PR0BI.E4IE

Étant donné le polygone régulier inscrit ABCD, etc.y gg ,60. circonscrire à ta même circonférence un polygone semblable.

Au point T, milieu de Tare AB, menez la tangente GH , qui sera parallèle à AB*; faîtes la même chose au milieu *io,9. de chacun des autres arcs BC, CD, etc., ces tangentes

(i) On a cm longtemp» qnp ees polygones éttilont les seub qai passeat être inscrits par les procédés de la géométrie élémeo taire , oo^ ce qui reri«Bt au même, par la résolution des équations do premier et du second degré : mais M. Ganss a prouvé, dans un ouvrage intitulé DUquisUionês Anihmetiete, lÀpsùe, 180X, qo*on peut inscrire par de semblables moyens le polygone régulier de dix* sept c6tés, et en général celui de a"-f-i côtés , pourvu que a"-f>i soit un nombre preiDier»

lia GÉOHérRlE.

formeront, par leurs intersections, le polygone régulier circonscrit 6HIK, etc., semblable au polygone inscrit.

Il est aisé de voir d'abord que les trois points O, B , H , sont en ligne droite , car les triangles rectangles OTH , OHN, ont l'hypoténuse commune OH, et le côté OT = ON ; *i9,i. donc ils sont égaux* ; donc l'angle TOH = HON, et par conséquent la ligne OH passe par le point B, milieu de l'arc TN : par la même raison le point I est sur le prolongement de OC , etc. Mais , puisque GH est parallèle à AB , et HI à BC, l'angle GHI = ABC ; de même HIK =BCD, etc. ; donc les angles du polygone circonscrit sont égaux à ceux du polygone inscrit. De plus, à cause de ces mêmes parallèles, on a GH: AB:: OH: OB, etHI : BC : : OH : OB; donc GH : AB : : HI : BC. Mais AB=BC, donc 6H=HI. Par la même raison, HI=IK, etc. ; donc les côtés du polygone circonscrit sont égaux entre eux ; donc ce polygone est régulier et semblable au polygone inscrit.

Corollcdre I. Réciproquement , si on donnait le polygone circonscrit GHIK, etc., et qu'il fallût tracer par son moyen le polygone inscrit ABC, etc.,. on voit qu'il suffirait de mener aux sommets G, H, I, etc., du polygone donné les lignes OG, OH, etc. , qui rencontreraient la circonférence aux points A, B, C, etc.; on joindrait ensuite ces points par les cordes AB, BC, etc., qui formeraient le polygone inscrit. On pourrait aussi, dans le même cas, joindre tout simplement les points de contact, T, N, P, etc., par les cordes TN, NP, etc., ce qui formerait également un polygone inscrit semblable au circonscrÎL

Corollaire II. Donc on peut circonscrire à un cercle donné tous les polygones réguliers qu'on sait inscrire dans ce cercle, et réciproquement.

LIVBE IV. Il?i

PROPOSITION VII

THÉOISME.

Voire d*un polygone régulier est égale à sonpéri-^ mètre multiplié par la moitié du rayon du cercle inscrit.

Soit , par exemple , le polygone régulier 6HIK , etc. , le fig. i6o. triangle GOH a pour mesure 6Hx|0T, le triangle OHI a pour mesure HIx|ON : mais ON=:OT; donc les deux triangles réunis ont pour mesure ( GH + HI ) x | OT. En continuant ainsi pour les autres triangles, on verra que la sonune de tous les triangles, ou le polygone entier, a pour mesure la somme des bases GH, HI, IK , etc., ou le périmètre du polygone, multiplié par ^ OT, moitié du rayon du cercle inscrit.

Scolie, Le rayon du cercle inscrit OT n est autre chose que la perpendiculaire abaissée du centre sur un des cotés; on l'appelle quelquefois Y apothème du polygone.

PROPOSITION VIII

THÉOBBME.

Les périmètres des polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont comme les rayons des cercles circonscrits, et aussi comme les rayons des cercles inscrits; leurs surfaces sont comme les carrés de ces mêmes rayons.

Soit AB un côté de Uun des polygones dont il s'agit, fig. i6r. O son centre, et par conséquent OA le rayon du cercle circonscrit , et OD , perpendiculaire sur AB , le rayon du cercle inscrit ; soit pareillement ab le côté d'un autre polygone semblable, o son centre, oa et od les rayons des cercles circonscrit et inscrit. Les périmètres des deux poly-

Il4 GÉOMÉTRIE.

gones sont entré eux comme les côtés AB et ab; mais les angles A' et a sont égaux , comme étant chacun moitié de langle du polygone; il en est de même des angles B et &; donc les triangles ABO, ^bo^ sont semblables, ainsi que les triangles rectangles ADO> adoi donc hBiabi: AO : aoixXyOïdo; donc les périmètres des polygones sont entre eux comme les rayons AO, ao^ des cercles circonscrits, et aussi comme les rayons DO, ^o^ des cercles inscrits. I»ies surfaces de ces mêmes polygones sont entre elles comme les carrés des cotés homologues AB^ ab ; elles sont par conséquent aussi comme les carrés des rayons des cercles circonscrits AO, oo, ou comme les carrés des rayons des cercles inscrits OD, od.