie I. Le point O, centre commun du cercle inscrit et du cercle circonscrit , peut être regardé aussi comme le centre du polygone, et par cette raison on appelle angle au centre^ langle AOB formé par les deux rayons menés aux extrémités d*un même côté AB.

Puisque toutes les cordes AB, BG, etc., sont égales , il est clair que tous les angles au centre sont égaux, et qu ainsi la valeur de chacun se trouve en divisant quatre angles droits par le nombre des côtés du polygone. "

Scolie II. Pour inscrire un polygone régulier d'uu certain nombre de côtés dans une circonférence donnée, il ne s'agit que de diviser la circonférence en autant de parties égales que le polygone doit avoir de côtés ; car, les arcs fig. i58. étant égaux, les cordes AB, BG, GD, etc., seront égales; les triangles ABO,BOG, GOD, etc., seront égaux aussi, parce qu'ils sont équilatéraux entre eux; donc tous les angles ABG, BGD^ GDE, etc., seront égaux; donc la figure ABGDE , etc., sera un polygone régulier.

Scolie III. Si dans un arc on inscrit une suite de cordes égales, la figure ainsi formée est appelée portion de polygone régulier. Gette portion a les propriétés principales des polygones réguliers, elle a les angles égaux, elle est à la fois inscriptible et circonscriptible au cercle ; cependant elle ne ferait partie d'un polygone régulier proprement dit, qu'autant que Tare sous-tendu par un de ses côtés serait une partie aliquote de la circonférence.