MESURE DU CERCLE

DÉFINITIONS

On appelle ligne courbe com^exe, une ligne telle que la tangente en chaque point laisse toute la courbe dun même côté de sa direction.

Une ligne courbe com^exe ne peut être rencontrée par wie droite en plus de deux points :

Car si une droite MN rencontrait une éôUrbe aux points A, B, C, la tangente menée par Vun des points întermé-

tlTR£ IV. îib

dkiiHMB, hisMrait ëvidemmeM des portions de )a courbe de pare et d'antre de stt direction.

La circonférence est une ligne convexe.

PROPOSITION IX

LSMME.

Une ligne convexe AMB est plus courte que toute Ugne enveloppante terminée aux même s extrémités ket^.

En effet, si la ligne AMB n'est pas plus petite que toutes celles qui l'enveloppent, il existera parmi ces dernières \ine ligne plus courte que toutes les autres , laquelle sera plus petite que AMB , ou tout au plus égale à A]\IB,

Soit AGDEB cette ligne enveloppante; menez par un point M de AMB, ^ft comitiun aux deux RgUes/ la tangente PMQ; cette droite sera, comprise «ntre les deux lignes AMB, ACDEB^ puisque la première est copvçi^e. Or, lsi droite PQ est plus courte que PCDEQ; donç^ si à la partie PCDEQ on substitue la ligne droite.PQ, ou aura la ligne enveloppante APQB, plus courte que APDQB. Mais , par hypothèse, celle-ci doit être la plus courte de toutes; donc cette hypothèse ne saurait subsister ; donc toutes les lignes enveloppantes sont plus longues que AMB^

On démontrerait de la même manière qu'une ligne convexe fermée AMB est plus courte que toute ligne qui Fenvelopperait de toutes parts.

fig. 169.

fig. i63.

Avant d'ejipofer les principes^ de la théorie des Unices;, principes que nous emploierons : pour la oiesare des fi^ gures circulaires , nous croyons utile de fixer le sens de quelques dénominations qui seront fréquemment employées.

On appelle quantité variable une quantité qui prend successivement différents états de grandeur.

Ub GEOMBTRIi:.

On appelle limite une grandeur fixe dont une quapûté variable peut approcher d'aussi près qu'on veut sans pouvoir l'atteindre.

L'arithmétique et la géométrie présentent de nombreux exemples de quantités variables , et de limites vers lesquelles tendent ces variables.

On sait, par exemple, que l'angle d'un polygone régulier de m côtés a pour valeur

2/n — 4 rf 4

m ni

Or si l'on suppose que le nombre des côtés Croisse jus-* qu'à l'infini 9 on voit que la valeur de l'angle augmentera, et comme on peut prendre m assez grand pour que la

fraction -- soit plus petite que toute quantité dùnnée, on

en conclut que les valeurs successives de l'adgle du polygone réguUei^ auront pour limite deux droits.

De même si l'on prend le milieu c d'une droite AB , puis le milieu c de ^B, et ainsi de suite,

les lignes Ac, Ac', Kc*' auront pour limite AB.

Et l'on pourrait multiplier les exemples à l'infini.

11 est bon d'observer toutefois qu'une quantité peut varier sans avoir de limite. Ainsi la somme des n prekniers termes d'une progression géométrique, augmente lorsque n croît, mais cette somme n'a de limite que dans le cas où la progresion est décroissante; si la progression est croissante, cette somme croît jusqu'à l'infini.

lilVHE IV. 117

PROPOSITION X

THBORBMB.

Lorsque deux quantités variabUs A ^/ B soiU consiamment égales en s approchant dé leurs limites L et Vf ces limites sont égales.

Supposons que les variables A et B restent au-dessous de leurs limites, on pourra poser

(aet ^ pouvant devenir plus petits que toute grandeur donnée. )

Retranchant ces égalités membre à membre, on a L — L'=AT-B + a — p = a — P (puisque par hypothèse A=B).

Or, si on supposait entre L et L' une différences/, on aurait : i/=a -^ ^ , ce qui est impossible, puisque a. et p, et par suite leur difFérence, peuvent devenir moindres que toute quantité donnée.

La démonstration serait tout à fait semblable, si les variables décroissaient en s approchant de leurs limites.

PROPOSITION XI

THÉORBME.

Si les /acteurs ^. et B ctuii produit tendent vers tes limites L et V; le produit A X B aura pour limite LxL'.

£n effet, posons comme ci-dessus,

L=AH"a, L' = B + p, et muItxfJiast ces égalités membre à' membre, ou obtient L X L' = AB + Ba -h AP 4- ap.

Or, les quantités a, p diminuant indéfinimetit, à mesure'

i 1 8 Gfi^MiXAlE.

que A et B s'approchent de leurs limites, les termes Ba , Ap, «P, pourront être rendus aussi petits qu'on voudra ; il en sera donc demême^ie leur gomme; donc enfin , AB peut s'approcher de LL' d'aussi près qu'on veut.

Le thëorètne étant ^nvomré pour un produit de «leux facteurs, s'étendrait sans Afficulté à un produit d'un iratn^ bre quelconque de facteurs.

CçroUaire^ La limite du ({uotient de deux vari^Mes A et B, est égale au quotient de leurs limites. .

PROPOSITION xn.

THBOBÈME.

t^' La circonférence est là limite commune vers laquelle tendent les périmètres des polygones réguliers semblables inscrits et circonscrits dont le nombre des tôtés va constamment en doublant.

îfc° Vaire du cercle est la limite vers laquelle tendent les aires d^s ménies polygones.

V* Soit abc un polygone régulier inscrit , et ABC le por Ijgone régulier semblable circonscrit. La longueur de la circonférence est comprise entre les périmètres de ces polygones; et si l'on double le nomijre de leurs côtés, il nfeulte évldcmmeht de la cdnstructioB , que te périmètre du polygone inscrft va tn croFîssaiit , tatidis <|ue le périm^lmdM p.QlgrgQn«,circon^t ^ininue., ,ixu

*pr.8.